假期作业6 对数与对数运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三022 高一数学 -------------------.-.-----.------e- 驽马十驾，功在不舍。 假期作业6对数与对数运算 完成日期： 月 日 《思维整合室 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y=logx(a>0,且a≠1)叫做 1.对数的概念 对数函数，其中x是自变量，函数的定义域 (1)对数的定义：如果a=N(a>0,且a≠1)， 是(0，+∞) 那么x叫做以a为底N的对数，记作 (2)对数函数的图象与性质 ,其中a叫做对数的底数，N叫做 底数 a>1 0<a<1 真数 x=1 y=log.x x=1 (2)两种常见对数 图象 y1.0) 07a,0) 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为 定义域： 自然对数 底数为 值域：一 2.对数的性质、换底公式与运算性质 性质 当x=1时，y=0,即过定点 (1)对数的性质：①log.1=;②log.a= 当x>1时， 当x>1时， 当0<x<1时， 当0<x<1时， ;③agN=; 在(0，十∞)上是 在(0，十∞)上是 ④log.a=(a>0,且a≠1). 技能提升台 (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 素养提升 ◆[考点一]对数的基本运算 ①log.(MN)= 1.计算：log32-1og36= M一 ②log: A.1 B.-1 C.-logs2 D.-2l0gs2 ③log.M= (n∈R); 2.已知lg2=a,lg3=b,则log36=() ④log。-M"=2log,M(m,n∈R,且m≠0). m A.at6 B.4t6 a b (3)对数的重要公式 C.a b a+b D.atb ①换底公式： (a,b均大于零且不 3.已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1, 等于1)： 则a= ②logb= 1,推广1ogb·log,c·logd lo 4√0g3)-lg9十1(1g27+lg8-1g1000) lg0.3·lg1.2 化曼快乐遐明 S0M-= ◆[考点二]对数函数的图象及应用 山.设函数f(x)=log〔1-}其中0< 5.在同一平面直角坐标系中，y=2与y= <1. log2（一x)的图象可能是 ( (1)证明：f(x)是(a,十o∞)上的减函数； (2)若f(x)>1,求x的取值范围. 6.(多选)函数f(x)=log.(x十2)(0<a<1) 的图象过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.函数y=logx,y=log6x,y=logx,y= logx的图象如图所示，则a,b,c,d的大小 顺序是 y y=logx 一y=log4 0 -y=log.x y=loga A.c<d<1<a<6 B.1<d<c<a<b C.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b 8.若log.5(m-1)>log0.5(3-m),则m的取 值范围是 ◆[考点三]对数函数的性质及应用 9.已知a=log23 1)6 ( =5,c=log32,则a, b,c的大小关系为 A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 10.函数f(x)=1一1g(2一x)的定义域为 ) A.[-8,2) B.(-8,2) C.(-∞，2) D.[-3,2) 12 三-0022 一数学 12.已知函数f(x)=1og2(x2-2mx+3). 新题快递 (1)当m=1时，求f(x)的值域： (2-a)x-3a+3,x<1, 1.已知函数f(x) 满足 (2)若f(1)<f(2),求实数m的取值范围； logx,x≥1 (3)若f(x)在区间(2，十∞)上单调递增， ≠，时恒有，)二fx,0成立，那么 x1-x2 求实数m的取值范围. 实数a的取值范围是 A.(1,2) ] C.(1,+∞) D. 2.(2023·上海卷)已知函数f(x)=2x+1, 1og2(x+1),x≥0 且g(x) ， 则方程g(x) f(-x),x<0 =2的解为 《益智欢乐谷 陈景润是一个家喻户晓的数学家，在攻克歌 德巴赫猜想方面作出了重大贡献，创立了著名的 “陈氏定理”，所以有许多人亲切地称他为“数学 王子”.但有谁会想到，他的成就源于一个故事. 一天，清华大学教授沈元老师在数学课上给大家 讲了一个故事：“200年前有个法国人发现了一个 有趣的现象：6=3+3,8=5+3,10=5十5,12=5 +7,28=5+23,100=11+89.每个大于4的偶数 都可以表示为两个奇数之和.因为这个结论没有 得到证明，所以还是一个猜想.大数学欧拉说过： 虽然我不能证明它，但是我确信这个结论是正确 的.它像一个美丽的光环，在我们不远的前方闪 耀着眩目的光辉.…”陈景润瞪着眼睛，听得 入神. 因此，陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚 的兴趣.