专题4 平行与垂直的证明及其应用(动点存在性，平行垂直轨迹，截面)题型讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题4 平行与垂直的证明及其应用(动点存在性，平行垂直轨迹，截面) 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 知识点01 平行关系的性质与判定 1. 转化关系思维导图 2. 图形展示，符号语言与文字语言 序号 图形展示 符号语言 文字语言 1 1 垂直于同一平面的两个直线平行 2 如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行 3 线段成比例两直线平行（中位线） 4 平行四边形对面平行 2 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 3 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 4 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行 5 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 6 一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 7 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 3. 平行常用结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B． (4)若α∥β，m⊂α，则m∥β. 【常见平行模型】 知识点02 垂直关系的判断与性质 1. 线线垂直 （1）勾股定理逆定理；（2）等腰三角形三线合一 （3）菱形对角线互相垂直；（4）结合余弦定理得出直角 2. 线面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质一 如果一条直线与一个平面内垂直，那么该直线与此平面的任何一条直线垂直 性质二 垂直于同一个平面的两条直线平行 3. 面面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 4. 垂直常用结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． 知识点03 截面问题 1. 如何做截面？ 作出过EFG三点的截面 法一：作平行线并标出棱上的交点 法二：作延长线并标出棱上的交点 2. 如何确定截面是否已经“搞定”？ （1）题目所要求的点是否都用上？ （2）你所画的线是否围成了一个封闭图形？ （3）这个封闭图形的边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)？ 模块一 平行与垂直的证明与辨析 【题型1：证明线面平行的几种常用方法】 基础知识 【方法1】由中位线得出平行关系 1找三角形或梯形的中位线 2证明中位线与目标直线平行 3证明中位线在目标平面内目标直线在平面外 4由线面平行判定定理得出线面平行 典型例题 【例题 1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】设与的交点为，连接，结合中位线定理，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】设与的交点为，连接， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【例题2】（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【详解】（1）在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，利用线线平行推出线面平行； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用等体积法求三棱锥的体积． 【详解】（1）证明：如图，连接，设，连接， 四边形是矩形，则为的中点， 又 是的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2） ，是的中点， ， 在三棱柱中， 底面，且， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面，则是三棱锥的高， 在等腰中，，，则， 又， ． 【巩固练习2】（25-26高一下·重庆渝北·期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）设，连接，可得，进而可得线面平行； （2）根据题意可知点到平面的距离相等，转换顶点结合锥体体积公式运算求解. 【详解】（1）设，连接， 由题意可知：为的中点，且为的中点，则， 且平面，平面，所以平面. （2）由题意可知：为的中点，则点到平面的距离相等， 则三棱锥的体积. 【巩固练习3】（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）. （2）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 【方法2】构造平行四边形得到平行关系 1在目标平面内找一条与目标直线平行的线段 2证明该线段与目标直线平行且相等构成平行四边形 3证明目标直线在平面外线段在平面内 4由线面平行判定定理得出线面平行 典型例题 【例题 1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，结合三角形中位线的性质及平行四边形的性质推理得证. 【详解】取PB中点，连接，由分别为的中点， 得且，且， 则，且，因此四边形为平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 【例题2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，是边长为4的正方形，平面，，且．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】在上取点，使，连接，，证明四边形是平行四边形，即得，根据线面平行的判定定理，即可证明结论. 【详解】在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面，平面，故平面． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【详解】（1） 取棱的中点，连接， 分别是棱的中点，， 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形，故， 分别是棱的中点，且四边形为平行四边形， ， ， 平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积， 故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 【巩固练习2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接,通过四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可求证. 【详解】 取中点，连接, 为中点，，且， 又，，，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，，通过证明是平行四边形，得到，即可. 【详解】 取中点，连接，， ，分别为，的中点. 且. 