假期作业3 一元二次函数、方程和不等式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版 全学年）

三0022 高一数学母 假期作业3一元二次函数、方程和不等式 温故而知新，可以为师矣。 完成日期： 月 日 思维整合室 判别式 △>0 △=0 △<0 1.不等式的性质 △=2-4ac (1)对称性：a>b台 .(双向性) 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有 (2)传递性：a>b,b>c→ (单向性) az +ba+c T1,x2(x1<x2) b x1=2= =0(a>0)的根 Za 实数根 (3)可加性：a>b台a+c>b+c.(双向性) (4)可乘性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac ax2+bx bc. +c>0(a>0) (5)a>b,c>d→ (单向性) 的解集 (6)a>b>0,c>d>0→ ,(单向性) ax2+bx+ (7)a>b>0→a>5(n∈N,n≥2).（单向性） c<0(a>0) 2.基本不等式 的解集 (1)重要不等式 《技能提升台 如果a,b∈R,那么a2+b 2ab(当且仅当a 素养提升 =b时取“=”). ◆[考点一]不等式的性质 (2)基本不等式：√ab≤a+b 2 1.一般的人，下半身长x与全身长y的比值工在 ①基本不等式成立的条件： 不小于0.57且小于0.6之间，用不等式表示为 ( ②等号成立的条件：当且仅当 时取 等号 A.2<0.57 B.x>0.6 y y 3.算术平均值与几何平均值 C.0.57<≤0.6 D.0.57≤x<0.6 (1)设a>0,b>0,则a,b的算术平均值为4b, y y 2 2.已知a<b<0,那么下列不等式成立的是 几何平均值为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均 A.a<b B.a2<62 值 它们的几何平均值. C.(-a)3<(-b)3 D.(-a)2<(-b)2 4.三个“二次”的关系 3.若f(x）)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1, 判别式 则f(x),g(x)的大小关系是 () △>0 △=0 △<0 △=b2-4ac A.f(x)=g(x) 二次函数 B.f(x)>g(x) y=a.x2+bx十c C.f(x)<g(x) (a>0)的图象 D.随x的值变化而变化 飞是快乐假职 -.-S00Ae 4.设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的 12.已知关于x的方程(m+1)x2+2(2m+1) 是 ·x十1一3m=0的两根为x1,x2.若x1<1 <x2<3,求实数m的取值范围. ①如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d; ②如果a≠b,且c≠d,那么ac≠bd; ⑧如果a>b>0,那么0<日分： ④如果(a一b)2+(b一c)2≤0，那么a=b ◆[考点二]基本不等式 5.(多选)已知a>0,b>0,且a十b=1,则() Aa2+6≥号 B.26>1 新题快递 C.log2a+logb>-2D.Na+b≤√2 1.设a、b是实数，定义：a⊙b=a2b+ma2-9a 9b+1(m∈R).则满足不等式1⊙(2⊙(… 6,若0<x<2,则函数y=x-4的最大 (2022⊙2023)…)≤1的实数m的取值范 围是 () 值为 A.m≥1 B.m≤208-2 A.1 B司 c Cm≤8 D.1≤m≤329+4325 361 7.(2021·天津卷，13)若a>0,b>0,则1+0 2.某市一个经济开发区 a 的公路路线图如图所 十b的最小值为 示，粗线是大公路，细 8.(2023·上海卷)已知正实数a、b满足a+4b 线是小公路，七个公司 A1,A2,A3,A4,A5,A6, =1,则ab的最大值为 A,分布在大公路两侧，有一些小公路与大 ◆[考点三]一元二次不等式 公路相连.现要在大公路上设一快递中转 9.设集合M={xx2-2x-3<0,x∈Z},则集 站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和 越小越好，则这个中转站最好设在() 合M的真子集个数为 ( A.路口C B.路口D A.8 B.7 C.4 D.3 C.路口E D.路口F 10.若不等式ax2+bx-2<0的解集为 《益智欢乐谷 刚接一骗子电话：我 {-2<<}则= 线没啦 ( 是某某银行，刚查询发现 您的银行卡今天消费8 A.-28B.-26 C.28 D.26 万8千元，请问是您本人 11.已知关于x的不等式一x2+4x≥a2一3a 消费么？ 我很平静说：是我消费的， 在R上有解，则实数a的取值范围是 骗子沉默了5秒后说：您真能吹牛…把 我思路全打乱了，再见… 6飞受快乐度期 (2)由非空集合B={x6m-4<2x-4<2m}知，6m-4< 2m,解得n<1,B={x3m<x<m十2}， 因“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B军A,因此3m <m十2-1，解得m≤一3， 所以实数m的取值集合是{mm≤一3}. 12.