假期作业5 指数、指数函数-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三0022 敏而好学，不耻下问。 假期作业5指数、指数函数 完成日期： 月 《思维整合室 《技能提升台 1.根式 素养提升 (1)概念：式子a叫做 ,其中n叫做根指 ◆[考点一] 有理数指数幂的运算 数，a叫做被开方数， 1.化简[(-5)2]的结果为 (2)性质：(a)”= (a使a有意义)；当n A.5 B.5 C.-5 D.-5 为奇数时，a"= ,当n为偶数时，a 2.已知x=6,则x等于 ( =|al= 1a,a≥0， A.6 B.6 -a,a<0. C.-6 D.±6 2.分数指数幂 3.(多选)下列运算结果中，一定正确的是( (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a” A.a3·a=a B.(-a2)3=a (a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负 C.Ja-a D.(-)=-元 分数指数幂的意义是a“= (a>0,m, 4ab) n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于 4化简： (0.1)-1·(a3.b3) 0;0的负分数指数幂 (a>0,b>0)= (2)有理指数幂的运算性质：aa= ;(a)B ◆[考点二] 指数函数的图象及应用 ;(ab)= ,其中a>0,b>0,a,3 5.函数f(x)=(2a一3)a是指数函数，则 ∈Q. f(1)= 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数 叫做指数函数，其中 A.8 B. C.4 D.2 指数x是自变量，函数的定义域是R,a是 底数 6函数f()=。+的图象大致是（ (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 張长 ty y=a y=a* 7.(多选)某数学课外兴趣小组对函数f(x) 图象 (0,1) (0,1) ---y=1 -…y=1 2的图象与性质进行了探究，得到的下 列四个结论中正确的有 0 1 x 01 A.该函数的值域为(0，十∞) 定义域 R B.该函数在区间[0，十∞)上单调递增 值域 C.该函数的图象关于直线x=1对称 过定点 ,即x=0时，y=1 D.该函数的图象与直线y=一a2(a∈R)不 当x>0时， 当x<0时， 可能有交点 性质 当x<0时， 当x>0时， 8.已知函数f(x)是指数函数，如果f(3)= 在(-∞，十∞)上是 在（一∞，十∞）上是 9f(1),那么f(8) f(4)(请在横线 上填写“>”“=”或“<”). 9 空快乐假期 90M= ◆[考点三]指数函数的性质 (2)判断函数f(x)的单调性，并用单调性 9.（多选)下列函数中，最小值为2的是( 的定义证明你的结论， A.f(x)=x2+2x+3 B.g(x)=e'+e-* C.h(x)=3w+2 D.m(x)=2x十1 10.函数y 2 的单调递增区间为 11.已知函数f(x)=a(a>0且a≠1)的图象 经过点(-2,16). a求a,并比较fm+)与fa-)的 大小； (2)求函数g(x)=a+2x-4的值域. 新题快递 1.若a=(3),b=9,c=8品，则 A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b 2.(2023·新课标I卷)设函数f(x)=2r- 在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是 A.(-∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+o∞) 12已知函数)=4a∈R, 《益智欢乐谷 (1)当a=2时，求函数g(x)=f)的定 竹子用了4年的时 间，仅仅长了3cm,在第 义域； 五年开始，以每天30cm 的速度疯狂的生长，仅仅 用了六周的时间就长到了15米. 其实，在前面的四年，竹子将根在土壤里 延伸了数百平米. 做人做事亦是如此，不要担心你此时此刻 的付出得不到回报，因为这些付出都是为了 扎根 人生需要储备！多少人，没熬过那三 厘米！ 10三a0022-.-. 假期作业4 思维整合室 1.数集唯一确定2.f(x)<f(x2)fx1)>f(x)增函数 3.f(x) 一f(x)4.(1)y轴偶函数(2)原点 技能提升台素养提升 1.D 2B[U(）=1og=1og2=-2, f(()月-2)=3=日 3.解析：因为f(x)是一次函数，可设f(x)=a.x十b(a≠0)， ∴.3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+(5a+ b)=2x+17, {5a十6=17，解得a=2 因此应有=2， b=7. 故f(x)的解析式是f(x)=2x+7. 