假期作业18 向量的数量积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

三0022 高一数学 照即刻扫码 假期作业18 向量的数量积 AI伴学助手 婆率谏香王“ 同步学习微课 新知预习宝典 《思维整合室 ◆[考点二] 利用向量数量积求向量的夹角 1.向量的数量积 和模 定义：当a与b都是非零向量时，称 4.(2023·北京卷)已知向量a、b满足a+b= 为向量a与b的数量积（或内积）.规定：零 (2,3),a-b=(-2,1),则|a2-b12=() 向量与任一向量的数量积为 A.-2B.-1 C.0 D.1 2.向量数量积的运算律 5.(2023·全国甲卷（理）)向量|a=|b|=1, (1)交换律：a·b= |cl=√2，且a+b+c=0,则cos(a-c,b-c》 (2)数乘结合律：(a)·b=入(a·b)=a·(b); (3)分配律：a·(b+c)= 3.向量数量积的坐标运算 D 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),〈a,b) 6.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足a =0. b=√3,1a+b1=|2a-b1,则|bl= 结论 几何表示 坐标表示 ◆[考点三]平面向量的垂直及应用 模 lal= al= 7.(多选)已知a,b为非零向量，且a=(x1, 数量积 a·b= a·b= y1),b=(x2,y2),则下列命题中与a⊥b等 夹角 cos 0= cos 0= 价的有 () A.a·b=0 B.x1x2+y1y2=0 a⊥b a·b=0 C.la+bl=la-bl D.a2+b2=(a-b)2 4.向量在几何中的应用 8.(2023·新课标I卷)已知向量a=(1,1),b (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向 =(1,-1),若(a十b)⊥(a+b),则() 量定理：a∥b台a=b台x1y2-x2y1=0(b A.λ+=1 B.λ十4=-1 ≠0). C.4=1 D.λ=-1 (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b台→a·b=0台x1x2+y1y2=0. 9.已知向量a,b的夹角为罗，(a一b)Lb,则 《技能提升台 atb 素养提升 a-b ◆[考点一]平面向量数量积的运算 ◆[考点四]平面向量数量积的综合应用 1.已知向量a=(6,-8),b=(3,m),a∥b,则 10.(多选)若向量a=（3,3),b=(n,√3)，下 a·b= ( 列结论正确的有 A.14 B.-14 C.50 D.-50 A.若a,b同向，则n=1 2.(2023·全国乙卷（文）)正方形ABCD的边长 B.与a垂直的单位向量一定是 是2，E是AB的中点，则EC·ED=( C.若b在a上的投影向量为3e(e是与向 A.√5B.3 C.2√5D.5 量a同向的单位向量)，则n=3 3.已知向量AB=(2,0),AC=(一1,2)，且满足（入 D.若a与b的夹角为钝角，则n的取值范 AB+AC⊥BC,则入的值为 围是（一3，十∞） 45 飞受快乐假期 0M-= 11.如图所示，ABCD是正方 D 新题快递 形，M是BC的中点，将 1.已知向量a,b是非零向量，设甲：向量a,b 正方形折起使点A与M 重合，设折痕为EF,若正 共线；乙：关于x的方程a2x2+2a·bx+b 方形面积为64，求△AEM =0有实数根；则 () 的面积. A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 2.(多选)如图，以AB为直径 在正方形内部作半圆O,P 为半圆上与A,B不重合的 一动点，下面关于|PA十PB +PC+PD的说法正确的是 A.无最大值，但有最小值 B.既有最大值，又有最小值 12.在△ABC中，AB·AC=0,AB=12, BC=15,l为线段BC的垂直平分线，l与 C.有最大值，但无最小值 BC交于点D,E为L上异于D的任意一点. D.既无最大值，又无最小值 (1)求AD·CB的值： 《益智欢乐谷 (2)判断AE·CB的值是否为一个常数， 诺贝尔奖不设数学奖，但国际数学界有一 并说明理由. 个代表数学界最高成就的大奖一菲尔兹奖 菲尔兹奖于1932年在第九届国际数学家 大会上设立，1936年首次颁奖.该奖以加拿大 数学家约翰·菲尔兹的名字命名，授予世界上 在数学领域做出重大贡献且年龄在40岁以下 的数学家.