假期作业11 概率-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

三022 假期作业11概 《思维整合室 1.事件之间的关系与运算 定义 符号表示 如果事件A发生，则 事件B一定发生，这 包含 时称事件B 事 关系 (或A二B) 件A(或称事件A包含 于事件B) 若B2A且A2B,那 相等 么称事件A与事件B 关系 相等 若某事件发生当且仅 当事件A发生或事 并事件 AUB 件B发生，称此事件 和事件) (或A+B) 为事件A与事件B 的 (或和事件) 若某事件发生当且仅 当 且 交事件 A∩B ,则称此事件 (积事件) (或AB) 为事件A与事件B 的交事件（或积事件） 若A∩B为不可能事 互斥 件，则称事件A与事 A∩B=② 事件 件B互斥 若A∩B为不可能事 件，AUB为必然事 对立 A∩B= 件，那么称事件A与 事件 P(AUB)=1 事件B互为对立 事件 2.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： (2)必然事件的概率P(E)= (3)不可能事件的概率P(F)=· 学而不厌，诲人不倦。 率 完成日期： 月 (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)= ②若事件B与事件A互为对立事件，则 P(A)= 3.古典概型 (1)古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概 率模型，简称古典概型。 (2)古典概型的特点：①有限性：样本空间的样本 点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生 的可能性相等。 (3)古典概型的概率计算公式 样本空间2包含n个样本点，事件A包含其 中的个样本点，则 ,其中， n(A)与n(2)分别表示事件A和样本空间2 包含的样本点个数 4.随机事件的独立性 (1)对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 成立，则称事件A与事件B相互独 立，简称为独立。 (2)如果事件A与事件B相互独立，则A与 B,A与B,A与B也都 (3)事件A与事件B相互独立，则P(AB) 〈《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]事件之间的关系及运算 1.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、 乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分 得红牌”与“乙分得红牌” A.是对立事件 B.是不可能事件 C.是互斥但不对立事件 D.不是互斥事件 29 曼快乐假期 2.从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一 个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数 和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个 都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个 偶数.则在上述事件中，是对立事件的是 ( A.①B.②④C.③D.①③ 3.(多选)从装有2个红球和2个白球的盒子 中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两 个事件的是 () A.至少有一个红球；至少有一个白球 B.恰有一个红球；都是白球 C.至少一个红球；都是白球 D.至多一个红球；都是红球 4.在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件A= “出现不大于4的偶数点”，事件B=“出现 小于6的点数”，则事件AUB的含义为 ,事件A∩B的含义为 ◆[考点二]概率的基本性质 5.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均 属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和 丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一 件是正品（甲级）的概率为 ( A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08 6.甲射击一次，中靶概率是1，乙射击一次， 中靶概率是2，已知，人是方程x2一5x十 p1’p2 6=0的根，且满足方程2-x+}=0. 则甲射击一次，不中靶概率为 ;乙 射击一次，不中靶概率为 ◆[考点三]古典概率 7.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取 出2粒都是黑子的概率是)，都是白子的概 率是号则从中任意取出2微恰好是同一色 的概率是 A.7 B12 35 C12 35 D.1 2 S0M-= 8.如图所示的《宋人扑枣图 轴》是作于宋朝的中国古 画，该图中小孩有扑枣的 爬、扶、捡、顶四个动作，现 有A,B两个孩童分别随机 选择其中的一个动作进行模仿，则A,B两个 孩童选择模仿的动作相同的概率为 （) A日 B.C.3 D.Z 9.