又，， 又，， 且，是平行四边形， 又平面，平面， 平面 【方法3】由面面平行得出线面平行 1证明目标直线所在的平面与目标平面平行 2说明目标直线在平行平面内 3由面面平行的性质得出线面平行 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·北京·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)利用等腰三角形的几何特征，得到 ，再利用菱形的几何特征得到 ，再结合直线垂直于平面的判定定理，证明出 平面,再利用直线与平面的性质定理得到 .（2）利用等体积法求解点到平面的距离即可.(3)先利用题目的条件证 平面，再证 平面，再用平面与平面平行的判定定理证明平面 平面，再用平面与平面的性质定理证明 平面即可. 【详解】（1）设与的交点为，则是的中点， 因为.所以 . 因为菱形，所以 . 又 , 平面，所以 平面. 又 平面，所以 . （2）在菱形中，因为 . 所以菱形的边长为，且， 所以， 在中，. 所以， 即由（1）知 平面. 因为 平面所以 又所以 平面 所以. 设点到平面的距离为 . 因为 所以即. 故点到平面的距离为. （3）证明:取的中点，连接，则 因为 平面. 平面，所以 平面 由,知是的中点, 因为是的中点，所以 因为 平面， 平面AEC， 所以 平面 又， 平面 所以平面 平面， 又 平面 所以 平面 【例题2】（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用等体积法求解即可； （2）由线面平行的判定定理可得平面,平面,从而可得平面平面,根据面面平行的性质定理，即可得证. 【详解】（1）因为； （2）证明：连接, 由题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面, 又因为平面，， 所以平面平面, 又因为平面， 所以平面. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，已知多面体的底面是正方形，底面，，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，平面，然后利用面面平行的判定定理证得平面平面，进而得到平面. 【详解】因为底面是正方形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面， 且与相交于点， 所以平面平面， 又平面，所以平面. 【巩固练习2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点G，连接，通过平面，平面，得到平面平面，即可求证. 【详解】证明：如下图，取中点G，连接， 因为E，F分别为棱BC，PA的中点，G为AD中点，所以， 由在平面内，不在平面内，故平面， 由在平面内，不在平面内，故平面， 又且都在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·二轮复习）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取PE的中点，证明平面平面，再利用面面平行的性质定理证明. 【详解】取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面. 因为平面，平面，且， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 【方法4】由线面平行得出线线平行（反推找线） 1证明目标直线平行于某条直线 2证明该直线平行于目标平面 3由线线平行的传递性或线面平行的判定定理推导 典型例题 【例题1】（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）取线段中点，利用中位线及已知平行关系构造平行四边形，从而证得，进而推出线面平行； （2）由已证的线面平行及线在另一平面内，得两平面交线与该线平行，从而该交线平行于目标平面. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，． 又因为为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 （2）直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【例题2】（25-26高一下·山东·期中）如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）由平面，结合线面平行的性质定理，即可证得； （3）利用等体积转化为，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. （2）由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·广东湛江·期中）如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面平行的性质定理可证得结论成立； （3）分析可知该三棱锥为正四面体，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知平面 因为平面，平面平面，所以. （3）若三棱锥的各棱长均为， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 一个等边三角形的面积为，故该几何体的表面积为. 【巩固练习2】（25-26高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是的中点. (1)求证： 平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证： . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定 平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中， ，且. 因为四边形为平行四边形，所以 ，且. 所以 且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以 平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得 . 因为平面在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知 平面. 因为过点和的平面交平面于，且 平面， 根据线面平行的性质定理可得， . 【巩固练习3】（25-26高三·北京·二轮复习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点为，由三点确定一个平面，交于点， 由平面，平面， 平面平面，可得， 又因为为的中点，所以，， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点. 【题型2：其它平行证明与判定】 【类型1】平行关系辨析 1明确线线平行线面平行面面平行的定义与判定定理 2逐一验证条件是否满足如线面平行需直线在平面外且平行于平面内一条直线 3排除反例如直线与平面内无数条直线平行≠线面平行 典型例题 【例题1】（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断. 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 【例题2】（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）下列四个命题中错误的是（    ） A．如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 【答案】ABD 【分析】由题设及直线与直线平行，直线与平面平行相关知识可判断选项正误. 