答案：2x十7 4.B[对于A,y=2024一2023x在R上单调递减，故A 错误； 对于B,易知y=2x十3开口向上，对称轴为x=0, 所以y=2x2十3在区间(0,4)上单调递增，故B正确： 对于C,y=一(x-2)2开口向下，对称轴为x=2, 所以y=一(x一2)2在（一∞，2）上单调递增，在(2，十∞)上 单调递减，故C错误； 对于D,y=x2-8x一6开口向上，对称轴为x=4, 所以y=x2一8x一6在（一©0,4）上单调递减，故D错误.] 5.AD[对于A,函数y=2x十x十1图象的对称轴为直线x = ,开口向上，所以函数y=2x+x+1在(0，+∞)上 单调递增，故A正确； 对于B因为当x=-2时y=一子 当x=2时，y=1, 所以函量y=马在(-0，DU1,十∞)上不是减函数，故 B错误；对于C,解不等式5十4x一x≥0，得一1x≤5， 所以函数y=√5十4x-x的定义域为[一1,5]，故C错误； 对于D,由a十b>0,得a>-b,b>-a,由于f(x)在R上是 增函数，故f(a)>f(一b),f(b)>f(一a),所以f(a)十f(b) >f(一a)十f(一b),故D正确，故选AD.门 6.解析：由g(x)=t+1=工十】+1，易知g(x)在 2 [合]上单涧遂减，在1,2]上单洞递增，则g( g(1)=3.于是f(x)也在x=1处取得最小值3，则b=一2，c =4,即f(x)=x一2x十4=(x一1)2十3，所以f(x)在区间 [合2]上的最大值为f2)=4 答案：43 7.D[因为f()=xe为偶函教，则f(x) er-11 f-x)=e--xe=[e--] er-]er-l er - =0,又因为x 不恒为0， 可得e-ea-r=0,即e=ea-l 则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.] 8.CD[将函数f(x)=xx一2x去掉绝对值 得f(x)=x-2x,x≥0， {-x2-2x,x<0, 画出函数∫(x)的图象，如图，观察图象可知， 函数f(x)的图象关于原，点对称，故函数f (x)为奇函数，且在（一1,1）上单调递减，在（一o,一1）上单 调递增，故选CD.] 2x-1 9.B[由题意知g(x)=ln2z十是奇函数，而x)=(x+a)g(x) 为偶函数，有f(-x)=(-x十a)g(-x)=-（-x十a)g(x)= (x十a)g(x)=f(x),故x-a=x十a,则a=0.] 富一数学 10.D 11.解：(1)证明：设x1x2是R上的任意两个实数，且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(-2x1+m)-（-2x2+m)= 2(x2-1),x1<x2.x2-x1>0. ∴.f(x1)>f(x).∴函数f(x)在R上是减函数 (2),函数f(x)是奇函数，.对任意x∈R,有f(一x)= -f(x)..2x十m=(-2x+m)..m=0. 12.解：(1)因为f(x-1)=a(x-1)+b,f(x+1)=a(x+1)+ b,所以3f(x-1)-2f(x+1)=3[a(x-1)+b] 2[a(x+1)+b]=ax-5a+b=2x-6, 50+6=-6,解得二2， 所以∫a=2, 1b=4. (2)由(1)可知：f(x)=2.x十4. 所以g(x)=x[f(x)-6]=x(2x+4-6)=2(x2-x) (-)-]=(-)-云 1 当x=合时gx)取最小值-名： 当x=2时，g(x)取最大值4. 新题快递 1.ACD[对于A,对于任意的x,y都有f(xy)=f(x)十f(y) -1,令x=y=1,则有f(1)=f(1)+f(1)-1,所以f(1)= 1,故A正确： 对于B,对于任意的x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)-1,令x =y=一1，则有f(1)=f(一1)十f(一1)一1，所以f(一1)= 1;令y=一1，则有f(一x)=f(x)+f(-1)一1，所以f(-x) =f(x),故f(x)是偶函数，故B错误； 对于C,任取y>x>0,不妨令y=tx(t>1),则有f(y) f(x）=f(t.x)-f(x)=f(t)+f(x)-1-f(x)=f(t)-1,因 为当x>1时，f(x)>1,所以f(t)>1,即f(y)-f(x)>0, 所以f(x)在(0，十○)上单调递增，故C正确： 对于D,由B的判断过程，可知f(x)是偶函数，由C的推导 可知f(x)在(0，十∞)上单调递增.对于任意的x,y都有 f(xy)=f(x)+f(y)一1，且f(2)=3,令x=y=2,可得 f(4)=f(2)+f(2)-1=5,令x=4,y=2,可得f(8)=f(4) 十f(2)一1=7，所以f(x一1)>7可化为f(x一1)>f(8), 即|x-1>8,解得x<-7或x>9,即f(x-1)>7的解集 为{xx<一7或x>9},故D正确，故选ACD.] 2.解析：函数fx)三g十1x<0, 方程f(1十x)=f(2x), .当x<0时，2=e+1,解得x=0,不成立； 当x≥0时，f(1+x)=f(2x)=2,成立. .方程f(1十x)=f(2x)的解集是{xx≥0} 答案：{x|x≥0} 假期作业5 思维整合室 1.(1)根式(2)aa2.(1)√a”后 。没有意义 (2)a+9a甲ab°3.(1)y=a(a>0且a≠1) (2)(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增 函数减函数 技能提升台素养提升 1.B[原式=(52)×号=52×行=5立=5.] 2.D[6是偶数，故当x=6时，x=士6，故选D.] 3.AD[a3·a=a3+=a,故A正确；(-a2)3=-a,故B不 正确；√a=|al,故C不正确；√(-π)=一π，故D正确. 