假期作业20 正弦定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

是快乐假期 假期作业20 【《思维整合室 1.正弦定理 在△ABC中，若角A,B,C对应的三边分别 是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的比相 等，即 ·正弦定理对任意三角形 都成立. 2.解三角形 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们 的对边a,b,c叫做三角形的 已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫做 3.正弦定理的常见变形 (1)a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C,其中 R为△ABC外接圆的半径. (2)smA=架smB=桌sinC=录(R为 △ABC外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比， a::c=sin A sin B:sin C. (4) a+b+c b sin A+sin B+sin C sin A sin B sin C. (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C= csin B. 【《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]已知两角及一边解三角形 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,已知A:B:C=1:2:3,则a:b:c= () A.1:2:3 B.1:2:√3 C.1:√3：2 D.2:√3：1 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, b,c.若a=2,A=45°，B=30°，则b的值及 △ABC外接圆的半径分别为 A.√2,22 B.√2，√2 C.2√2，√2 D.2√2,22 00= 殴即刻扫码 正弦定理 AI伴学助手 《答案速查手册 了同步学习微课 新知预习宝典 3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若B= 行C=吾。=5，则此三角形 的最大边长为 A.3√3 B.53 心9 D.√21 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若b=5,B=T, 4,0sA=22 2,则a= ◆[考点二] 已知两边及一边的对角解三 角形 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,a=8√5，b=6,A=60°，则sinB=() 2 A. u c号 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,若a=√2，B=45°，b=2则A=() A.30°或150° B.30° C.150° D.45° 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,a=15,b=18,A=30°，则此三角形解的个 数为 () A.0 B.1 C.2 D.不能确定 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c.若a=√7，b=2,A=60°，则sinB= C= ◆[考点三]正弦定理的综合应用 9.(多选)在△ABC中，已知a2tanB=btan A,则 △ABC的形状可能是 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 10.(2023·全国甲卷（理))已知△ABC中， ∠BAC=60°，AB=2,BC=√6，∠BAC的角平 分线交BC于点D,则AD= 8 三0022 11.(2023·新课标I卷)已知在△ABC +B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sinA; (2)设AB=5,求AB边上的高. 高一数学 中，A 12.(2023·新课标Ⅱ卷)记 △ABC 的内角A， B，C的对边分别为 a，b，c， ，已知 △ABC 的 面积为 $$\sqrt 3 ， D$$ 为BC的中点，且 AD=1. (1)若 $$\angle A D C = \frac { \pi } { 3 } ，$$ ， 求tan B； (2)若 $$b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 8 ，$$ 求b，c. 新题快递 1.命题 p： “若 △ABC 与 △DEF 满足： AB= $$D E = x ， B C = E F = 2 ， \cos A = \cos D = \frac { 4 } { 5 }$$ ，则 △ABC≅△DEF'. .已知命题 p 是真命题， 则 x 的值不可以是 () A.1 B.2 $$C . \frac { 1 0 } { 3 }$$ $$D . \frac { 7 } { 3 }$$ 2.