解：(1)由M∩P={x5<xr8}知，a8. ∴.M∩P={x5<x≤8}的充要条件是 -3a -3≤a5. (2)M∩P={x5x≤8}的充分不必要条件，显然，a在 一3,5]中任取一个值都可以. (3)若a=-5,显然M∩P=[-5,-3)U(5,8]是M∩P= {x5x8}的必要不充分条件 故a<一3时为必要不充分条件 新题快递 1.ACD[对于A,因为x>1,所以x>1或x<-1,所以“当 x>1”时，“x>1”成立，反之不成立， 故“x>1”是“x>1”的充分不必要条件，正确： 对于B,“a∈P∩Q”一定有“a∈P”成立，反之不成立， 故“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件，错误； 对于C,命题“Hx∈R,有x2十x+1≥0”是全称量词命题， 其否定是存在量词命题，即“了x∈R,使x2十x十1<0”， 正确； 对于D,当a十b十c=0时，1为方程ax2十bx十c=0的一个 根，故充分性成立； 当方程ax2十bx十c=0有一个根为1时，代入得a十b十c= 0,故必要性成立，正确.] 2.解析：因为全称量词命题“对于任意x∈R,函数y=x十ax十1 ≥0”的否定形式为“存在x∈R,函数y=x2十a.x十1<0”. 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形 式的命题是真命题， 由于函数y=x2十ax十1是开口向上的抛物线，借助二次函 数图象（图略）易知△=a2一4>0， 解得a<-2或a>2. 所以实数a的取值范围是a<一2或a>2. 其命题是真命题，知△0， 知a2一4≤0，得-2≤a2. 答案：{aa<-2或a>2}{a-2≤a≤2) 假期作业3 思维整合室 1.(1)b<a(2)a>c(5)a+c>b+d(6)ac>bd 2.(1)≥(2)①a,b均为正实数②a=b 3.(1)√ab(2)大于或等于 4.{xx<或x>2}{zx≠x1}{x工1<x<}0☑ 技能提升台素养提升 1.D2.A3.B 4.解析：对于①，根据不等式的基本性质得，如果a>b,且c> d,那么a十c>b十d,命题①正确；对于②，如果a≠b,且c≠ d,那么ac≠bd错误，如a=之，b=2,c=-2,d=- 三bd=1,命题②错误；对于③，如果a>b>0,那么0 所以方>>0，即0<今③正：对于如 a (a-b)2十(b一c)2≤0，那么a-b=b-c=0,所以a=b=c, 命题④正确.所以真命题的序号是①③④. 答案：①③④ 5.ABD 6.C[国为0<x<2,所以1-4r2>0,所以x-4r- 名×2x-4r≤g×+}r- 2 4,当且仅当2x 4,即x时等号成立，故选C 7.解析：a>0,b>0, 日++6≥2√/日是+6=+≥26 =22, 8 00M= 当且仅当上=是且2=b,即a=b=2时等号成立， b2 b 所以日+是十6的最小值为22 答案：2√2 8解析：正实数a6满是a十0=1，到ab=}Xa·6<}× 号6=日时等号成立。 答案：6 9.B[由x2-2x-3<0,得-1<x<3,∴.集合M={0,1,2}, 其真子集的个数为2°一1=7，故选B.] 1 -2+ b 10.C[由已知得 4 '解得二 -2x}= 2 1b=7, .ab=28.] 11.解析：因为关于x的不等式-x2十4x≥a2-3a在R上有 解，y=-x2+4x=一(x-2)2+4的最大值为4，所以a2一 3a≤4，解得-1≤a≤4. 答案：{a-1a≤4} 12.解：设y=(m十1)x2+2(2m十1)x+1-31,显然m十1≠0. ①当m十1>0时，二次函数图象的简图如图①. 则当x=1时，y<0;x=3时，y>0. 「m>-1, m+1>0, 所以2m+4<0,即m<-2, 不等式组无解。 8 18m+16>0,m>-9, ②当m十1<0时，二次函数图象的简图如图②. 则当x=1时，y>0;当x=3时，y<0, m+1<0, <-1, 即2m十4>0，即 m>-2,得-2<m<-1. 8 18m+16<0, m<-9, 综上可知，实数m的取值范围是{m一2<m<-1}. yA y 13 01 图① 图② 新题快递 1.C[a⊙b=ab+ma2-9a-9b+1(m∈R),设4⊙(5⊙(… (2022⊙2023)…)=x, 则3⊙x=9x+9m-27-9x+1=9m-26, 2⊙(9m-26)=4(9m-26)+4m-18-9(9m-26)+1=113 -41m 1⊙(113-41m)=(113-41m)+m-9-9(113-41m)+1= 329m-9121, 解得m≤器] 2.B[观察图形知，A1,A2,A,A1,A,A6,A,七个公司要到 中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点， 令A1到B、A2到C、A3到D、A4到D、A到E、A6到E、A, 到F的小公路距离总和为d, BC=d,CD=d:,DE=ds EF=d, 路口C为中转站时，距离总和Se=d十d1十d2十d2+(d+ d2)+(d3+d2)+(d:+d3十d2)=d+d1十5d2+3d+d4, 路口D为中转站时，距离总和So=d+(d1十d2)十d2十d +d3+(d,+d3)=d+d1+2d2+3d3+d4, 路口E为中转站时，距离总和S=d十(d十d2十d)+(d2 +d2)+d3+d3+d,=d+d1+2d2+4d3+d:, 路口F为中转站时，距离总和Sr=d+(d十d2十d十d,)十 (d2+d+d,)+2(d+d)+2d=d+d+2d2+4d+ 5d1,显然S>SD,Sr>SE>So,所以这个中转站最好设在 路口D.]