【详解】对于A，当//时，有可能平行于所在平面，也有可能在所在平面内，故A错误； 对于B，当//时，内的直线可能与平行，也有可能与异面，故B错误； 对于C，因 ，则存在 ，使得，又，则，结合，，则//，故C正确； 对于D，当直线与平面内无数条直线平行时，直线有可能在平面内，则此时直线与平面不平行，故D错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·福建龙岩·期中）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线面、面面平行的性质定理与判定定理判断即可. 【详解】已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 若，，则或，A选项错误； 若，，，则由线面平行的性质定理可知，，B选项正确； 若，，则或，C选项错误； 若，，则或与异面，D选项错误. 【巩固练习2】（25-26高二下·四川成都·月考），分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 【答案】A 【详解】因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【巩固练习3】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据线面平行判定定理判定①，③，④，应用线面平行判断线线平行判定②. 【详解】①中可能在内，①错误； ②中与可能相交或平行或异面，②错误； ③中也可在内，③错误； ④中与也可能异面，④错误． 故选：A. 【类型2】面面平行 1在一个平面内找两条相交直线 2分别证明这两条相交直线平行于另一个平面 3由面面平行判定定理得出两平面平行 典型例题 【例题1】（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 【例题2】（25-26高一下·广东珠海·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面. （2）求得正方体体积为，利用锥体和台体的体积公式，分别求得三棱锥的体积为和三棱台的体积为，得到夹在平面与平面之间的几何体的体积，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，因为分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面DBEF，所以平面； 连接，则，且， 可得四边形为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面. （2）解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为, 三棱锥的体积为, 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为, 所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． (1)求证：平面平面PAD； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，根据线面平行证明面面平行； （2）根据线面平行的性质证明线线平行. 【详解】（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形， 所以， 又平面平面， 则平面， 同理平面平面， 可得平面， 又平面， 所以平面平面． （2）因为底面ABCD为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 【巩固练习2】（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 【巩固练习3】（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面 平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）点直线，直线平面，所以点平面. 又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点， 又因为平面平面，故点在直线上. 故三点共线. （2）取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以 ， 又因为 ，所以 . 又，所以四边形为平行四边形， 所以 . 因为 ， 所以四边形为平行四边形， 所以 ，所以 ， 又因为平面平面，所以 平面. 因为 ， 所以四边形为平行四边形，所以 ， 又因为平面平面，所以 平面. 又因为平面，平面， 所以平面 平面. 【类型3】证明四点共面】 1方法1：找两条直线证明它们平行或相交则四点共面 2方法2：利用向量共面定理证明三个向量共面 3方法3：证明其中三点确定的平面包含第四点 典型例题 【例题1】（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，得到，即可证明四点共面. （2）取中点，连接，，根据面面平行的判定定理得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）证明：连接，正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为、分别是、的中点，所以， 所以. 又两条平行线确定一个平面，所以，，、四点共面. （2）取中点，连接，. 正方体中，、为中点，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 正方形中，，， 又、为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，同理可得，平面. 又，，平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 【例题2】（25-26高一下·山西·阶段检测）如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合基本事实证明即可； （2）由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． （2）由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形证明，即可证明四点共面； （2）由梯形可知，再根据两平面的交线，证明过点即可； （3）根据平面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）连接CE，因为GH是的中位线，所以. 因为ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 所以， 所以，则四边形CDEF为平行四边形，从而. 又因为，所以，故D，G，H，F四点共面. （2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设， 因为平面平面ABEF，所以平面平面ABEF. 又因为，所以，即直线DG，AB，FH经过同一点. （3）因为ABCD是矩形，所以. 又不在平面DAF内，所以平面DAF. 同理可证平面DAF. 因为平面GBH， 所以平面平面DAF. 【巩固练习2】（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【分析】（1）通过证明直线与、分别相交于同一点，得出与相交，从而证明四点共面； （2）先确定平面与平面的交线为，再根据在平面内，得出与平面的交点即为与的交点. 