该奖由国际数学联盟（简称IMU) 主持评定，每4年颁发一次，每次获奖者不超 过4人，每人可获得一枚纯金制作的奖章和一 笔奖金.奖章上刻有希腊数学家阿基米德的头 像，还有用拉丁文镌刻的“超越人类极限，做宇 宙主人”的格言. 1982年，美籍华人数学家丘成桐荣获菲 尔兹奖，成为获此殊荣的第一位华人 46三0022 9.解析：依题意知，a-28十18-23，A=28,18-5,y=23十 2 2 5cos[晋(x-6小当x=10时y=23+5co(看×4到=20.5， 答案：20.5 10,解析：设A(,号)B(2）则十g=音十9 -,又一西=吾，所以w=4,由南线y=f(x)过 (0）所以4×暂+=2，甲g=-经，所以f) 如(4x-）x)=sin(4x-) 奢案：一9 1山.解：)由题周知T=是（石）=交， .函数f(x)的最小正周期T=元. 由题图知f(x)的最大值为1，最小值为一1. (2②)由1)知w=票=2.由题意得2×（看）十9=2x, ∈Z,解得9=2x+晋，k∈2，又-受<<受p=晋， 则fm)=sn(2x+号)令2x-音≤2x+吾≤2r+受 ∈D,得x-晋≤<x+8∈，故禹数 )的单调道增区间是[x一登x十是]k∈D。 12.解：(1)对于画数y=Asin(ax十p,由图像可知，A=8y5,。 3,w =9=”可=言务B(8)入y=89. 3 sim(否x+9)中，可得sim(g+9）=1,故5+g=2x+ 受(k∈D,9=2x-号(k∈2).周为p<受，所以9 -音故y=8g(信音）e[4即 ②在y8如（行晋）中，令x=4,得）y-4,故D4,0, 从而得OD对应的函数为y=2√元(0≤x≤4).设点 P(香)0≤≤)，则矩形PMFE的面积S=（-专)上 0<<4.同为S-4-学，南S=0,得1-4，当 (0,）时s>0s单调递增当（时，<0.S 单调递减。所以当=4时，S最大，此时点P的坐标 3 告 新题快递 1.D[周为)=sin(ww+g)在区同（看，）单满递增， 所以号---子且。>0，则T=经-2 当x=吾时，)取得最小值，则2：吾十g=2x一吾∈ Z,则9=2x-晋，k∈2。 9 一数半) 不坊取及=0，则)=sin(2红一) 则()如（餐）] 2.C[因为y=co(2x+晋)向左平移晋个单位所得函数为 y=os[2(+)+] cos(2x+）=-sin2z,所以f)=-sim2z, 而y=x-显然过(0，-号)与1,0)两点， 作出f)与)一名x一名的大致图像如下， f(a) 考虑2x=一 2=2=经即=-x= ,x- 2 牙处f)与y=一号的大小关奉， 当x=-要时（）-如（）-1， y-×(）--84<-1 8 当x=时，f(）=-经-1y=×-合 3π一4<1； 当x=径时f()=-sm受=1y=×-合 7元一4>1； 8 所以由图可知，)与y=之x一号的交点个数为3.] 假期作业18 思维整合室 1.lallblcos002.(1)ba(3)a·b+a·c 3.√a·a√+lallblcos0xx+hy1ab a.b x1x2十yy2 √+y·√x+ x1x2十y1y2=0 技能提升台素养提升 1.C[因为向量a=(6,-8),b=(3,m),a∥b,所以6m十24= 0,解得：m=-4,a·b=18-8m=18-8×(-4)=50.] 2.B[以{AB,AD}为基底向量，可知|AB|=AD|=2,AB· AD=0 则EC-EB+BC=号A店+AD,ED=EA+A0=-合A店 +AD, 所以元.D=(合A店+AD)·(-专A店+AD)=-音 AB+AD=-1+4=3.] 3.解析：因为BC-AC-A店=(-3,2)，所以(aA店+AC)⊥BC →(AAB+AC)·BC=0→λAB·BC+AC·BC=0,即-6x +7=0,解得X=名 答案：6 壁快乐假期 4.B[向量a,b满足a十b=(2,3), a-b=(-2,1), 所以a2-|b|2=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1= -1.] 5.D[由a十b十c=0得a十b=一c,所以(a十b)2=(-c)2, 即a2+2a·b+b=c2,又|a=|bl=1,cl=√2， 所以a·b=0,所以a⊥b. 如图所示：a-c=CA,b-c=CB,由 余弦定理得|CA|=|CB引=√5，所以 b cos∠ACB=5+5-2=4 0以 25X55, 即cos(a-c, C b-c=÷] 6.解析：由a+b=2a-bl,得a2=2a·b; 由a-bl=√3，得a2-2a·b+b=3,即b=3, Ib1=5. 