假期作业12 平面向量及其线性运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

化经快乐假期 假期作业12平面向量及 《思维整合室 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫向量； 向量的大小叫做向量的 (2)零向量：始点和终点 的向量，其方 向是任意的 (3)单位向量：模等于 的向量 (4)平行向量：方向相同或 的非零向量， 又叫共线向量，规定：0与任一向量共线 (5)相等向量：大小相等且 相同的 向量 (6)相反向量：大小相等且 相反的 向量 2.向量的线性运算 (1)向量的加法和减法 ①加法法则：服从三角形法则，平行四边形 法则.运算性质：a十b=b十a;(a十b)十c= a+(b-c). ②减法与加法互为逆运算；服从三角形法则. (2)数乘向量 ①实数入与任意一个向量a的积是一个向 量，记作a,规定： a.长度：a|=|λ|a; b.方向：当入>0时，a与a的方向相同；当 λ<0时，a与a的方向相反；当入=0时， λa=0. ②运算律：设入、以∈R,则：λ(a)=(u)a; (λ+u)a=λa+a;λ(a十b)=a+b, 0M-= 业精于勤，而荒于嬉。 其线性运算 完成日期： 【《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]平面向量的基本概念 1.下列各命题中假命题的个数为 ( ①向量AB的长度与向量BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相 同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点 必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线 向量； ⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A, B,C,D必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段， A.2 B.3 C.4 D.5 2.设点O是正方形ABCD的中心，则下列结 论错误的是 A.AO=OC B.AO=BO C.BO∥DB D.AB与CD共线 3.若a等于“向东走8km”,b等于“向北走 8km”,则|a+b= km,a十b的方 向是 4.中国象棋中规定：马走 “日”字，象走“田”字 如图，在中国象棋的半 个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单 位正方形)中，若马在A处，可跳到A,处， 也可跳到A,处，用向量AA1,AA2表示马走 了“一步”.若马在B处或C处，则表示马走 了“一步”的向量共有 个 30 三0022 ◆[考点二]平面向量的线性运算 5.(2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在 边AB上，BD=2DA,记CA=m,CD=n,则 CB= () A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 6.(多选)已知m,n是实数，a,b是向量，则下 列说法中正确的是 A.m(a-b)=ma-mb B.（m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 7.如图，在△ABC中，AD= DB,AE=EC,CD与BE交 于点F.设AB=a,AC=b,B AF=m十b,则(x,y)为 A(2) B(,别 c(合副 n(层) 8.(2023·天津卷)在△ABC中，∠A=60°， |BC=1,点D为线段AB的中点，点E为 线段CD的中点，若设AB=a,AC=b,则AE 可用a,b表示为 ◆[考点三]向量的共线及其综合应用 9.已知向量a,b不共线，c=a十b(k∈R), d=a-b,如果c∥d,那么 A.k=1且c与d同向 B.k=1且d与c反向 C.k=一1且c与d同向 D.=一1且d与c反向 10.已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b, 则下列一定共线的三点是 ( A.A,B,C B.A,B,D C.B,C,D D.A,C,D 31 高一数类) 1.已知O,A,B是平面上不共线的三点，直线 AB上有一点C,满足2AC+CB=0. (1)用OA,OB表示OC; (2)若点D是OB的中点，证明：四边形 OCAD是梯形. 火垫快乐假期 12.如图，G是△OAB的重心， OG的延长线交AB于点 M,P,Q分别是边OA,OB 上的动点，且P,G,Q三点共线 (1)设PG-入PQ,将OG用入，OP,OQ表示； (2)设0-x0A,00=y08,证明：是+ 是定值. c0M-= 新题快递 1.(多选)以下选项中，能使a∥b成立的条 件有 A.lal=b B.a=0或|b|=0 C.a=-2b D.a与b都是单位向量 2.如图，在△ABC中，点 D是BC的中点，点E 在边AC上，且满足3 AE=AC,BE交AD 于点F,设BF=λAB+uAC(入，u∈R),求 (Ii+的值：(2的值 〈《《益智欢乐谷 一男子和老婆 在火锅店，边吃边 还人类一片清新 聊，正高兴时，有个 请丢掉手中的香烟 少妇走过来，直视着 他说：“我怀孕了！”那个男人的老婆先是一 愣，紧接着甩手给了他一耳光，又拉又扯，连哭 带闹.