【详解】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 【巩固练习3】（25-26高一下·江苏·期中）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且. (1)求证：四点共面； (2)延长交延长线于点，延长交延长线于点，求证：； (3)设平面将该正方体分成上、下两个几何体，求两几何体的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）在上取一点，根据正方体的性质得后即可得证； （2）由相似三角形可得，，以点为原点建立平面直角坐标系，计算所在直线方程，根据点在直线上即可证明； （3）结合（2）根据三棱锥的体积计算即可求解. 【详解】（1）在上取一点，使得，连接， 在中，因为，所以且， 因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，且，则四边形是平行四边形， 所以，故， 所以四点共面； （2）在正方体中，， 所以，则，解得， 同理，则，解得， 以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系如图所示： 则，，， 设所在直线为， 则，解得， 所以所在直线为， 将代入可得，， 所以在所在的直线上，故； （3）由（2）可知，， ， ， 所以平面截正方体下半部分体积为， 而正方体的体积为， 故平面截正方体下半部分体积为正方体的一半， 所以平面将该正方体分成上、下两个几何体的体积之比为. 【题型3：垂直的证明】 【类型1】垂直与平行关系的辨析 1明确线线垂直线面垂直面面垂直的定义与判定定理 2逐一验证条件是否满足如线面垂直需直线垂直于平面内两条相交直线 3排除反例如直线垂直于平面内一条直线≠线面垂直 典型例题 【例题1】（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【分析】利用平面基本事实判断A；利用线面平行的判定判断B；利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判断C；利用线面垂直的判定判断D． 【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确；     对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C 【例题2】（2026·浙江·三模）已知为直线，为平面，则下列条件是“”的充要条件的是（    ） A．垂直平面内的两条直线 B．垂直平面内的无数条直线 C．的方向向量垂直于平面的法向量 D．的方向向量平行于平面的法向量 【答案】D 【详解】对于A，垂直平面内的两条直线，若两直线平行，则不能推出，故A错误. 对于B，垂直平面内的无数条直线，若无数条直线两两平行，则不能推出， 故B错误. 对于C，的方向向量垂直于平面的法向量，则或，故C错误. 对于D，的方向向量平行于平面的法向量，则有. 反之，若，则有的方向向量平行于平面的法向量.故D正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·湖南长沙·月考）（多选）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 【答案】BC 【详解】对于A项，若或，此时与平面的交线的位置关系不确定 ， 可能与异面或平行，故A项错误； 对于B项，若，可能在平面或内，但是一定有或，故B项正确； 对于C项，若，因为，所以，由直线与平面垂直的性质，可得； 若，因为，同理可得，故C项正确； 对于D项，若，与平面的位置关系不确定，不一定垂直于或，故D项错误． 【巩固练习2】（2026·湖北孝感·二模）已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则两直线可以平行，可以垂直，可以异面，因此A错误； 对于B，若，，则，因此B正确； 对于C，当时，若，可以满足，但不成立，即C错误； 对于D，若，，也可能满足，所以D错误. 【巩固练习3】（25-26高一下·福建福州·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由，可得，又，则有，故C正确； 对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误. 【类型2】证明线面垂直 1在目标平面内找两条相交直线 2证明目标直线同时垂直于这两条相交直线 3由线面垂直判定定理得出线面垂直 4补充：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个则垂直于另一个 典型例题 【例题1】（25-26高一下·广西柳州·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证出平面，结合等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，交于，连接. 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点. 因为点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以. 在中，，，，则，所以. 因为，平面，， 所以平面. （3）过点作. 在中，，即. 直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 则即为点到平面，也即平面的距离. 又， . 故三棱锥的体积为8. 【例题2】（2026·贵州安顺·模拟预测）（多选）已知正方体，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】AC 【详解】因为，所以四点共面， 因为平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面，故A正确； 因为四边形为矩形，所以不垂直， 故与平面不垂直，故B错误； 因为平面，所以D错误； 因为平面,平面， 所以平面，故C正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 【答案】证明见解析 【详解】取的中点F，连接，如图所示， 由底面是直角梯形，，，， 结合勾股定理计算可得：， ，，，∴四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 【巩固练习2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得四棱锥的高后，再利用四棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】如图， 连接，因为，为的中点，是等边三角形， 则， 则在中，因为，， 所以由余弦定理得： . 在中，因为，而， 所以，则， 在中，因为，而， 所以，则， 又，平面，平面， 故平面． 【类型3】面面垂直的证明 1在一个平面内找一条直线 2证明该直线垂直于另一个平面 3由面面垂直判定定理得出两平面垂直 典型例题 【例题1】（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 【例题2】（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，， (1)求证：平面平面； (2)若，，，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，结合题中所给的线线垂直的条件，利用线面垂直的判定定理证得平面，再借助面面垂直的判定定理证得结果； （2）平移到，在中利用余弦定理求解. 