(多选)某学校成立了数学、 英语、音乐3个课外兴趣小 天 6人 \8人 组，3个小组分别有39,32,33 11人10人 数学 个成员，一些成员参加了不止 10 一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一 个成员，则 A,他只属于音乐小组的概率为3 B.他只属于英语小组的概率为 15 C.他属于至少2个小组的概率为 D.他属于不超过2个小组的餐率为号 10.(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有 一定数量的黑球和白球，其总数之比为5 ：4：6.这三个盒子中黑球占总数的比例 分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中 各取一个球，取到的三个球都是黑球的概 率为 ;将三个盒子中的球混合后 任取一个球，是白球的概率为 ◆[考点四]随机事件的独立性 11.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等 信息，安排一名员工随机收集了在该超市 购物的100位顾客的相关数据，如下表 所示. 17件及 次购物量 1~4件 5~8件 9~12件 13~16件 以上 顾客数（人） x % 25 y 10 结算时间 1.5 2 2.5 (分钟/人) 三-0022 已知这100位顾客中一次购物量超过8件 的顾客占55%： (1)确定x,y的值，并估计顾客一次购物的 结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超 过2分钟的概率（将频率视为概率）. 12.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训 练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不 影响)的成绩在13s内（称为合格）的概率 分别为号，是，写若对这三名短跑运动员的 100米跑的成绩进行一次检测，求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大. 2 一数学， 新题快递 1.造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古 代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约 瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继 承，普遍认为这四种发明对中国古代的政 治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作 用.某小学三年级共有学生400名，随机抽 查100名学生并提问中国古代四大发明，能 说出两种及其以上发明的有73人，据此估 计该校三年级的400名学生中，对四大发明 只能说出一种或一种也说不出的有() A.69人B.84人C.108人D.115人 2.(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传 输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0 时，收到1的概率为α(0<a<1),收到0的 概率为1一α；发送1时，收到0的概率为3 (0<β<1)，收到1的概率为1一B.考虑两种 传输方案：单次传输和三次传输.单次传输 是指每个信号只发送1次；三次传输是指每 个信号重复发送3次.收到的信号需要译 码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号 即为译码；三次传输时，收到的信号中出现 次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0， 1,则译码为1). () A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1， 则依次收到1,0,1的概率为(1一a)(1 B)2 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收 到1,0,1的概率为β(1一)9 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为B(1一β)2+(1-)3 D.当0<a<0.5时，若发送0，则采用三次 传输方案译码为0的概率大于采用单次 传输方案译码为0的概率 《益智欢乐谷 终生只能单身 德国杰出的自然学家洪堡德在喀山拜访 罗巴切夫斯基时，他问数学家：“为什么您只研 究数学呢？据说您对矿物学造诣很深，您对植 物学也很精通.”“是的，我喜欢植物学，”罗巴 切夫斯基回答说，“将来等我结了婚，我一定搞 一个温室…”“那您就赶快结婚吧.”“可是 恰恰与愿望相反，植物学和矿物学的业余爱好 使我终生只能是单身汉了.” 