假期作业19 三角恒等变換-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

三0022 学而不思则罔，思而不学则殆。 假期作业19三角恒等变换 完成日期： 月 日 《思维整合室 4.(2023·新课标I卷)已知sin(a一)=3， 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(a±β)= osasin=月名，则cos(2a+2g)=（ cos(a干B)= tan(a土)= A日 B时 C.-g D.- (Q士月，a,8均不为x+受∈Z 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知a为锐角，cosa= 2.倍角公式 1+5,则sin号 ( 4 sin 2a= cos 2a= A.35 B.1+5 8 tan 2a= 2tan a( 1-tan a ,2a均不为r+至k∈Z C.35 D.-1+5 4 4 3.三角函数公式的变形 (1)tana±tanB=tan(a士β)(1千tan atan B); 6已知sim=2g50eo,引则an2-】 (2)cosa-1+cos 2a,sin'1-cos 2 2 心 (3)1+sin 2a=(sin a+cos a)2,1-sin 2a=(sin a ◆[考点二]二角变换的简单应用 cos sin c-/in 7.函数f(x)=3sin受e0s受+4cos3号（x∈R) 《技能提升台 的最大值等于 () 素养提升 A.5 B号 c D.2 ◆[考点一]三角函数式的化简与求值 8.关于函数y=sinx(sinx+cosx)描述正确 1.V3sin5π 一cos5的值是 ( 的是 A.√2 B② A.最小正周期是2π C.-2 7π D.sin 12 B.最大值是2 2.已知a∈ （0,2,2sin2a=cos2a+1,则 C.一条对称轴是x= 4 sin a= A青 c D.25 D一个对称中心是（后】 5 9.(多选)设函数f(x)=sin 2x+ 3.(多选)下列式子的运算结果为3的是( ) A.tan25°+tan35°+√3tan25°tan35° cos2x+,则fx) B.2(sin35°cos25°+cos35°cos65) A.是偶函数 c共m B在区间0， 上单调递增 tan6 C.最大值为2 D 1-tan2x D.其图像关于点 至0对称 47 飞堡快乐假期 0M-= 10.如图，矩形OABC中，AB=1,OA=2,以B 12.已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的 为圆心，BA为半径在矩形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM⊥OA,垂足为M,PN 非负半轴重合，它的终边过点（一号，一号） ⊥OC,垂足为N,则四边形OMPN的周长 (1)求sin(a+π)的值； 的最小值为 (2)若角B清足sin(a+D=影，求casB 的值. 01 11.已知OA=(1,sinx-1),OB=(sinx+ sin xcos,sinx),f(x)=OA·OB(x∈R).求： (1)函数f(x)的最大值和最小正周期： (2)函数f(x)的单调递增区间. 新题快递 1.将函数f(x)= 2 sin 2x+)+ cosx+石)的图象向右平移(p>0)个单 位长度，得到函数g(x)的图象关于x=晋 对称，则9的最小值为 A晋君 B c 2.若m=-号则m2a+到片 《益智欢乐谷 前进步伐，永不停歇 六点起床很困难，背单词很困难，静下心 很困难…但是总有一些人，五点可以起床， 一天背六课单词，耐心读完一本书.谁也没有 超能力，但是自己可以决定一天去做什么事 情.你以为没有路，事实上路可能就在前方一 点点.那些比自己强大的人都在拼命，我们还 有什么理由停下脚步. 48壁快乐假期 4.B[向量a,b满足a十b=(2,3), a-b=(-2,1), 所以a2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1= -1.] 5.D[由a十b十c=0得a十b=一c,所以(a十b)2=(-c)2, 即a2+2a·b+b=c2,又|a=|bl=1,cl=√2， 所以a·b=0,所以a⊥b. 