【详解】（1）∵四边形为菱形，∴， 又，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面； （2）连接， ∵四边形为菱形，∴为、的中点. ∵，∴. 在菱形中，， ∴为等边三角形,， 又，∴，即，即， 又平面平面，平面平面； ∴平面， 平面， ∴ ，又， ∴，. ∵，∴即为异面直线与所成角（或其补角）. 在中，， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）连接交于点，可得，由线面平行的判定定理可证； （2）易证平面，结合（1）利用面面平行的判定定理可证； （3）由题易证平面，利用面面垂直的判定定理得证. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为分别是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. 又平面，且平面，， 所以平面平面. （3）因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【巩固练习2】（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理分别得出面面垂直即可求解. 【详解】因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，所以 ，又，平面， 所以平面， 平面，平面平面； 所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】取AB中点O，连接PO，CO，证得，即可利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【类型4】面面垂直的性质 面面平行主要是判定定理，对性质定理不做过多要求。而面面垂直的性质和判定定理一样重要。 在最近几年有比较重要的考察. 1已知两平面垂直 2在一个平面内作垂直于交线的直线 3该直线垂直于另一个平面用于构造线面垂直 典型例题 【例题1】（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可证平面，平面，进而可证面面平行； （2）根据线面平行的性质定理可得，进而分析长度共线即可； （3）根据面面垂直的性质定理可得平面，平面，进而可得，，即可得线面垂直. 【详解】（1）因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，平面平面，则， 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 【例题2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·北京·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的判定及性质即可证明； （2）取中点，连接，推出，即得，由线面平行的判定定理即可证明； （3）由面面垂直的性质得出线面垂直，再根据线面垂直的性质即可证明． 【详解】（1）因为平面，平面，且平面平面， 所以． （2）取中点，连接， 因为分别为中点，所以且， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （3）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【巩固练习2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质以及题中条件可证明四边形是平行四边形，进而得，利用面面垂直的性质即可求证. 【详解】连接，交于点，连接． 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则． 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故． 【巩固练习3】（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 【类型5】证明异面直线垂直 方法技巧：异面直线的垂直证明如果能建系就优先考虑建系，建系法思路简单且计算量小，而几何法如果不熟练就容易卡壳 1方法1：证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面则两直线垂直 2方法2：用向量法证明两直线的方向向量数量积为0 3方法3：转化为线面垂直再推导线线垂直 典型例题 【例题1】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【详解】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【例题2】（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； （2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解. 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥中，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，证得且，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）作交于H，证得平面，得到为直线与平面所成角，求得的长，结合，即可求解； （3）设平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，证得截面为矩形，设，得到矩形的面积，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接，   因为，，可得且， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：作交于H，连接，， 由（1）平面，平面所以平面平面， 因为平面平面，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 又因为，所以， 因为，可得 又因为，所以 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）解：如图所示，设平面平面，平面平面，平面平面，平面平面， 因为，且平面，所以， 同理可证，，，即， 由（1）知，所以，所以截面为矩形， 设，其中，则， 所以矩形的面积， 当且仅当，即时，等号成立，所以截面面积的最大值为. 【巩固练习2】（24-25高一下·浙江·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． (1)求证：； 【详解】（1）连接， ∵，∴， 又∵侧面底面，侧面底面，侧面， ∴平面，又平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， 又平面，∴， 又平面，平面，则， ，平面，∴平面， 又平面，∴. 【巩固练习3】（2025高三·全国·专题练习）已知直三棱柱的体积为4，的面积为．若，平面平面，求的面积． 【答案】 【分析】利用平面与平面垂直证明，，结合体积和面积公式可求答案. 【详解】如图，作于点H． 因为平面平面，平面平面， 所以平面．因为平面，所以． 因为直三棱柱，所以平面ABC． 因为平面ABC，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为AB，平面，所以，． 设，，则， 所以，， 解得．所以． 