假期作业16 平面向量的概念与线性运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三0022 高一数学恐 贸即刻扫码 假期作业16平面向量的概念与线性运算 AI伴学助手 婆率谏香王“ 同步学习微课 新知预习宝典 思维整合室 技能提升台 1.向量的有关概念 素养提升 (1)向量：既有大小又有 的量叫向量； ◆「考点一1平面向量的基本概念 向量的大小叫做向量的 1.下列各命题中假命题的个数为 (2)零向量：长度等于 的向量，其方向是任 ①向量AB的长度与向量BA的长度相等； 意的. ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相 (3)单位向量：模等于 的向量。 同或相反； (4)平行向量：方向相同或 的非零向量， ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点 又叫共线向量，规定：0与任一向量共线， 必相同； (5)相等向量：长度相等且 相同的 ④两个有共同终点的向量，一定是共线 向量 向量； (6)相反向量：长度相等且 相反的 ⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A, 向量 B,C,D必在同一条直线上； 2.向量的线性运算 ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段， (1)向量的加法和减法 A.2 B.3 ①加法法则：服从三角形法则，平行四边形 C.4 D.5 法则.运算性质：a十b=b+a;(a+b)+c= 2.(多选)如图，在菱形ABCD a+(b+c). 中，∠BAD=120°，则以下说 ②减法与加法互为逆运算；服从三角形法则. 法正确的是 )D (2)实数与向量的积 A.与AB相等的向量只有一个（不含AB) ①实数入与向量a的积是一个向量，记作 B.与AB的模相等的向量有9个（不含AB) a,规定： C.BD的模恰为DA的模的3倍 a.长度：a|=|λa； D.CB与DA不共线 b.方向：当入>0时，a与a的方向相同；当 3.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC λ<0时，a与a的方向相反；当入=0时， =60°，则|BD川= a=0. 4.如图，四边形ABCD和 ②运算律：设入、u∈R,则：λ(a)=(入u)a; ABDE都是平行四边形， (λ+)a=a+a;λ(a+b)=a+λb. (1)与向量ED相等的向 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在 量有 唯一一个实数入，使得b=a. (2)若|AB|=3,则|EC|= 39 受快乐限期 .-S0MA□ ◆[考点二]平面向量的线性运算 11.已知O,A,B是平面上不共线的三点，直线 5.如图，在正六边形ABCDEF AB上有一点C,满足2AC+CB=0 中，BA+CD+EF=( (1)用OA,OB表示OC; A.0 B.BE (2)若点D是OB的中点，证明：四边形 C.AD D.CF OCAD是梯形. 6.(多选)已知m,n是实数，a,b是向量，则下 列说法中正确的是 () A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=a,则m=n 7.(多选)下列各式中，化简结果为AD的是 () A.(AB-DC)-CB B.AD-(CD+DC) C.-(CD+MC)-(DA+DM) D.-BM-DA+MB 8.(2023·天津卷)在△ABC中，∠A=60°， |BC引=1，点D为线段AB的中点，点E为 线段CD的中点，若设AB=a,AC=b,则AE 可用a,b表示为 ◆[考点三]向量共线定理及其应用 9.已知向量a,b不共线，c=ka十b(k∈R),d= a-b,如果c∥d,那么 () A.k=1且c与d同向 B.k=1且d与c反向 C.k=一1且c与d同向 D.k=-1且d与c反向 10.已知AB=1BC,且BA=mAC,求实数m 4 的值. 40 三-0022 高一数学为) 12.如图，G是△OAB的重心， 2.如图，在△ABC OG的延长线交AB于点 中，点D是BC M,P,Q分别是边OA,OB 的中点，点E在 上的动点，且P,G,Q三点 边AC上，且满 共线， 足3AE=AC, (1)设PG=入PQ,将OG用入，OP,OQ表示； BE交AD于点F,设BF=AAB+HAC(入， （0设0=x00d=,0丽.证明士+日 ∈R),求(1a+n的值；(2铝的值。 是定值 《益智欢乐谷 一 男子和老婆 在火锅店，边吃边 还人类一片清新 聊，正高兴时，有个 请丢掉手中的香烟 少妇走过来，直视 着他说：“我怀孕了！”那个男人的老婆先 新题快递 是一愣，紧接着甩手给了他一耳光，又拉又 1.（多选)以下选项中，能使a∥b成立的条 扯，连哭带闹.全火锅楼的目光都聚焦在他 件有 俩身上，那哥们欲哭无泪！ A.lal=bl 这时，少妇又幽幽的来了一句：“麻烦 B.|a|=0或|b|=0 你把烟掐了，谢谢！” C.a--2b 哥们捂住脸哭都哭不出来…… D.a与b都是单位向量 吃饭有风险，抽烟需谨慎！ 41三-0022 当x=要时(）=-m受=1y=子×-合 3r一4∠1： 8 当x=华时f()-sn=1y=×- 。>1 所以由图可知，(x)与y=合一号的交点个数为3.] 假期作业16 思维整合室 1.(1)方向模(2)0(3)1个单位长度(4)相反 (5)方向(6)方向 技能提升台素养提升 1.C 2.ABC[由于AB=DC,因此与AB相等的向量只有DC,而与 AB的模相等的向量有DA,DC,AC,CB,AD,CD,CA,BC, BA.因此选项A,B正确：而Rt△AOD中，∠ADO=30°， D0=1DA,故DB1=5DAl.因此选项C正确； 由于CB=DA,因此CB与DA是共线的，故选项D错误.] 3.解析：易知AC⊥BD,且∠ABD=30°，设AC与BD交于点 O,则A0=AB=1在R△AB0中，号得BO=5, ∴.1BD1=2BO1=2V5. 答案：2√3 4.解析：(I)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE 都是平行四边形，可知与向量ED相等的向量有AB,DC, (2)因为AB=3,EC1=2AB,所以|EC=6. 答案：(1)AB,DC(2)6 5.D 6.AB[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确：C中， 若m=0,则不能推出a=b,错误：D中，若a=0,则m,n没有 关系，错误.] 7.ABC[对于A,(AB-DC)-CB=AB+CD+BC=AB+ BD=AD;对于B,AD-(CD+DC)=AD-0 =AD:对于C,-(CD+MC)-(DA+DM)=-MD-DA DM=DM+AD-DM=AD:对于D,-BM-DA+MB= MB+AD+MB=AD+2 MB.] 8.解析：在△ABC中，∠A=60°，|BC1=1,点D为AB的中 点，点E为CD的中点，A店=a,AC=b,则A正=(Ai+ =子店+=a+ 答案：a+b 9.D[由c∥d,得c=ad,∴.ka+b=入(a-b) 中.六货-：即=-a+6且6=a] 10,解：=-店=-武=-}(B+a心， i=-专花=mA花， m=-号 11.解：(1)因为2AC+CB=0,所以2(O元-OA)+(OB-O元) =0,20C-20A+OB-OC=0, 所以OC=2OA-OB. (2)证明：如遇Di=Dò+0i=-20成+0耐 =2(20i-0成. 高一数学型) 由1)知DA= 2元.即DA/0C,且DA≠0C,故四边形 OCAD为梯形. 12.解：(1)OG=Op+PG=0P+xPQ=Op+a(O0-OP) =(1-A)0P+λ0Q. (2)由(1)及Op=xOA,OQ=yOB,得0G=(1-)Op+ AOQ=(1-A)xOA+AyOB.① :G是△OAB的重心， 0d-号0成-是×20i+0i=}oi+0成.@ 由①②得[1-)x- ]oi-(合-)o. 而OA,OB不共线， 1-0x= 1=3-3入 1 3,解得 λy=3 =3入 y “+=3即+是定位 y 新题快递 1.BC[对于A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向量， 满足“|a=|b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a∥b不 成立.故A、D错误；对于B:由零向量与任何向量平行，可知 |a|=0或|b=0时，a∥b.故B正确；对于C:因为a=一2b, 所以a∥b.故C正确.] 2.解：设AF=mAD,BF=nBE, 根据向量共线定理，得：AF=mAD AF=nAE+(1-)AB.3 AE=AC, 所以A正=号AC+(1-0)AB, 又因为A方=2A市+A心， 所以？AC+1-)AB=(AB+AC), 3 ∫-受 解得 ,即{ 1-= 3 n24 代入B萨=n成=n(证-AB)=是（信AC-A)=十AC 孩. 解得：λ=一 3 1 1+=-2,(2)5= 1 AD-2 假期作业17 思维整合室 1.不共线入1e1十入e2基2.(1)0°≤f≤180° (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)x1+x2y1+y2 (2)z1-xy1-y(3)ax,入y4.(1)a=b (2)x1y2-x2y1=0 技能提升台素养提升 1.B 2.BCD[BC=a,CA=b,AD=2Ci+AC=-之a-b,故A 错：B成-元+=a+b,故B正确：C示=之C+ C)=名（-a+b)=-0+6,放C正确：所以AD+成 +C示=-b-2a+a+26+20-2a=0.故D正确.] 3.B[如图，因为CB=CA+AB,BD= A D 2DA,所以AD=AC+CD=n-m, AB=3 AD,CB=CA+3 AD=m+ 3(n-m)=3n-2m,故选B.]