全火锅楼的目光都聚焦在他俩身上，那 哥们欲哭无泪！ 这时，少妇又幽幽的来了一句：“麻烦你 把烟掐了，谢谢！” 哥们捂住脸哭都哭不出来… 吃饭有风险，抽烟需谨慎！ 32三0022.-- 11.解：1)由已知，得25十十10=55·解得5， 1x+30=45, 1y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收 集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个样 本量为100的样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可 用样本的平均值估计， 其估计值为 1X15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10=1.9(分钟). 100 (2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分钟 的共有15十30十25=70（人），根据频率与概率的关系，估 计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为 0=07 12.解：设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B, C,显然事件A,B,C相互接立，则P(A)=号，P(B)=, PC)=3 设恰有人合格的概率为P.(k=0,1,2,3). (1)三人都合格的概率为 R=PABC)=PA)P(BP(C=号×是×号-0 (2)三人都不合格的概率为 P.-P(A B C)-P(A)P (B)P (C)-(1x (1-是)×(-号)g××号-0 X3=10 (3)恰有两人合格的概率为 B,=PABC)+PABC)+PABC)=号××号+号 x×号+号×是×号-器 恰有一人合格的概率为 B=1-P-P,-R,=1-0-8b-8-是， 综合(1)(2)可知P1最大. 所以出现恰有一人合格的概率最大， 新题快递 1.C[在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的 有100-73=27人， 设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或 一种也说不出的有x人，则9-49”，解得x=108人.] 2.ABD[对于AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式可 知AB正确：对于C,三次传输译码为1，则可能是三次全部 译为1，或者有两次译为1，则概率为C写(1一)2十(1一B)3, 故C错误；对于D,可以采用特值法或者作差法计算.三次传 输方案译为0的概率为Ca(1一a)2+(1一α)3，单次传输译 为0的概率为1-a,而C号a(1-a)2+(1-a)3-(1一a)=(1 -a)a(1-2a)>0,所以D正确.] 假期作业12 思维整合室 1.(1)方向模(2)相同(3)1个单位(4)相反(5)方向 (6)方向 技能提升台素养提升 1.C 2.B[如图，因为AO,OC方向相同，长 A D 度相等，故AO=OC,故A正确；因为 AO,B0方向不同，故AO≠BO,故B 错误；因为B,O,D三点共线，所以BO ∥DB,故C正确；因为AB∥CD,所 B 以AB与CD共线，故D正确.] 8 高一数半 3.解析：如图所示，设AB=a,BC=b,则AC=a十 b,且△ABC为等腰直角三角形，则AC1= a+h/ 8√2，∠BAC=45°. 答案：8√2北偏东45° 4.解析：此题中，马在A处有两条 路可走，在B处有三条路可走， 在C处有八条路可走.如图，以B 为起点作有向线段表示马走了 “一步”的向量，符合题意的共3 个；以C为起点作有向线段表示 马走了“一步”的向量，符合题意的共8个.所以共有11个. 答案：11 5.B[因为点D在边AB上，BD=2DA,所以BD=2DA,即 CD-CB=2(CA-CD), 所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.故选B.] 6.AB[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中， 若m=0,则不能推出a=b,错误；D中，若a=0,则m,n没有 关系，错误.] 7.C[AD=DB,AE=EC,∴F是△ABC的重心，则DF- 号D心A=+亦-ò+号DC=Aò+}(AC- Aò-号ò+}A心-号应+号心-合a+号，∴x 1 日y=3] 8解析：在△ABC中，∠A=60°，|BC1=1,点D为AB的中 点，点E为CD的中点，AB=a,AC=b,则AE=(AD+ AC)-1AB+2AC-1a+26. 答案+0 9.D[由c∥d,得c=d,∴.ka+b=a(a-b) 中伯-，传二脚6=-a+6且c=-a] 10.B[因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB, 又AB,AD有公共点A,所以A,B,D三点共线.] 11.解：(1)因为2AC+CB=0,所以2(OC-OA)+(OB-OC) =0,20C-2OA+OB-OC=0,所以OC=20A-OB. (2)证明：如图，Di=D0+0i=-号O成+0 =号(20i-0i. 由(1)知Di=号oC.即DA∥0C,且 DA≠OC,故四边形OCAD为梯形. 12.