模块二 平行与垂直的应用 题型四 平行关系的应用 【类型1】等积变形求体积 1利用线面平行找到与底面平行的截面 2转化为等底等高的几何体计算体积 3利用平行移动顶点改变几何体的高或底面积简化计算 典型例题 【例题1】（25-26高一下·北京平谷·期中）如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等体积法计算即可. （2）由四边形为平行四边形证得，根据线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）正方体中，平面平面， 所以棱长即为点到平面的距离. 所以. （2）证明：正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. 【例题2】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段即为点的轨迹，理由见解析 【分析】（1）过作，交于，可证四边形为平行四边形，得到，即，再由线面平面的判定即可证明； （2）法一：连接，根据，结合锥体体积公式计算；法二：由等体积法可知即可求解； （3）根据题意，，进而得到点到平面的距离是点到平面的距离的两倍，再得到轨迹即可． 【详解】（1）证明：在平面中，过作，交于， 因为为的中点，所以为的中点，则，， 又，，所以且， 则四边形为平行四边形，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． （2）法一：连接，则， ． 法二：（等体积法）由知， 因为，所以， 因为，所以． （3）四棱锥和三棱锥中含有相同的字母，，， 保留这三个字母，将其他字母统一化．， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的三倍， 即平面经过线段的一个四等分点（靠近点）， ， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的两倍， 即平面经过线段的一个三等分点（靠近点）， 又平面与平面相交于一条直线，点，确定该直线， 因此，线段即为点的轨迹． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1） ， 平面， 平面， 面， 面，面面， ， 面，面， 面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作 交 于 ， 设， 平面，平面， 平面平面， ， 在梯形 中， ， ， ， ， ，即， 可得 ，故. 【巩固练习2】（25-26高二下·上海·期中）某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若点是的中点，求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形即可得到，然后由线面平行的判定定理即可证明； （2）首先求出圆台的高，然后根据体积转化法得到，最后问题转化为点到直径距离的最大值即可得出答案. 【详解】（1）取的中点，连接，，因为是的中点，所以是的中位线， 因此： ，且， 由圆台性质，上底直径，且， 故且， 因此四边形是平行四边形，得， 又平面，平面，所以平面. （2） 轴截面等腰梯形中，，，，圆台的高： ， 因为是下底直径，在下底圆周上，故， 设到底面直径的距离为，由下底圆半径为2，得，最大值为2， 的面积，是中点，故， 因为是中点，平面， 故， 到底面的距离为圆台的高， 因此： ， 因为，当时三棱锥体积取最大值： . 【巩固练习3】（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，7∶17 【分析】（1）由正方体的性质及线面平行的判定定理可得； （2）利用平面基本事实3，作出与的交点可得平面和底面ABCD的交线，求出正方体被平面分得的三棱台的体积，根据正方体的体积，求得另一部分的体积，即可得两部分体积比. 【详解】（1）在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 平面.     （2）在正方形中，直线与直线相交. 延长，交于点，连接， ，平面，则平面. ，平面，平面. 平面平面，则平面和底面ABCD的交线为， 设，则如图平面和底面ABCD的交线为， 连接，则为平面和平面的交线. 由为的中点，得为的中点，. 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台. 解法一：设正方体的棱长为2. .     另一部分几何体的体积为. 两部分的体积比为7∶17.     解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 所以. 另一部分几何体的体积为， 两部分的体积比为7∶17. 【类型2】平行的存在性问题（确定点的位置） 我们经常会遇到这样一类问题：在棱AD上是否存在点N，使MN∥平面 PAB?类似这一类确定点位置的问题，在线面平行类问题中，我们经常会通过证明面面平行来解决问题。 1假设存在满足条件的点或直线 2利用线面平行或面面平行的性质列条件方程 3求解点的位置或参数验证条件是否成立 典型例题 【例题1】（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行. （2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可. 【详解】（1）因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. （2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 【例题2】（25-26高一下·山东济南·期中）如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)在线段OB上存在点E，且=3，证明见解析 【分析】 （1）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，为等边三角形，通过外接圆半径计算边长，再由计算中位线的长度； （2）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，母线长为原半圆半径，底面圆周长为原半圆弧长，计算出半径后可以计算出圆锥高，体积即可求解； （3）通过中位线、平行四边形来构造出线面平行，从而找到点. 【详解】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为， 则，解得， 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以， 又因为点、分别是、的中点， 所以； （2）， 圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为； （3）在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下：如图，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以， 取CB的四等分点G，使，连接GE， 因为，所以，， 所以，， 所以四边形DFGE是平行四边形，所以 又平面ABC，平面ABC，所以平面 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论； （2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论， 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 【巩固练习2】（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 【巩固练习3】（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 【类型3】平行的存在性问题（确定动点轨迹） 1分析动点的运动约束条件 2利用平行关系确定动点的轨迹形状如直线平面 3结合几何体的边界确定轨迹的范围 典型例题 【例题1】（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 【例题2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 【答案】 【分析】连接，连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的性质列式求解. 