课余时间他最爱到图书馆，不仅读了 中学辅导书，这些大学的数理化课程教材他也 如饥似渴地阅读.因此获得了“书呆子”的雅 号.兴趣是第一老师.正是这样的数学故事，引 发了陈景润的兴趣，引发了他的勤奋，从而引 发了一位伟大的数学家 13k经快乐暇期 0M-= 6.D [f(z)=c'+2-1 x+i=e+1- 2 ·易知函数的定义战为 新题快递 {xx≠一1}，当x<-1时，f(x)>1,排除A和B;当x无限 B[a==3,6=时=3，且1>号>号 增大时，f(x)无限趋近于e十1，呈指数增长，排除C,故 .3<3<3,即b<a<3. 选D.] 7.CD[画出f(x)=2的图象 又：c=86=2>4,.c>a>b,故选B.] 如图所示， 2.D[由题意易得，号≥1，所以a的取值范周是[2，十o).] 对于A,由f(x)的图象可知，函 数f(x)的值域为[1，十o),A错 假期作业6 误；对于B,由f(x)的图象可知， 思维整合室 函数f(x)在[0,1)上单调递减， 1.(1)z=log,N (2)10 Ig N e In N 2.(1)0 1 N b 在[1，十©∞)上单调递增，B错误： 1234 (2)log M+log,N log M-log N nlog M (3)Dlog,N C正确；对于D.因为y=一a≤ log N ②logd3.(2)(0,+∞)R(1,0)y>0y< 0,所以D正确.故选CD.] log b 8.解析：函数f(x)是指数函数，故设f(x)=a(a>0,且a≠ 0y<0y>0增函数减函数 1),依题意得：f(3)=a3=9a=9f(1),又a>0,所以a=3, 技能提升台素养提升 所以f(x)=3,因此f(4)=3,f(8)=3“=3×3>3= 1.B0og2-1og0=1og号=1og子=-1，故选R] 1 f(4),所以f(8)>f(4). 答案：> _lg6_lg2+lg3-atb.] 9.ABD[对于A,f(x)=x2+2x+3=(x+1)+2≥2，当x= 2.B [log 6-ig 3 1g3 -1时，等号成立，故A正确；对于B,g(x)=e十e=e+ 3.解析：根据题意有f(3)=log(9十a)=1,可得9十a=2,所 以a=-7. ≥2，当且仅当x=0时，等号成立，故B正确：对于C, 1 答案：一7 h(x)=3+2,由于3>0，所以h(x)>2,故C错误：对于D, g3-24g3+(g3+3g2-号)】 m(x)=2+1≥2°+1=2，当且仅当x=0时，等号成立，故 4.解析：原式 (1g3-1)·(1g3+21g2-1) D正确.故选ABD.] 1-g3)·21g3+21g2-1) 10.解析：设t=8-2x一x,则y= .3 (1g3-1)·(1g3+2lg2-1) 2 上单调递减，又知t=8-2x一x2在（一∞，一1]上单调递 3 答案：一2 增，在[-1，+∞)上单调道减，所以由y=（2)与1=8 5.B[因为y=2的图象为过点(0,1)的递增的指数函数图 2江-复合而成的画教y=(合)） 象，故排除选项C,D:y=log(一x)的图象为过，点（一1,0）的 的单调递增区间 递减的对数型函数图象，故排除选项A,故选B.] 为[-1，十∞). 6.BCD[作出函数f(x)=log(x+2)(0<a<1)的大致图象 答案：[-1，十o∞) 如图所示，则函数f(x)的图象过第二、三、四象限.] 11.解：(1)由已知得a2=16,解得a=4, 所以f(x)= ( 2 因为高数)=（什） 在R上单调递减， 1-3210 12345元 (m+子）-(m-子)=m-m+2 -22 3 y=log.(x+2) =(m-)+子>0 A x=-2-5 所以f(m+)下f(m-） 7.A[作直线y=1(图略)，则1=logx1,1=logx2,1= log z;,1=logax:,解得x1=a,x2=b,x3=c,x=d,由图可 (2)因为y=-x+2x-4=-(x-1)2-3≤-3， 知xx1>1>x>xg,即c<d<1<a<b,故选A,] 所以()】 x+2江-4 ≥()）'=64. -3 8.解析：：y=logo.s是定义战内的减函数，∴log.(m-1)> m-1>0, 1m>1, 故g(x)的值战是[64，+c∞). log:(3-m)台3-m>0, 即)m<3, (m-13-m,（m<2, 12.解：①当a=时，画数gx)=√西√分3千 /1 2 ∴.1m2, 即m的取值范围是(1,2). 答案：(1,2) 所以了异≤分化商得3≥3=8，解得≥1 9.B[由（合） =5,得b=log号5=-log5,又a=log231= -log23,所以-log25<-log3<0<log2,即b<a<c,故 所以函数g(x)的定义域为[1，十0). 选B. (2)函数f(x)在定义域R上为增函数， 证明如下：在R上任取x1,x2,且x1<x2, 1aA[由行二2≥，年21o 则)a)=(e)厂( 2 解得一8≤x<2,所以函数f(x)=√1-lg(2-x)的定义域战 为[一8,2)，故选A.] 2(31-3:） 11.解：(1)证明：任取x1x2∈(a,十∞)， (31+1)(32+1) 由x1<x2,可知0<351<3，则31-32<0， 不妨令0<a<x1<x4,g(x)=1-a 又因为31+1>0,32+1>0， 则g(x1)-g(x） 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在定 义域R上为增函数. -1-)厂-）=2<0 86 三022s ∴g(x1)<g(x）. 