假期作业3 等式与不等式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版 全学年）

三0022 高一教学的 学然后知不足，教然后知困。 假期作业3等式与不等式 完成日期： 月 《思维整合室 5.三个“二次”的关系 1.等式的性质 判别式 4>0 A=0 △<0 性质1对称性：如果a=b,那么 △=b2-4ac 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么 二次函数 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a士c y=ax2+bx+c (a>0)的图像 =b士c; 0=名文 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有 ax?+bx+c 性质5可除性：如果a=b,c≠0，那么&= x1,x2(1<x2)x1=x2= =0(a>0)的根 2a 实数根 ax2十bx 2.不等式的性质 +c>0(a>0) R (1)对称性：a>b台 .（双向性) 的解集 (2)传递性：a>b,b>c→ .(单向性) ax2+bx+ (3)可加性：a>b台a+c>b十c.(双向性) c<0(a>0) (4)可乘性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ 的解集 ac<bc. 技能提升台 (5)a>b,c>d→ .(单向性) 素养提升 (6)a>b>0,c>d>0→ (单向性) ◆[考点一]不等式的性质 (7)乘方法则：a>b>0→a">b”(n∈N,n≥1). (单向性) 1.一般的人，下半身长x与全身长y的比值 3.均值不等式 小于0.6且不小于0.57，用不等式表示为 (1)重要不等式 如果a,b∈R,那么a2+b2 2ab(当且仅 A.<0.57 B.x>0.6 当a=b时取“=”). y y (2)均值基本)不等式：“一品 C.0.57<x≤0.6 D.0.57≤x<0.6 2 2.已知a<b<0,那么下列不等式成立的是 ①基本不等式成立的条件： ( ) A.a3b B.a2<b2 ②等号成立的条件：当且仅当 时 C.(-a)3<(-b)3 D.(-a)2<(-b)2 取等号 3.设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的 4.算术平均值与几何平均值 是 (1)给定两个正数a,b,数“士称为a,b的 ①如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d; ②如果a≠b,且c≠d,那么ac≠bd; ,数ab称为正数a,b的 ⑧如果a≥6>0.那么0长日 (2)基本不等式实质为两个正实数的算术平均 ④如果(a-b)2十(b-c)2≤0，那么a=b 值 它们的几何平均值， =c. 飞受快乐假期 90M= ◆[考点二]基本不等式 12.解不等式ax2-（a+1)x+1<0. 4.《几何原本》卷2的几何代数 法（以几何方法研究代数问 题)成了后世西方数学家处 A B 理问题的重要依据，通过这一原理，很多的 代数的公理或定理都能够通过图形实现证 明，也称之为无字证明.现有如图所示图形， 点F在半圆O上，点C在直径AB上，且 OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以 完成的无字证明为 A.“g=aa>0,6>0 B.a2+b2≥2√ab(a>0,b>0) c24≤aa>0.60y 新题快递 1.设a、b是实数，定义：a⊙b=ab十ma2-9a ≤告。0b0) 9b十1(m∈R).则满足不等式1⊙(2⊙(… (2022⊙2023)…))≤1的实数m的取值范 5.若0<1<2，则函数y=11-4的最大 围是 () 值为 ( A.m≥1 B.m≤203-2 3 A.1 B. c.4 D.s C. D.1≤m≤329+4323 361 6.（多选)(2022·新高考Ⅱ卷，12)若x,y满足 x2十y2-xy=1,则 2.某市一个经济开发区 的公路路线图如图所 A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 示，粗线是大公路，细 线是小公路，七个公司 A3 7.若不等式kx2十2kx十2<0的解集为空集， A1,A2,A3,A4,A,A6, 则实数k的取值范围是 A,分布在大公路两侧，有一些小公路与大 8.