答案√3 7.ABCD[|a+b=|a-bl台|a+b2=|a-b12台a2+2a·b +b=a2-2a·b+b2曰a·b=0,a2+b2=(a-b)2曰a2+b2 =a2-2a·b+b2台a·b=0.] 8.D[(a+b)·(a+b)=a2+(λ+)(a·b)+λb9 =2(1十4)=0，所以4=一1.] 9.解析：由向量a,b的夹角为号，且(a-b)Lb, 得(a-b)·b=a·b8=号a1b1-b=0, 所以a=2a1,8=2 因为|a十b=√(a十b)2=√a2+2a·b+b =√4b+2b2+b产=√71b1, |a-bl=√(a-b)2=√/a2-2a·b+b =√4b-2b+b下=√51b1, 所以a+b=2虹 a-b|3 答案：22 3 10.AC[设a=h(>0),所以n=3,解得质=3， 3k=3, n=1, 即a=√3b,故A正确； 设c=(x,y)是与a垂直的单位向量，则有3x十3y=0,x2十y -1所以-(-9号)一（停-）故B特凝： 因为6在a上的授影向量为3，所以=3，所以 3m十33=3，解得n=3,故C正确； 2√3 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a,b不共线，所 以3+3y5<0解得3即<-3，所以n（-e, 3-3n≠0， 1n≠1， -3),故D错误.故选AC.] 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM的中垂线，设AM与EF交于点 N,则N是AM的中点，又正方形边长为 8,所以M(8,4),N(4,2). 设，点E(e,0),则AM=(8,4),AV=(4,2),om AE-(e,0),EN-(4-e,2), 9 S0M= 由AM⊥EN得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0,解得 e=5,即|AE1=5. 所以SAa=21A1B=号X5X4=10. 12.解：(1)：AB.AC=0,AB⊥AC 又1AB1=12,1BC1=15,1AC=9. 由巴知可得A市-号A+A,C成=A脑-A花， Aò.C弦=之(AB+AO(A店-AC =专（店-A心）=名14-81)- 2 (2)AE.CB的值为一个常数. 理由：：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D,E 为l上异于D的任意一点，DE·CB=0. 故AE.CB=(AD+DE)·CB=AD.CB+Di.C3= 市.Ci=3(常数). 新题快递 1.C[关于x的方程a2x2十2a·bx十b2=0有实数根，则△= 4(a·b)2-4a2b2≥0， 故(a·b)2≥a2b,即|a·b|≥allbl, 文|a·b≤|abl,所以|a·b=|a|b,即向量a,b共线， 反之也成立，因此两者应为充要条件.] 2.A[设正方形的边长为2，如图 建立平面直角坐标系. 则A(-1,0),B(1,0),C(1,2), D(-1,2),P(cos0,sin)(其中0 <0<π)， PA+PB+PC+PD=(-1- cos 0,-sin )+(1-cos 0,-sin 0 +(1-cos0,2-sin0)+(-1- cos 0,2-sin )=(-4cos 0,4-4sin 所以|PA+PB+PC+PD1=√(-4cos)2+(4-4sin0) =√32-32sin0, 因为0∈(0，π)，所以sin0∈(0,1]，所以|PA+PB+PC+ PD1∈[0,4√2)， 故|PA+PB+PC+PD1有最小值为0，无最大值.] 假期作业19 思维整合室 1.sin acos cos asin cos acos sin asin Bta tan tana士tanB 2.2sin acos a cos'a-sin a 2cos a-1 1-2sina 技能提升台素养提升 1.A2.B 3.ABC[对于A,tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°= tan(25°+35)(1-tan25°tan35)+√3tan25°tan35°=√3- √3tan25°tan35°+√3tan25tan35°=√3； 对于B,2(sin35°cos25°+cos35°cos65)=2(sin35°cos25°+ cos35°sin25)=2sin60°=V3; 对子c-" 1-tan45°tan15 =tan60°=√3； 对于D,一 2am音 -an2晋 2 6 综上，式子的运算结果为√3的选项为ABC.故选ABC.]