假期作业13 向量的基本定理与向量的坐标-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

飞壁快乐假翻 新题快递 1.BC[对于A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向量， 满足“|a=|b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a∥b不 成立.故A、D错误；对于B:由零向量与任何向量平行，可知 |a=0或|b=0时，a∥b.故B正确；对于C:因为a=-2b, 所以a∥b.故C正确.] 2.解：设AF=mAD,BF=nBE, 根据向量共线定理，得：AF=mAD, AF=nAE+(1-n)AB,3 AE=AC 所以A=号A+1-)A店， 又因为AD=}(AB+Ad, 所以号AC+(1-m)A店=受(AB+AC), 1 m2 解得： ,即 1-n= a= 代入B市=nB眩=n(A范-A)=是(}AC-A脑)=AC 解得：入=一 3 1 4=4: (1DA+u=-合，25=合 AD=2· 假期作业13 思维整合室 2.不共线xm十b基底 3.两个互相垂直 4.单位向量a十b 5.(1)x1+x2y1+y2(2)x1-x2y1-y2(3)ax,y 6.(1)a=b(2)x1y2-x2y1=0 技能提升台素养提升 1.B 2.D[连接CD,OD(图略)，：点C,D是半圆孤AB的两个三 等分点，.AC=BD,∴.CD∥AB,∠CAD=∠DAB=30°， OA=OD,∠ADO=∠DAO=30°，∴.∠CAD=∠ADO= 30°，.AC∥DO,∴四边形ACDO为平行四边形，AD=AO+ Ad.:A0-A店=2a,AC-b,AD=2a+b.故选D.] 3D[由题意，成=A花-A店=号A市-a=(店+B励)-。 =普B时-言a=号×号B心-吉a=是-a)-吉。 =-ta a+0.] 4.解析：由条件可知+=2， A2=3解得 -8 答案：号- 5.D[2a十b=2(2,4)十(-1,1)=(3,9).故选D.] 6.A[凌c=a+0,则(0，号）=(2x-x+2 2.x-y=0, 1 所以 、c+2v=5,解得{2’则c=2a十h.] 9 -.-S0M□ 7.A[根据题意，向量a=(3,1),b=(0,-1),则a-2b= (W3,3);若(a-2b)∥c,且c=(k,W3),则有3k=√3X√3，解 可得k=1.] 8.解析：设C(x,y),因为A(0,1),B(3,-2),所以AC=(x,y 1),CB=(3-x,-2-y), 又因为AC=2CB,所以x=2(3-) {y-1=2(-2-y)' 解得{21所以C-(y-》=2,-2》 答案：(2，-2) 9.A[如图，以A为原点，AB所在直线为x 轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标 系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为 (0,2),因为∠DAB=60°，所以设D,点的坐 标为(mW3m)(m≠0). AD=(m,W3m)=λAB+μAC=a(1,0)+(0,2)=(a,2μ)， 则A=m具=停，所以文-2] 10.解析：以点A为坐标原点，AB、AD所在直 线分别为x、y轴建立如图所示的平面直 角坐标系， 则，点A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2), AP-=2A店+AG=2(2,2)+22,0) =(2,1), 则点P(2,1),PD=(-2,1),PB=(0,-1), 因此|PD|=√(-2)2+1=√5， PB·PD=0X(-2)+1×(-1)=-1. 答案：W5-1 11.解：(1)证明：若a,b共线，则存在A∈R,使a=b,则g一2e2=入 十由6不来线得，2么*=一子 /1， 2所以 入不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底. (2)设c=ma十nb(m,n∈R),得 3e1-e=m(e-2e2)+n(e+3e2)=(m+n)e+(-2m+3n)e. 以{2m十3n=-1部之得{m2所以c=2a十6 所以/m十n=3, {n=1. (3)由4e1-3e2=a十b,得 4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(a+)e1+(-2λ+ 30e.所以+k=4, 2+-s2 故所求入，4的值分别为3和1. 12.解：(1)a-2b=(1,2)-2(-4,3)=(1,2)-(-8,6)=(1+ 8,2-6)=(9,-4). (2)由巴知两点M(3,-2)和N(-5,-1),可得号M成- 合(-5-3，-1+2)=(-4,2) 设点P的坐标是(x,y),则MP=(x-3,y+2). 