如图所示：a-c=CA,b-c=CB,由 余弦定理得|CA|=|CB引=√5，所以 b cos∠ACB=5+5-2=4 0以 25X55, 即cos(a-c, C b-c=÷] 6.解析：由a+b=2a-bl,得a2=2a·b; 由a-bl=√3，得a2-2a·b+b=3,即b=3, Ib1=5. 答案√3 7.ABCD[|a+b=|a-bl台|a+b2=|a-b12台a2+2a·b +b=a2-2a·b+b2曰a·b=0,a2+b2=(a-b)2曰a2+b2 =a2-2a·b+b2台a·b=0.] 8.D[(a+b)·(a+b)=a2+(λ+)(a·b)+λb9 =2(1十4)=0，所以4=一1.] 9.解析：由向量a,b的夹角为号，且(a-b)Lb, 得(a-b)·b=a·b8=号a1b1-b=0, 所以a=2a1,8=2 因为|a十b=√(a十b)2=√a2+2a·b+b =√4b+2b2+b产=√71b1, |a-bl=√(a-b)2=√/a2-2a·b+b =√4b-2b+b下=√51b1, 所以a+b=2虹 a-b|3 答案：22 3 10.AC[设a=h(>0),所以n=3,解得质=3， 3k=3, n=1, 即a=√3b,故A正确； 设c=(x,y)是与a垂直的单位向量，则有3x十3y=0,x2十y -1所以-(-9号)一（停-）故B特凝： 因为6在a上的授影向量为3，所以=3，所以 3m十33=3，解得n=3,故C正确； 2√3 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a,b不共线，所 以3+3y5<0解得3即<-3，所以n（-e, 3-3n≠0， 1n≠1， -3),故D错误.故选AC.] 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM的中垂线，设AM与EF交于点 N,则N是AM的中点，又正方形边长为 8,所以M(8,4),N(4,2). 设，点E(e,0),则AM=(8,4),AV=(4,2),om AE-(e,0),EN-(4-e,2), 9 S0M= 由AM⊥EN得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0,解得 e=5,即|AE1=5. 所以SAa=21A1B=号X5X4=10. 12.解：(1)：AB.AC=0,AB⊥AC 又1AB1=12,1BC1=15,1AC=9. 由巴知可得A市-号A+A,C成=A脑-A花， Aò.C弦=之(AB+AO(A店-AC =专（店-A心）=名14-81)- 2 (2)AE.CB的值为一个常数. 理由：：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D,E 为l上异于D的任意一点，DE·CB=0. 故AE.CB=(AD+DE)·CB=AD.CB+Di.C3= 市.Ci=3(常数). 新题快递 1.C[关于x的方程a2x2十2a·bx十b2=0有实数根，则△= 4(a·b)2-4a2b2≥0， 故(a·b)2≥a2b,即|a·b|≥allbl, 文|a·b≤|abl,所以|a·b=|a|b,即向量a,b共线， 反之也成立，因此两者应为充要条件.] 2.A[设正方形的边长为2，如图 建立平面直角坐标系. 则A(-1,0),B(1,0),C(1,2), D(-1,2),P(cos0,sin)(其中0 <0<π)， PA+PB+PC+PD=(-1- cos 0,-sin )+(1-cos 0,-sin 0 +(1-cos0,2-sin0)+(-1- cos 0,2-sin )=(-4cos 0,4-4sin 所以|PA+PB+PC+PD1=√(-4cos)2+(4-4sin0) =√32-32sin0, 因为0∈(0，π)，所以sin0∈(0,1]，所以|PA+PB+PC+ PD1∈[0,4√2)， 故|PA+PB+PC+PD1有最小值为0，无最大值.] 假期作业19 思维整合室 1.sin acos cos asin cos acos sin asin Bta tan tana士tanB 2.2sin acos a cos'a-sin a 2cos a-1 1-2sina 技能提升台素养提升 1.A2.B 3.ABC[对于A,tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°= tan(25°+35)(1-tan25°tan35)+√3tan25°tan35°=√3- √3tan25°tan35°+√3tan25tan35°=√3； 对于B,2(sin35°cos25°+cos35°cos65)=2(sin35°cos25°+ cos35°sin25)=2sin60°=V3; 对子c-" 1-tan45°tan15 =tan60°=√3； 对于D,一 2am音 -an2晋 2 6 综上，式子的运算结果为√3的选项为ABC.