(2023·上海卷)已知正实数a、b满足a十4b 公路相连.现要在大公路上设一快递中转 =1,则ab的最大值为 站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和 ◆[考点三]二次函数与一元二次方程、不等式 越小越好，则这个中转站最好设在() 9.函数f代x)）一n(一文十4x-3)的定义域是 A.路口C B.路口D C.路口E D.路口F A.(-∞，1)U(3,+∞) 《益智欢乐谷 B.(1,3) 刚接一骗子电话：我 线设啦 C.(-∞，2)U(2,+o∞) 是某某银行，刚查询发现 D.(1,2)U(2,3) 您的银行卡今天消费8 10.不等式(x+3)(1-x)≥0的解集 万8千元，请问是您本人 为 消费么？ 11.已知不等式x2一2x+k2一1>0对一切实 我很平静说：是我消费的 数x恒成立，则实数k的取值范围 骗子沉默了5秒后说：您真能吹牛…把 为 我思路全打乱了，再见… 6三0022.--- 当A∩B=时，a>1,∴.a=2是“A∩B=0”的充分不必要 条件. 答案：必要不充分充分不必要 6.解析：四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真， 即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲 说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同 假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人 之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话，可知犯罪 的是乙. 答案：乙 7.C 8.AD[对于A项，Hx∈R,2-1>0,A项正确；对于B项， ,x2+1-2x=(x-1)2≥0， .x2十1≥2x,B项错误；对于C项，当x<0,y<0时，x十y <0<2√xy,C项错误；对于D项，取x=y=0,则sin(x十 y)=sin0=0=sin0+sin0=sinx+siny,D项正确.] 9.C[:Vx>0,2≤x2.] 10.AB[因为命题p:了x∈R,x2+bx十1≤0是假命题， 所以命题：Vx∈R,x2+bx十1>0是真命题，也即对Vx∈ R,x2十bx+1>0恒成立， 则有△=b2一4<0，解得：一2<b<2,根据选项的值，可判 断选项AB符合.] 11.解：(1)命题p:3x∈R,ax2+2x一1=0为假命题，则命题 7p:Hx∈R,ax2十2x-1≠0为真命题， 里然a≠0，否则方程有实报x=子，国此△=4+4a<0,解 得a<-1,A={aa<-1}, 实数a的取值集合A={aa<-1}. (2)由非空集合B={x|6m-4<2x一4<2m}知，6m一4< 2m,解得m<1,B={x|3m<x<m十2}， 因“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B手A,因此3m <m十2≤-1，解得m≤一3， 所以实数m的取值集合是{mm≤一3}. 12.解：由题意，作图，由图可知MnP=z5二。 <x8},即a8. (1)M∩P={x5<x≤8}的充要条件是一3≤a≤5. (2)M∩P={x|5<x≤8}的充分不必要条件，显然，a在 [一3,5]中任取一个值都可以. (3)若a=-5,显然M∩P=[-5,-3)U(5,8]是M∩P= {x|5<x≤8}的必要不充分条件. 故a<一3时为必要不充分条件 新题快递 1.B[由题意可知，x|=2可得x=2或x=一2； 而子2=合时，可得2=-2，所以1=2”中“产2”， 但2→到=2 “二2号”的必要不充分条件.] 因此“|x=2”是“ 2.ACD[对于A,因为|x>1,所以x>1或x<-1,所以“当 x>1”时，“|x|>1”成立，反之不成立， 故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，正确； 对于B,“a∈P∩Q”-定有“a∈P”成立，反之不成立， 故“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件，错误； 对于C,命题“Vx∈R,有x2十x十1≥0”是全称量词命题， 其否定是存在量词命题，即“3x∈R,使x2十x+1<0”, 正确； 对于D,当a十b十c=0时，1为方程ax2+bx十c=0的一个 根，故充分性成立； 当方程ax2十bx十c=0有一个根为1时，代入得a十b十c= 0,故必要性成立，正确.] 8 一数学都 假期作业3 思维整合室 1.b=aa=c 2.