由已知M市=，可得(x-3y+2)=(-4,2） x-3=-4, x=-1, 解得 y+2=2 3 y=-2 点P的丝标是(-1，-)片 新题快递 1.D[根据题意可得|n=|k|,已知该图形是由以正方形中 心为中心逆时针旋转45°后的正方形与原正方形组合而成， 如图，由对称性可得|AB|=BC=|CD|=DE|=EQ|= 三-0022 IQFI,ICE=EFI=FGI=2AB =√2ln. 由图可知点B,C,E,Q共线，点Q,F,G 共线， 所以BQ=BC+CE+EQ=(2+2)k, QG=QF+FG=(1+√2)n, n B 所以a=BG=BQ十QC=(2+√2)k+(1十√2)n.故选D.] 2.解析：建立如下图的平面直角坐 y 标系， 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3, 4),EB=(3,-4), 由成=3成得床=是亩o -(是，-3 设F,,则-3y4)=(是-3 可得号，解开仁，片以F(侣)症 (y-4=-3 y=1 ( 又因为AF=λAB+uAD=λ(6,0)十u(0,4)=(6入，4)， I4μ=1 所以 6-2郎得入=日=子则+公=是 4 答案：8 9 假期作业14 思维整合室 1.(1)负角零角(2)象限角2.(1)半径长(3)ra 3.y x 技能提升台素养提升 1.CD2.A3.C 4.C[因为元一a的终边与3π一a的终边相同，而π一a的终边 与a的终边关于y轴对称，所以a的终边与3π一α的终边关 于y轴对称.] 5.A[设扇形的圆心角的孤度数为0，其所在圆的半径为r,则 3-合0 B,解得0=3-⑤)元故选A 6.ABC[设扇形半径为r,圆心角的孤度数为a,则由题意得 (2r+ar=6, /}2二2，解得，或'2，可得圆心角的孤度数是 月{a=4,1a=1, 或1，扇形的半径是1或2.] 7.解析：设國的丰径为，则扇形的半径为，记扇形的国心角 2 为，则2】互. 12r 5π 2 27.a=6 5π.2， “扇形的孤长与圆周长之比为人■°2元3=5 18 答案：i8 8.解：(1)由⊙O的半径r=10=AB, 知△AOB是等边三角形，a=∠A0B=60°=于 (2)由(1)可知a=号，r=10,孤长1=a·r=号×10 =1gw==×9×10=0, 3 9 富一数类) 6s5w-g·AB,1y5-X10x20y5-0y5-sE 22 2 2 5-5w-56w-g-256-60(音-9 n2g=m=m言=5，∴m1=3=27, 9.B [tanm m=7故选B] 10.A [因为角&的终边过点(o号一si血看） 中（合）》 1 则sina= 2 11.解析：因为α是第二象限角， 所以cosa=号<0，即<0.又cosa=寻= √x2+16 解得x=-3,所以1am8=兰=一手 x 答案：-号 2.解：设点M的坐标为(c).由题意可知，sin0=二号，即 2 .：点M在圆2+=1上，西2+2=1，即石2+ tana=-1或cosa=-9,e 2 ,tan a=1. 新题快递 1.AD[A.由于三角形内角范围为(0，x),内角为交不是第 一、二象限角，错：B.由任意角定义，始边相同而终边不同的 角一定不相等，对；C,知还为正角且在第四象限角，故第四 象限角不一定是负角，对D,能角范国为（受x)而一要是 第三象限角，此时钝角大，错.] 2.C[如图示：记从表盘中心（圆心）O 到12点方向的半径为OA,8:20时分 11 12 针方向为OB,时针方向为OC. 10 则∠A0B=20×2x=2, 3 9 60 3引 、1 ∠A0C2X2x=8 f点 1 4 6 所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=25π-2r=13π」 18318 即入点二十分，时针和分针夫角的孤度数为】 假期作业15 思维整合室 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a tan a -tan a -tan a 技能提升台素养提升 1.A ,A[由cosa=,且<a<2元，得sina=-V1-cosa -()=-， 所以tana=s加g=-√R-1.] cos a三022 假期作业13向量的基本定理 《思维整合室 1共线向量基本定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在 唯一一个实数入，使得b=a. 2.平面向量基本定理 如果a,b是同一平面内的两个 向 量，那么对于这一平面内的任意向量c,有且 只有一对实数(x,y),使c= .不共 线的向量a,b叫做表示这一平面内所有向 量的一组 3.平面向量的正交分解 把一个向量分解为 的非 零向量，叫作向量的正交分解， 4.