故选ABC.] 三0022 4.B[因为sin(a-段=sin月-=子， cos sin月=合，则sin ecos月=合 1 故sn(a十段=sin叶osein=合十日=号 即cos(2a+20=1-2sima+0=1-2×(号)广-号] 5.D[由半角公式可知sim号=0s巴，解得s如名 2 -5 6解折：sm0=2g0E(0,受）→os0=个-n0=5> am0=0g-2, ."tan20=-2tan 0 "an4-合， 4 an(20-号）广1+n2a tan20-tan车=tan20-)月 1十tan204 π =7. 答案：7 7.B[由题意如f✉)=名snx十4X1中严=号。 2 2sinx十 2osz+2=号im(x十p+2(共中1amg=专)又因为x长 R,所以f)的最大值为号.】 8.D[由题意得： y-sin (sin cos )sin sin 2 名sn2=号sn红一)十分选项A:通数的展小三网 期为Tm=2五==不，故A错误；选项B:由于一1≤ w 2 sm(2红晋)1，函盘的最大值为号+号，故B错选项C: 函条的对称轴瑞足2一子-标十受=合十，当x一开 时，k=一子正乙，故C错误；选项D:令x=否，代入函数的f 的一个对称中心，故D正确.] 9.AD[:画鼓f)=sim(2x+至)十cos(2x+至)=厄 sm[(2x+)+]-Ein(2z+登)-Eos2x,z∈R, f(-x)=√2cos(-2x)=√2cos2x=f(x),∴.f(x)为偶函 数，故A正确. 令2kx十r≤2x≤2x十2kr,k∈Z,解得kx+吾≤x≤+kx,k ∈Z,当k=0时，≤x≤，则画数f(x)在（受，x)上单调 递增，故B不正确.f(x)的最大值为√2，故C不正确.由2x 一kx十受，k∈Z,解得x-经+冬，k∈乙，可得当及=0时，共 图像关于点（子，0对称，故D正确，故选AD.] 10.解析：连接BP,设∠CBP=a,其中0≤a<受，则PM=1- sina,PN=2-cosa,四边形OMPN的周长C=6-2(sina +cosa),因为(sina十cosa)2=1+2 sin acos a=1+sin2a, 所以要让周长最小，即让(sina+cosa)最大，即sin2a最 大，因为sin2a在。=下时取到最大值1，所以当a=平时， 周长有最小值6-2√2. 答案：6-2√2 9 高一数学) l1.解：(1)f(x)=OA·OB=sinx+sin xcos x+sin2x-sinx= 号m(-）十2x--2+受e,即 工=x+否∈团时，)取得最大值，)的最小 正周期为元 8:-号(2：子）十合 1 即一吾<<x十誓∈Z时，画数了)为增西数。 小f)的单调递增区间为[k红一青，m+餐]∈D, 12解，由角a的终边过点P(号，音)广 得如=一 4 所以sin(a十π)=一sina= · 份南有&的终边过这P(号，一)，浮m。= 3 51 由sna+0=,得cosa+角=士号 12 由B=(a十)-a,得cosB=cos(a+B)cosa十sin(a+B)sina, 所以asg产需或cmsf。 新题快递 1A[f(x)-号血(+)+m(+看)-号 合m(2+)是=m(2++)+ sm(2x++6）十2-os2x+2 1 1 所以g）=cos2(x-9）+2=cos(2x-2p)+2, 国为画教g)的图象关于2=晋对称，所以2×晋-29一x ∈Z), =及-经(k∈D,因为p>0,所以=0时9=晋最小.] 所以96一2 2解析：如(2a+)=号如2a+os2动 -22sin acos a+cos a-sin'a sin'a+cos'a 4 22uam+1-iame2×3+1-广972 2 tan'a+1 2 台+1 26 省案：7号 假期作业20 思维整合室 L品A品B益C2元素解三角形 b C 技能提升台素养提升 1.D2.B3.C 4C[在△ABC中，已知A=号，BC=3,AB=6, 尉向正袋定理可得中3三。 sin 3 sin C 求得simC=2 2 Ce0,mC-或C= 4 再由BC>AB,以及大边对大角可得C-T<A.]