解：1)0G=OP+PG=0币+xP=O币+x(00-O) =(1-)0P+λOQ. (2)由(1)及OP=xOA,OQ=yOB,得OG=(1-λ)OP+ AOQ=(1-A)xOA+AyOB.① :G是△OAB的重心， ∴0心=号oi=号×2oi+o成=}oi+}o成@ 由①@释[1-0x-号]可i-(号-w)o, 而OA,OB不共线， (1-)x=3解得 w=3 =3 (y +1=3,即1+1是定值. x y x y 飞壁快乐假翻 新题快递 1.BC[对于A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向量， 满足“|a=|b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a∥b不 成立.故A、D错误；对于B:由零向量与任何向量平行，可知 |a=0或|b=0时，a∥b.故B正确；对于C:因为a=-2b, 所以a∥b.故C正确.] 2.解：设AF=mAD,BF=nBE, 根据向量共线定理，得：AF=mAD, AF=nAE+(1-n)AB,3 AE=AC 所以A=号A+1-)A店， 又因为AD=}(AB+Ad, 所以号AC+(1-m)A店=受(AB+AC), 1 m2 解得： ,即 1-n= a= 代入B市=nB眩=n(A范-A)=是(}AC-A脑)=AC 解得：入=一 3 1 4=4: (1DA+u=-合，25=合 AD=2· 假期作业13 思维整合室 2.不共线xm十b基底 3.两个互相垂直 4.单位向量a十b 5.(1)x1+x2y1+y2(2)x1-x2y1-y2(3)ax,y 6.(1)a=b(2)x1y2-x2y1=0 技能提升台素养提升 1.B 2.D[连接CD,OD(图略)，：点C,D是半圆孤AB的两个三 等分点，.AC=BD,∴.CD∥AB,∠CAD=∠DAB=30°， OA=OD,∠ADO=∠DAO=30°，∴.∠CAD=∠ADO= 30°，.AC∥DO,∴四边形ACDO为平行四边形，AD=AO+ Ad.:A0-A店=2a,AC-b,AD=2a+b.故选D.] 3D[由题意，成=A花-A店=号A市-a=(店+B励)-。 =普B时-言a=号×号B心-吉a=是-a)-吉。 =-ta a+0.] 4.解析：由条件可知+=2， A2=3解得 -8 答案：号- 5.D[2a十b=2(2,4)十(-1,1)=(3,9).故选D.] 6.A[凌c=a+0,则(0，号）=(2x-x+2 2.x-y=0, 1 所以 、c+2v=5,解得{2’则c=2a十h.] 9 -.-S0M□ 7.A[根据题意，向量a=(3,1),b=(0,-1),则a-2b= (W3,3);若(a-2b)∥c,且c=(k,W3),则有3k=√3X√3，解 可得k=1.] 8.解析：设C(x,y),因为A(0,1),B(3,-2),所以AC=(x,y 1),CB=(3-x,-2-y), 又因为AC=2CB,所以x=2(3-) {y-1=2(-2-y)' 解得{21所以C-(y-》=2,-2》 答案：(2，-2) 9.A[如图，以A为原点，AB所在直线为x 轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标 系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为 (0,2),因为∠DAB=60°，所以设D,点的坐 标为(mW3m)(m≠0). AD=(m,W3m)=λAB+μAC=a(1,0)+(0,2)=(a,2μ)， 则A=m具=停，所以文-2] 10.解析：以点A为坐标原点，AB、AD所在直 线分别为x、y轴建立如图所示的平面直 角坐标系， 则，点A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2), AP-=2A店+AG=2(2,2)+22,0) =(2,1), 则点P(2,1),PD=(-2,1),PB=(0,-1), 因此|PD|=√(-2)2+1=√5， PB·PD=0X(-2)+1×(-1)=-1. 答案：W5-1 11.解：(1)证明：若a,b共线，则存在A∈R,使a=b,则g一2e2=入 十由6不来线得，2么*=一子 /1， 2所以 入不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底. (2)设c=ma十nb(m,n∈R),得 3e1-e=m(e-2e2)+n(e+3e2)=(m+n)e+(-2m+3n)e. 以{2m十3n=-1部之得{m2所以c=2a十6 所以/m十n=3, {n=1. (3)由4e1-3e2=a十b,得 4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(a+)e1+(-2λ+ 30e.所以+k=4, 2+-s2 故所求入，4的值分别为3和1. 12.解：(1)a-2b=(1,2)-2(-4,3)=(1,2)-(-8,6)=(1+ 8,2-6)=(9,-4). (2)由巴知两点M(3,-2)和N(-5,-1),可得号M成- 合(-5-3，-1+2)=(-4,2) 设点P的坐标是(x,y),则MP=(x-3,y+2). 由已知M市=，可得(x-3y+2)=(-4,2） x-3=-4, x=-1, 解得 y+2=2 3 y=-2 点P的丝标是(-1，-)片 新题快递 1.D[根据题意可得|n=|k|,已知该图形是由以正方形中 心为中心逆时针旋转45°后的正方形与原正方形组合而成， 如图，由对称性可得|AB|=BC=|CD|=DE|=EQ|=