(1)b<a(2)a>c(5)a+c>b+d(6)ac>bd 3.（1)≥(2)①a,b均为正实数②a=b 4.(1)算术平均值几何平均值(2)不小于 5.{xx<x1,或x>x2}{xx≠x}{xx<x<x2}必 技能提升台素养提升 1.D2.A 3.解析：对于①，根据不等式的基本性质得，如果a>b,且c> d,那么a十c>b十d,命题①正确；对于②，如果a≠b,且c≠ d,那么ac≠bd错误，知a=号6=2c=-2,d=-合时，ac -6d=-1,命题@错误：对于@，如果a>6>0,那么6>0， 所以合>日>0，即0<日<名，命题③正确：时于④，知果 (a-b)2+(b-c)2≤0，那么a-b=b-c=0,所以a=b=c, 命题④正确.所以真命题的序号是①③④. 答案：①③④ 4.D[由题因形可知，OF-AB-号a+b), 0c=号a+b)-b=2a-b). 在Rt△OCF中，由勾股定理可得， cF√告+（√g+6. CF≥0F,÷√合a+)≥号a+6a>0,6>0.] 5.C[因为0<x<分，所以1-4r>0,所以x-4 合×2xV广47<含×+红-，当1仅当2红 2 个-配，即x=时学号成主.] 6Bc[由+-y=1得(-)广+（停，=1， z-=cos0 I=3 sin 0+cos 0, (2y=sin 0 故x+)=3sin0+cos0=2sin(0+若)）∈[-2,2]，故A B对+y-(得叶0八+等-血 os20+号= 、1 sim(29-)+专∈[号2]， 2 (天中mg号》故C对D锋门 7.解析：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当>0时， △=4k2-8k≤0，解得0<k≤2； 综上，实数k的取值范围是{0≤k≤2). 答案：{k|0≤k≤2) 8,解析：正实数a,b满足a十46=1，则a6=Xa·4b≤号× /a+4b21 (告他)=6当且收当a=合6=日时等号减立 1 答案：16 9.D[由题意知-t十红-3>0即1x<3, {-x2+4x-3≠1,1x≠2， 故函数f(x)的定义域为(1,2)U(2,3).] 飞壁快乐假翻 10.解析：(x+3)(1一x)≥0台(x+3)(x-1)≤0，解得-3≤x ≤1，所以不等式的解集为{x一3≤x≤1}. 答案：{x|一3≤x≤1} 11.解析：由题意，知△=4一4X1×(k2一1)<0， 即2>2，∴.>√2或<-√2. 答案：(-∞，-√2)U(2,十∞) 12.解：原不等式可化为(x一1)(ax一1)<0， ∴.①当a=0时，可解得x>1, ②当a>0时，不等式可化为x-1D(-是)下0， ∴.当a=1时，不等式可化为(x-1)2<0,解集为； 当0<a<1时，日>1，不等式的解条为{1<x<日} 当a>1时，上<1，不等式的解集为{x上<<1： a 当aK0时，不等式可化为红-1(-日)>0， 不等式的解集为{xx>1或x<) aì 综上可知，当a<0时， 不等式的解集为{红>1或K日}： 当a=0时，不等式的解集为{xx>l}; 当0a<1时，不等式的解集为{x1<x<日}： 当a=1时，不等式的解集为； 当a>1时，不等式的解集为{红日<<1} 新题快递 1.C[a⊙b=a2b+ma2-9a-9b+1(m∈R),设4⊙(5⊙(… (2022⊙2023)…))=x, 则3⊙x=9x+9m-27-9x+1=9m一26， 2⊙(9m-26)=4(9m-26)+4m-18-9(9m-26)+1=113 -41m, 1⊙(113-41m)=(113-41m)+m-9-9(113-41m)+1= 329m-912≤1， 解得m≤8] 2.B[观察图形知，A1,A2,A3,A4,A,A6,A,七个公司要到 中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点， 令A1到B、A2到C、A3到D、A4到D、A到E、A6到E、A, 到F的小公路距离总和为d, BC=d,CD=d,,DE=ds,EF=d, 路口C为中转站时，距离总和Sc=d+d1十d2十d2十(d3十 d2)+(d3+d2)+(d4+d+d2)=d+d1+5d2+3d3+d4, 路口D为中转站时，距离总和Sp=d+(d1十d2)+d2十d +d3+(d4+d3)=d+d1+2d2+3d3+d4, 路口E为中转站时，距离总和SE=d十(d1+d2十d3)+(d2 +d3)+d3+d3+d4=d+d1+2d2+4d3+d4, 路口F为中转站时，距离总和Sp=d十(d1十d2十d十d4)十 (d2+d3+d4)+2(d3+d4)+2d4=d+d+2d2+4d3+ 5d4,显然Sc>SD,Sr>Se>SD,所以这个中转站最好设在 路口D.] 