(多选)若 △ABC 的三个内角A，B，C的正 弦值为sin A， sin B， sin C， 则 () A.sin A， sin B， sin C一定能构成三角形的 三条边 $$B . \frac { 1 } { \sin A } ， \frac { 1 } { \sin B } ， \frac { 1 } { \sin C } -$$ 一定能构成 三条边 $$C \sin ^ { 2 } A ， \sin ^ { 2 } B ， \sin ^ { 2 } C .$$ .一定能构成三角形的 三条边 $$D . \sqrt { \sin A } ， \sqrt { \sin B } ， \sqrt { \sin C }$$ 一定能构成三角形 的三条边 益智欢乐谷 数学魔术家 1981年，印度的一位名叫沙贡塔娜的37 岁妇女，凭借心算与一台先进的电子计算机展 开竞赛.题目是求一个201位数的23次方根. 但令人惊奇的是，沙贡塔娜只用了 50秒钟就 报出了正确的答案.而计算机得出同样的结 果，花费的时间要多得多，这一奇闻，在国际上 引起了轰动，沙贡塔娜被称为“数学魔术家”. 49经快乐期 S0M-= gC[△ABC的三边上的高满足A,:A:A,=日：片： 在△ABD中，由余弦定理AD=AB+BD-2AB·BD· cos∠ABD, 故可得对应的边长之比为6：5：4，可设△ABC的三边分别 为6m,5m,4m(m>0),则6m所对的角最大，故由余弦定理 得AD=3+ 49 1 、可得最大角的余孩值为5m,36m=日，故选C.] 2X5m×4m 解得AD= 2E或者AD= 7 12巨（含去）.] 7 0.解析：因为c=26,所以sinC三2sinB=子，所以sinB= 2.解析：由余弦定理可得a=6+2-2 bccos A,即64=b+49 是周为c=26,所以6+c=36=20,所以a-0. -2X6×7×号=6-26+49， 2 故62-2b-15=0,解得b=-3(舍)或b=5, 所以c0sB=Q+c2-62 多6+46-6 3W6 因为cosC=。+5E,所以c0sC=64+25-4坦= 2ac 2√6b 8 2ab 2×8×5 2，又 答案号 3V6 Ce0),故C-音 1.解：1)因为5+ca=26 e cos A-26c=2,所以6c=1, 答案5子 cos A cos A (2)acos Bbcos Ab sin Acos B-sin Bcos A sin B 假期作业20 acos B+bcos A c sin Acos B+sin Bcos A sin C 思维整合室 =1, b 所以inA-B-sinB-sinA-B》-sinB-1 1.sin A-sin B sin C 2.元素解三角形 sin(A+B)sin C sin C 技能提升台素养提升 所以sin(A-B)-sinB=sinC=sin(A+B), 1.C 所以sin Acos B-sin Bcos A-sinB 2.B[由正弦定理可得 =sin Acos B+sin Bcos A, 即0A=一分，由A为三角形内角得A=2 b=asin B 2×3 sin A =√2. △ABC面积S=-einA=子XIX9-日 2 设△ABC外接圆的半径为R, 12.解：(1)由已知条件得：sin2B+sin Asin2B a =cos A+cos Acos 2B, 则2R= 所以sin2B=cosA+cos Acos2B-sin Asin2B sin =22,所以R=瓦，故选B.] √2 =cos A+cos(A+2B) P =cos[x-(B+C)]+cos[x-(B+C)+2B] 3.B[因为B=登，C一吾，所以A=吾则B对的边最大，由 6 =-cos(B+C)+cosL+(B-C)] =-2cos Bcos C, 所以2 sin Bcos B=-2 cos Bcos C, sin A sin B,可得b=asin_ b 2 即(sinB+cosC)cosB=0, sin A 1 2 由已知条件得1十c0s2B≠0，则B≠受，可得c0sB≠0， =5√3，故选B.] 所以sinB=-0sC=7又0<B<吾，所以B=吾 4解析：因为cosA=2 3 ,0<A<π，所以sinA=√1-cosA (2)由a)知snB=-osC>0,则受<C<,0<B<吾， ,所以由正弦定理得a=sinA-5V巨 1 sin B 31 sin B=sin (c-)--cos C. 答案：5 sin A=sin(B+c)=sin(2c-) =-c0s2C, 5.D 6.B 7.C 由正弦定理Q+b-sinA+sinB &解折：由品B得sn月=女nA-。 b sin'C 7 cos'2C+cos'C 又a2=b2+c2-2 bccos A,∴c2-2c-3=0,解得c=3. sin'C =(1-2sin'C)+(1-sin'C) 答案，8 sin'C 9.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的半 =2+4sin'C-5sin'C 2 sin'C sin C+sin'C-5 径)代入已知条件，得sin'Atan B=sin'Btan A,则sin'Asin B cos B 2 ≥2√/mc·4simC-5=42-5, =sin Asin'B cos A 当且仅当sinC-号时，等号成立 因为sin Asin B≠0，所以sinA=sinB cos B cos A' 所以+6的最小值为42-5. 