9k经饶乐联明 (3)①5个年龄组的平均数为号×(93十96十97+94十90) =94, 方差为号×[(-1)2+22+32+02+(-402]=6， 5个职业组的平均数为号×(93十98十94+95十90)=94， 方差为}[(-1)2+4+02+1+(-4)]=6.8. ②评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年 龄组的认知程度更好」 新题快递 1.AC[由折线图可得增速百分比(%)由小到大依次为： -11.1,-6.7,-5.9,-3.5,-1.8,-0.5,2.5,2.7,3.1, 3.5,5.4,6.7, 对于A:12个月的月度同比增速百分比的中位数为 -0.5十2.5=1%，故A正确： 2 对于B:因为2[(-1.1D+(-6.7)+(-5.9)+(-3.5)+ (-1.8)+(-0.5)+2.5+2.7+3.1+3.5+5.4+6.7]= 所以12个月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B 错误； 对于C:由折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大 幅度波动后渐渐趋于稳定，后6个月的大波动整体较小， 所以前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大， 故C正确； 对于D:周为-品≈-0,47，可知大于-0,47的有2.5,2.7， 3.1,3.5,5.4,6.7,共有6个， 所以共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度 同比增速百分比的平均值，故D错误.] 2A[对于发据西可得宫=空 =(2-d)= 所以2x,=nz,2x=n(52十x)； =1 i=1 对于数据x+1t2…,x,可得孕，=3江，登（ -3a3=(点-3a)=, 所以之工=3mr,登x=n(g+9x)； 一#十1 对于数据1,2，，工，x+1…,工2n,可得： 平均数5=空=云（含：+急)=云(e+3a =程十1 =2x, 标准是1气√x-气√(2x-2w √会②+，盒-2a2a √2aa2+)+a+92)-2a2a]-+7 注意到x≠0，所以5-√+z>.] 假期作业11 思维整合室 1.包含B口AA=B并事件事件A发生事件B发生 2.(1)0≤P(A)≤1(2)1(3)0(4)P(A)+P(B)1-P(B) 3.(3)P(A)=飞=n(A) 4.(1)P(A)P(B)(2)相互独立 nn(2) (3)P(A)P(B) 8 --S0M□ 技能提升台素养提升 1.C 2.C[从1~9中任取两数，有以下三种情况：(i)两个均为 奇数；（ⅱ）两个均为偶数；()一个奇数和一个偶数.故 选C.」 3.CD[A中至少有一个红球包含两种情形：一红一白，两个 红，至少有一个白球包含：一红一白，两个白，这两个事件不 互斥，B中的两事件互斥但不对立，C,D中的两个事件互斥 且对立.] 4.解析：由已知可得B=“出现6点”，A=“出现2,4，点”， B=“出现1,2,3,4,5点”， 故AUB=“出现2,4,6，点”，A∩B=“出现2,4点”， 答案：出现2,4,6点；出现2,4点 5.C[设事件“抽检一件是甲级”为事件A,“抽检一件是乙 级”为事件B,“抽检一件是丙级”为事件C,由题意可得事件 A,B,C为互斥事件，且P(A)十P(B)十P(C)=1,因为乙级 品和丙级品均属次品，且P(B)=0.05,P(C)=0.03,所以 P(A)=1-P(B)-P(C)=0.92.故选C.] 6.解析：由P,满足方程-x+=0知，-A十}=0，解 得=2；周为，是方程2-5x十6=0的根，所以1. P P2 =6,解得p:=号，因此甲射击一次，不中轮概率为1一乙 =日乙附击一次，不中和凝率为1一日=号 12 答案：立3 7.C[设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒 都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件 C,则C=AUB,且事件A与B互斥. 由于PA=方，P(B)-号 所以PC)=Pa+PB=号+号-品] 8.B[A,B两个孩童分别随机选择其中的一个动作进行模 仿，一共有4×4=16种情况，其中A,B两个孩童选择模仿 的动作相同的情况有4种，所以A,B两个孩童选择模仿的 动作相同的概率为。=冬] 9.CD[由题图知参加兴趣小组的共有6十7+8十8+10十10 十11=60（人），只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为 2 0,6,8,故只属于音乐小组的概率为60=5，只属于英语 组的概率为品=。“至少2个小组”包含“2个小组”和3 个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为 11十10十7+8=3.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2 60 5 个小组”，其对立事件是“3个小组”，故他属于不超过2个小 组的旅车是P=1-品-是故选CD] 10.解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n, 6n,所以总数为15n, 所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3n: 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n; 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n; 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 A,所以P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05; 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B, 黑球总共有2n十n十3n=6n个，白球共有9n个， 所以PB卧=器-寻 答案0.05号 三0022.-- 11.