向量的直角坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴 方向相同的两个 ,a、b作为基底， 对于平面内的一个向量c,由平面向量基本 定理知，有且只有一对实数x、y使得c= ,则(x,y)为向量c的坐标 5.平面向量的坐标及其运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b =( (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b =( ). (3)若a=(x,y),λ∈R,则a=( 6.共线向量的坐标表示 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，a、 b共线，当且仅当存在实数入，使 (2)如果用坐标表示可写为(x1,y1)=入(x2, y2),当且仅当 时，向量 a、b(b≠0)共线. 33 富一数学) 与向量的坐标 非学无以广才，非志无以成学。 完成日期： 月」 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]平面向量基本定理 1.设a,b是平面内所有向量的一组基底，则下 列四组向量中，不能作为基底的是() A.a+b和a-bB.3a-4b和6a-8b C.a+2b和2a+bD.a和b+b 2.如图，AB是⊙O的直径，点C, D是半圆弧AB的两个三等分 点，AB=a,AC=b,则AD= () A.a-t B.ab C.a+j6 1 D.2a+b 3.如图，在△ABC中，设AB= a,AC=b,BD=2 DC,AE= 4ED,则BE= () Aa是b B.2.8 3a-1b C-ab D.-ia+is 4.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e 十3e2,若a在基底{e1十e2,e1一e2}下可以表 示为a=λ(e1十e2)十u(e1一e2),则入= 以= ◆[考点二]平面向量的坐标运算 5.已知向量a=(2,4),b=（-1,1),则2a十b 等于 () A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9) 6.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=0,2 5 则c可用向量a,b表示为 1 A.2a+b B.-2a-b C.a+io nab 受快乐假期 7.已知向量a=(3,1),b=(0,一1)，c=(k, √3)，若(a一2b)∥c,则实数的值为（) A.1B.-1C.3 D.-3 8.已知A(0,1),B(3,-2),且AC=2CB,则 AC的坐标为 ◆[考点三]平面向量基本定理的综合应用 9.已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1, AC=2,D是△ABC内一点，且∠DAB= 60°，设AD=AAB十uAC(入，H∈R),则入= () A.23 3 B C.3D.23 10.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足 AP=2AB+AG),则1PD- PB·PD= 11.设e1,e2是不共线的非零向量，且a=e1一 2e2,b=e1+3e2. (1)证明：a,b可以作为一组基底； (2)以a,b为基底，求向量c=3e1一e2的分 解式； (3)若4e1一3e2=a+b,求λ，μ的值. 3 S0M-= 12.解答下列各题： (1)设向量a=(1,2),b=（-4,3),求a -2b; (2)已知两点M(3,-2)和N(-5,-1), 点P满足MP=)M,求点P的坐标. 新题快递 1.南开中学八角形校徽由两个正 方形叠加组合而成，体现“方方 正正做人”之意，又体现南开人 “面向四面八方，胸怀博大，广 纳新知，锐意进取”之精神.如图的多边形， 由一个正方形与以该正方形中心为中心逆 时针旋转45°后的正方形组合而成.已知向 量n,k,则向量a= () A.3k+2n B.3k+(2+J2)n C.(2+√2)k+(2+√2)n D.(2+√2)k+(1+√2)n 2.在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E为CD 的中点，若EF=3FB,AF=AAB十μAD, 则入十= 《益智欢乐谷 大妈早上去广场散步，看到有个老头拿着 海绵笔在地上写大字，忍不住凑上去看. 老头看了大妈一眼，提笔写了个“滚”字 大妈心想：看一下至于吗？…老头又看大妈 一眼，又写个“滚”.大妈再也忍不住了，上去一 脚将老头踢倒在地… 警察来了问咋回事，老头委屈地说：“我就 想写句‘滚滚长江东逝水’，刚写头两个字，就 被这个神经病踹倒了”.