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B, 2 新题快递 所以A=B或A十B=受，故△ABC为等腰三角形或直角三 1.D[AB=3,AC=4,BC=5,满足32+42=5，.∠BAC 角形.] =90°，故cos∠ABC=3 10.解析：如图所示：记AB=c,AC=b, 5 BC=a, :AD是∠BAC的角平分线，B肥-架=子，BD= 3 22+b-2X2XbXc0s60°=6， 因为b>0,解得：b=1十√3， ×5=9 由S△Ax=S△ABD十S△x:n可得， 98 三022 ×2Xb×sim60°= 1 1 -×2×AD×sin30°+ 3 2 若x>2,且sinC<1,即0z<1, 号×ADXb×sin30°， 即2<x<0,光时C有两解满足条件，此时命题力是假 解得：AD=6=25+=2. 命题： + 3+√3 当x=号时，此时有snC-1,C=号有唯一解，满足： 答案：2 11.解：(1)因为A+B=3C,所以A+B=3(x-A一B),所以A 当>号时，此时有sinC心1，里然C无解，不满足. 十B=华，所以C=干， 综上所迷，当0<<2或-吕时，命题p是真命题] 另外，由题意得：2sin(A一C)=sin(A+C), 2.AD[对于A,由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a:b: p2sin Acos C-2cos Asin C c,所以sinA,sinB,sinC作为三条线段的长一定能构成三 =sin Acos C+cos Asin C. 所以sinA=3cosA,变形得sinA=9(1-sinA).故sinA 角彩A正殊，时于B,尚正资充理得：司B'C =30 1::,例知a=56=12c=13,则1=1,= c a5'b12' 101 言由子日日器+方=立+品篇+ 11 (2)由sinA=3cosA, 得cosA=号inA=, 10 合<日故不能构成三角形的三条边长，故B错误， 所以inB=sin(A+C)=3y@x+①x巨_2E 对于C,由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a2:b:c2, 10 2 10 2 5 例如：a=3、b=4、c=5,则a°=9、b=16、c2=25, 尚二总解释AC-2而 则a+b=25=c2,sinA,sinB,sinC作为三条线段的长不 能构成三角形，C不正确； 所以5腰=2×5X2V而x3=15. 对于D,由正弦定理可得√sinA:√simB:√sinC=√a: 10 √b:,不妨设a<b<c,则a十b>c,故√a<√b<,且(Va+ 设AB边上的高为，别2AB·h=15,解得M=6.故AB b)-()=a+b-c+2√ab>2√ab>0,所以(a+b) 边上的高为6， >,故D正确.] 假期作业21 12.解：D因为Sa概=25aw=2X号×号×1Xsin60- 思维整合室 。=月，解得a=4, 1.解三角形3.(2)之-besin A 2 casin B 技能提升台素养提升 在△ADC中由余弦定理得6=1+2-2X1X2Xc0s3 1.C2.B =3, 3.B[如图所示建立平面直角坐标系，假设|OE=|OG引= 441,OF⊥EG, 在△ABD中，c2=1+22-2X1X2Xcos 3 y北 在△ABC中，cosB=+。-b=7+16-3-5 sin B 热带风暴中心 2ca 2√7×42√7 2V疗因此anB=sinB F =V-cosB= cos B 5 东 (2)在△ABC中，由中线长公式可得(2AD)十BC2= 西 2(AB2十AC),即2+a=2(b十c2)=16,所以a2=12,又 0基地 SAc=号bcsin A=原，因而besin A=2原，又由余孩定理 南 得a2=b+c2-2 bccos A,即12=8-2 bccos A,所以bccos A= 由题意易知1OF1=巨×588=2942，则1GF1 2 1 -2,故tanA=-3cosA=-2,所以6c=4,又b+ √OG-10F下=√21609=147， c2+2bc=8+8=16=(b+c)2,b+c2-2bc=8-8=0= (b-c),故可得b=c=2. 所以该基地受热带风暴中心影响的时长EG=147×2 21 21 新题快递 =14.] 1.D[在△ABC中，由已知可得，sinA= 4.解析：在△ABC中，AB=40,AC=20,∠BAC=120°， 由余弦定理得BC2=AB+AC2一2AB·AC·cos120° √1-cos'A=3 A =2800→BC=20√7. 又0sA=吉>0所以A为能角， 由正接定理，泽n之CnC BC 由正孩定理可得，snA一snC →n∠ACR=2 ·sin∠BAC=V2I 7 3 所以，sinC=ABsin A_523 由∠BAC-120°，知∠ACB为锐角，则c0s∠ACB=2 7 BC 2=10. 由9=∠ACB+30°，得cos0=cos(∠ACB+30) 要使命题力是真命题，则C有唯一满足条件的解. 若0<<2，期sinC<号，显然C有唯一满足条件的解： =cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=y2I 14 若x=2,则C=A,满足； 管案阳 99