7.D[根据x=0.50,y=一0.99，代入计算，可以排除A:根据 又：0<a<1,f(x1)>f(x2), x=2.01,y=0.98,代入计算，可以排除B、C;将各数据代入 ∴.f(x)是(a,十co)上的减函数。 函数y=log2x,可知满足题意，故选D.] (2):1og.1-)）>1.且0<a<1, 8.解析：将x=3分别代入y=x2十1及y=3x一1中，得y=3 十1=10，y=3×3-1=8.由于10更接近10.2，所以选用甲 0<1-a<a,1-a<a<1. 模型 答案：甲 0<a<1,.1-a>0, 9.B[在同一坐标系中画出函数y= 从而a<<产。 logx,y=x2,y=2的图象，在区间(2， 4)内从上往下依次是y=x,y=2y= z的取值范国是(a,一a a 1ogx的图象，.x>2>logx 故选B.] 12.解：(1)当m=1时，f(x)=log(x2-2x十3)=log[(x 1)+2],故f(x)的值域为[1，十∞). 10,解析：依题意有a·。城t=弓0 01234x (2)由f(1)f(2),得 log2(4-2m)1og2（7一4m), …b=-n2 8' 4-2m>0, 所以】7-4m>0, “y=a·e学若容器中只有开始时的八分之一， (4-2m<7-4m, 则有a·e学=日a,解得1=21， 解得m<受 所以再经过的时间为24一8=16min 答案：16 即实教m的取值范国为（一©，2） 11.解：(1)C1对应的函数为g(x)=x(x>0),C对应的函数 (3)f(x)=log(x2-2m.x+3) 为f(x)=2(x>0). =log2[(x-m)2+3-m2]. (2)因为f(2)=4,g(2)=4,f(4)=16,g(4)=16, 所以A(2,4),B(4,16). 若f(x)在区间(2，十o)上单调递增， (3)由题图和(2)可知， 则m≤2且7-4m≥0，所以m≤子 当0x<2时，f(x)>g(x), 当2<x<4时，f(x)g（x), 即实数m的取位范国为(0，]， 当x>4时，f(x)>g(x), 新题快递 所以f(2023)>g(2023),f(3)<g(3), 1.D[因为画数f(x)满足工≠，时恒有）-fx)>0 又因为g(x)在(0，十∞)上为增函数， 所以g(2023)>g(3), x1一xe 成立，所以函数f(x)= j(2-a)x-3a+3x<1,在R上单 故f(2023)>g(2023)>g(3)>f(3). log.x,x≥1 12.解：1)设每年欧伐面积的百分比为x(0<<子）， ,2-a>0, 调递增，所以)a>1, ((2-a)-3a+3≥log.1, 则1-0°-4，即1-)=，解得=1-（宁） 解得ae[只2）故选D] 所以所求百分比为1一 )产 2.解析：当x≥0时，g(x)=2台log（x十1)=2，解得x=3; 当x<0时，g(x)=f(-x)=2+1=2,解得x=0(舍)： (2)设经过m年的欧伐，森林的剩余面积为原面积的，则 所以g(x)=2的解为：x=3. 答案：x=3 ,解得n=5,所以到 假期作业7 =()】 今年为止，已经欧伐了5年 思维整合室 1.(1)y=x 3.单调递增单调递增单调递增y轴 ()设接片森一共可欢伐m年，则（）户=子,中 x轴 技能提升台素养提升 ()产-（）得=20。 11 1C[令f(x)=x,则4=2a=2, 所以该片森林一共可砍伐20年，故今后最多还能砍伐 ∴.f(x)=x立.] 20-5=15(年). 新题快递 2.B[由于f(x)为暴函数，所以n2+2n-2=1, 解得n=1或n=一3，经检验只有n=1适合题意，故选B.] 1.C[因为暴函数y=x3在(0，十co)上单调递增，所以b>a>2 3.BD[由题意a-1=1,解得a=2,∴f(z)=,则2=8 =1c=21=,由对数函最的性厦得d=6g:司 =一1，故 =23,∴b=一3，即f(x)=x3,.f(x)=x3为奇函数，且 b>a>c>d,故选C.] 在(0，十o)上为减函数.门 2.解析：当x≤0时，由f(x)=a为减函数，知0<a<1;当z 4.解析：不等式(a十1)言<(3-2a)言等价于a+1>3-2a> >0时，由f(x)=3a一x立为减函数，知a∈R,且要满足a°≥ 0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a<-1或 3a,解得a≤分综上可知，实教a的取位范因为(0，宁] 答案0，] 则实数a的取植范国是(-0，-1DU(号，三) 假期作业8 答案：(--1U(号) 思维整合室 1.(1)fx)=0(2)x轴零点(3)f(a)·f(b)<0(a,b) 5.D[当x充分大时，指数函数y=a(a>1)增长最快，因此 2.(x1,0),(x2,0)(x1,0)210 选D.] 技能提升台素养提升 6.A[由已知得100=alog:(2+1),得a=100, 1.CD[有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故 则当x=8时，y=100log(8+1)=200(只).故选A.] 选CD.] 87