假期作业4 思维整合室 1.数集唯一确定2.f(x)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函数 3.f(x)一f(x)4.(1)y轴偶函数(2)原点 技能提升台素养提升 1.B[①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值， 因此不是函数图像，②中当x=x时，y的值有两个，因此不 是函数图像，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是 函数图像，故选B.] 8 000-= 2.D 3.B[对于A,y=2024一2023x在R上单调递减，故A 错误； 对于B,易知y=2x2十3开口向上，对称轴为x=0, 所以y=2x2十3在区间(0,4)上单调递增，故B正确； 对于C,y=一(x一2)2开口向下，对称轴为x=2, 所以y=一(x一2)2在（一∞，2）上单调递增，在(2，十∞)上 单调递减，故C错误； 对于D,y=x2一8x-6开口向上，对称轴为x=4, 所以y=x2-8x一6在(-∞，4)上单调递减，故D错误.] 4.解折：由g(x)=+1=x十子十1，易知g(x)在 [合1上单调递减，在(1,2]上单调递增，则g(x) g(1)=3.于是f(x)也在x=1处取得最小值3，则b=-2,c =4,即f(x)=x2-2x十4=(x-1)2十3，所以f(x)在区间 [合2]上的最大值为f2)=4. 答案：43 5.D[因为f)-为锅函数，则：) 动。--=0又因为： ear-1 不恒为0， 可得e-ea-1r=0,即e2=ea-1r, 则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.] 6.A[设f(x)=(3-3)cosx,f(-x)=(3-3)cos(-x)= 一f(x),所以f(x)为奇函数，排除BD,令x=1, 则f(1)=(3-31)cos1>0,排除C.故选A.] 7.B[由题意知g)-h是奇函载，而)-(c十ag() 为偶函数，有f(一x)=(-x十a)g(-x)=一(-x十a)g(x)= (x十a)g(x)=f(x),故x-a=x十a,则a=0.] 8.D 9.CD[将函数f(x)=x|x|一2x去掉绝对值 （x2-2x,x≥0， 得f(x)={r2-2x,x<0, 画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知， 函数f(x)的图像关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在（一1,1）上单调递减，在（一∞，一1)上 单调递增，故选CD.] 10.AC[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,因 为g(x)=f(x-1), 所以g(1)=f(0)=0,故A正确； 因为f(x)为定义在R上的减函数， 且f(2)=-1,f(2)<f(1)<f(0), 即一1<f(1)<0.所以一1<g(2)<0,故B不一定成立； 因为g(x)=f(x-1),所以g（-x)=f(-x-1) =-f(x+1), 所以g(一x)十g(x)=一f(x+1)十f(x一1)，因为f(x)是 定义在R上的减函数， 所以f(x-1)>f(x+1),所以f(x-1)-f(x+1)>0,即 g(一x)十g(x)>0,故C正确； 因为g(x)=f(x-1),所以g(一x+1)=f(-x)= -f(x),g(x+1)=f(x), 所以g(-x十1)十g(x十1)=-f(x)+f(x)=0,选项D 错误.] 11.解：(1)证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1<x2, 则f(x)-f(x2)=(-2x1+m)-(-2x2+m)= 2(x2-x1),x1<x2,.x2-x1>0. f(x1)>f(x2)..函数f(x)在R上是减函数. (2),函数f(x)是奇函数，.对任意x∈R,有f(一x) =-f(x).∴.2x十m=-(-2x+m)..m=0.