故选AD.] 4期新原式-2×2：：-2X10急 10·a2·b是 8 答案：5 5.D[,'函数f(x)=(2a一3)a是指数函数，∴.2a一3=1，解 得a=2.∴.f(x)=2,f(1)=2.] k曼快乐假期 0M-= 6.D[f()=e+ x+i=e+1- 2 ，易知函数的定义战为 新题快递 {xx≠一1}，当x<一1时，f(x)>1,排除A和B;当x无限 1B[a==36=g时=3，且1>号>号 增大时，f(x)无限趋近于e十1，呈指数增长，排除C,故 .3后<3<3，即b<a<3. 选D.] 7.CD[画出f(x)=2的图象 又：c=8而=2>4，.c>a>b,故选B.] 如图所示， 2.D[由题意易得，号≥1，所以a的取值范周是[2，十o).] 对于A,由f(x)的图象可知，函 数f(x)的值域为[1，十o),A错 假期作业6 误；对于B,由f(x)的图象可知 思维整合室 函数f(x)在[0,1)上单调递减， 1.(1)z=log,N (2)10 Ig N e In N 2.(1)0 1 N b 在[1，十©∞)上单调递增，B错误； 1234 (2)log M+log N log M-log N nlog M (3)Dlog N C正确；对于D.因为y=-a≤ log N ②logd3.(2)(0,+∞)R(1,0)y>0y< 0,所以D正确.故选CD.] log b 8.解析：函数f(x)是指数函数，故设f(x)=a(a>0,且a≠ 0y<0y>0增函数减函数 1),依题意得：f(3)=a3=9a=9f(1),又a>0,所以a=3, 技能提升台素养提升 所以f(x)=3,因此f(4)=3,f(8)=3“=3×3>3= 1.B0og2-1og0=log号=log子=-1，故选A] f(4),所以f(8)>f(4). 答案：> _lg6_l82+lg3-atb.] 9.ABD[对于A,f(x)=x2+2x+3=(x十1)2+2≥2，当x= 2.B [log:6-ig 3 1g3 -1时，等号成立，故A正确；对于B,g(x)=e十e=e+ 3.解析：根据题意有f(3)=log（9十a)=1,可得9十a=2,所 以a=一7. ≥2，当且仅当x=0时，等号成立，故B正确：对于C, 1 答案：一7 h(x)=3+2,由于3>0，所以h(x)>2,故C错误：对于D, V0g3)-2g3+(31g3+3g2-号) m(x)=2+1≥2°+1=2，当且仅当x=0时，等号成立，故 4.解析：原式= (1g3-1)·(1g3+21g2-1) D正确.故选ABD.] 1-lg3)·21g3+21g2-1) 10.解析：设t=8-2x-x,则y= .3 (1g3-1)·(1g3+2lg2-1) 2 上单调递减，又知t=8-2x一x2在（一∞，一1]上单调递 3 答案：一2 增，在[-1，十∞)上单减，所以由y=（)与1=8 5.B[因为y=2的图象为过点(0,1)的递增的指数函数图 2红-复合而成的画数y=(合) 象，故排除选项C,D:y=log(一x)的图象为过，点（一1,0）的 的单调递增区间 递减的对数型函数图象，故排除选项A,故选B.] 为[-1，十∞). 6.BCD[作出函数f(x)=log(x+2)(0<a<1)的大致图象 答案：[-1，+∞) 如图所示，则函数f(x)的图象过第二、三、四象限.] 11.解：(1)由已知得a2=16,解得a=4 所以f(x)= ( 2 因为函数)=（片） 在R上单调递减， 43210 12345元 (m+子）-(m-子)=m-m+2 -2 3 y=log,(x+2) =(m-)+子>0， A x=-2-5 所以f(m+)下f(m-）)】 7.A[作直线y=1(图略)，则1=logx1,1=logx2,1= logx31=logax:,解得x1=a,x2=b,x3=c,x4=d,由图可 (2)因为y=-x+2x-4=-(x-1)2-3≤-3， 知xg>x1>1>x>x,即c<d<1<a<b,故选A.] x+2x-4 所以（日）≥()=4， —3 8.解析：：y=logx是定义战内的减函数，∴.log.(m-1)> /m-1>0, 故g(x)的值域是[64，+c∞) log(3-m)台3-m>0, 1m>1, 即)m<3, 12.解：)当a=分时，函放gx)=√面√分g千 /1 2 (m-13-m,（m<2, ∴.1m2, 即m的取值范围是(1,2). 答案：(1,2) 所以写异≤分化药得3≥3=8，解得≥1， 9.B[由（宁） =5,得b=log号5=-log5,又a=log31= -log23,所以-log5<-log3<0<log2,即b<a<c,故 所以函数g(x)的定义域为[1，十©∞). 选B. (2)函数f(x)在定义域R上为增函数， 证明如下：在R上任取x1,x2,且x1<x2, 1oA[由行-C220得10 则)-a-(e）(-是) 2 解得一8≤x<2,所以函数f(x)=√1-lg(2-x)的定义战 为[一8,2)，故选A.」 2(31-3) 11.解：(1)证明：任取x1x2∈(a,十∞)， (31+1)(3+1) 由x1<x2,可知0<31<3，则31-3<0， 不妨令0<a<x<,g(x)=1-a 又因为31+1>0,3+1>0， 则g(x1)-g(x2） 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在定 义域R上为增函数. -1-)厂-）=2<0… 86