解：1)由已知，得25十十10=55·解得5， 1x+30=45, 1y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收 集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个样 本量为100的样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可 用样本的平均值估计， 其估计值为 1X15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10=1.9(分钟). 100 (2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分钟 的共有15十30十25=70（人），根据频率与概率的关系，估 计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为 0=07 12.解：设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B, C,显然事件A,B,C相互接立，则P(A)=号，P(B)=, PC)=3 设恰有人合格的概率为P.(k=0,1,2,3). (1)三人都合格的概率为 R=PABC)=PA)P(BP(C=号×是×号-0 (2)三人都不合格的概率为 P.-P(A B C)-P(A)P (B)P (C)-(1x (1-是)×(-号)g××号-0 X3=10 (3)恰有两人合格的概率为 B,=PABC)+PABC)+PABC)=号××号+号 x×号+号×是×号-器 恰有一人合格的概率为 B=1-P-P,-R,=1-0-8b-8-是， 综合(1)(2)可知P1最大. 所以出现恰有一人合格的概率最大， 新题快递 1.C[在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的 有100-73=27人， 设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或 一种也说不出的有x人，则9-49”，解得x=108人.] 2.ABD[对于AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式可 知AB正确：对于C,三次传输译码为1，则可能是三次全部 译为1，或者有两次译为1，则概率为C写(1一)2十(1一B)3, 故C错误；对于D,可以采用特值法或者作差法计算.三次传 输方案译为0的概率为Ca(1一a)2+(1一α)3，单次传输译 为0的概率为1-a,而C号a(1-a)2+(1-a)3-(1一a)=(1 -a)a(1-2a)>0,所以D正确.] 假期作业12 思维整合室 1.(1)方向模(2)相同(3)1个单位(4)相反(5)方向 (6)方向 技能提升台素养提升 1.C 2.B[如图，因为AO,OC方向相同，长 A D 度相等，故AO=OC,故A正确；因为 AO,B0方向不同，故AO≠BO,故B 错误；因为B,O,D三点共线，所以BO ∥DB,故C正确；因为AB∥CD,所 B 以AB与CD共线，故D正确.] 8 高一数半 3.解析：如图所示，设AB=a,BC=b,则AC=a十 b,且△ABC为等腰直角三角形，则AC1= a+h/ 8√2，∠BAC=45°. 答案：8√2北偏东45° 4.解析：此题中，马在A处有两条 路可走，在B处有三条路可走， 在C处有八条路可走.如图，以B 为起点作有向线段表示马走了 “一步”的向量，符合题意的共3 个；以C为起点作有向线段表示 马走了“一步”的向量，符合题意的共8个.所以共有11个. 答案：11 5.B[因为点D在边AB上，BD=2DA,所以BD=2DA,即 CD-CB=2(CA-CD), 所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.故选B.] 6.AB[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中， 若m=0,则不能推出a=b,错误；D中，若a=0,则m,n没有 关系，错误.] 7.C[AD=DB,AE=EC,∴F是△ABC的重心，则DF- 号D心A=+亦-ò+号DC=Aò+}(AC- Aò-号ò+}A心-号应+号心-合a+号，∴x 1 日y=3] 8解析：在△ABC中，∠A=60°，|BC1=1,点D为AB的中 点，点E为CD的中点，AB=a,AC=b,则AE=(AD+ AC)-1AB+2AC-1a+26. 答案+0 9.D[由c∥d,得c=d,∴.ka+b=a(a-b) 中伯-，传二脚6=-a+6且c=-a] 10.B[因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB, 又AB,AD有公共点A,所以A,B,D三点共线.] 11.解：(1)因为2AC+CB=0,所以2(OC-OA)+(OB-OC) =0,20C-2OA+OB-OC=0,所以OC=20A-OB. (2)证明：如图，Di=D0+0i=-号O成+0 =号(20i-0i. 由(1)知Di=号oC.即DA∥0C,且 DA≠OC,故四边形OCAD为梯形. 12.解：1)0G=OP+PG=0币+xP=O币+x(00-O) =(1-)0P+λOQ. (2)由(1)及OP=xOA,OQ=yOB,得OG=(1-λ)OP+ AOQ=(1-A)xOA+AyOB.① :G是△OAB的重心， ∴0心=号oi=号×2oi+o成=}oi+}o成@ 由①@释[1-0x-号]可i-(号-w)o, 而OA,OB不共线， (1-)x=3解得 w=3 =3 (y +1=3,即1+1是定值. x y x y