【详解】连接，连接，由，为线段上靠近的三等分点， 得，，由平面，平面平面， 平面，得，所以. 故答案为： 【巩固练习2】（2027高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在正方形内，若，∥平面，则的最小值是________． 【答案】 【分析】通过作辅助线构造与已知平面平行的平面，确定出动点P所在的线段，再求定点到该线段上点的距离的最小值. 【详解】 如图，分别取棱，的中点，，连接，，． 因为正方体中，，所以平面内两相交直线，与平面平行， 所以平面平面，则点在线段上． 过点作，垂足为，连接，则， 当且仅当与重合时，． 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高三上·河南新乡·期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，，且． (1)求三棱锥的体积； (2)已知点在侧面及其边界上运动，若平面，求点的轨迹长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等体积法即可求出三棱锥的体积. （2）分别取靠近点的三等分点，连接， 由题意可证得线线平行，由面面平行的判定定理即可证得平面与平面平行，再由面面平行的性质定理即可证得线面平行.进而求得动点轨迹长度； 【详解】（1）由题意可知为等边三角形， 因为底面，平面，故， 又平面平面，所以平面平面ADEF， 如图，过点作于点，所以平面 因为为等边三角形，所以，则点到平面的距离， 过点作于点，所以， 所以． （2）取靠近点的三等分点，连接， 因为，且，则，所以． 又平面，平面，所以平面． 因为，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，又平面，平面， 所以平面，且，平面， 所以平面平面， 由题意知在线段上时，平面． 所以点的轨迹长度为． 【类型4】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 1找几何体中平行的棱或面 2作平行线或延长线确定截面与几何体各棱的交点 3连接交点补全截面图形 4利用平行关系判断截面的形状如平行四边形梯形 常见正方体截面 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江·期中）已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又， 所以五边形的面积为.    【例题2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正方体的棱长为2，为的中点，为上靠近的四等分点，则过点，，的平面截该正方体得到的截面图形的周长为______. 【答案】 【分析】由平面性质，作出该平面，然后求解即可. 【详解】如图，延长至，使得， 连接交于，连接交于，连接， 取的中点，上一点，使， 连接，，， 因为且，且， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 则. 由，， 得， 则为的中点， 则， 所以. 所以平面即为所求平面， 又，， 故，， 所以，， 则在中，； 在中，； 在中，； 在中，； 在中，， 所以过点，，的平面截正方体得到的截面图形的周长为： . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【答案】AD 【分析】对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离． 【详解】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长， 分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点， 连接此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以B错误； 对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则， 所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形, 易知，所以其截面面积为，故C错误； 对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得 ，连接与于P点， 此时， 故D正确. 故选：AD 【巩固练习2】（25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析 (2)面积为，周长为． 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上即可； （2）连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，，得到四边形即为所求截面，再求面积即可． 【详解】（1）证明：平面平面， 由于，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面， 所以，即点Q在直线上； （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． 【巩固练习3】（2025·湖南永州·模拟预测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果. 【详解】如图所示， 要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交， 因为是的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 在长方体中，，所以， 所以， 同理可得，即， 因为，所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 故选：B. 题型五 垂直的应用 【类型1】垂直的存在性问题（确定点的位置） 1假设存在满足条件的点或直线 2利用线面垂直或面面垂直的性质列条件方程 3求解点的位置或参数验证条件是否成立 典型例题 【例题1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；点为线段中点. 【分析】（1）利用锥体的体积公式即可求解； （2）通过添加相应辅助线，然后结合面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为， 则：. 故四棱锥的体积为：. （2）存在，点为线段中点，理由如下： 取的中点，取中点，连接、，如下图： 因为、分别为、的中点，所以：，， 所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：， 因为底面，平面，所以：， 又因为底面为正方形，所以：，且，平面， 所以：平面，因为：平面，所以：， 又因为：，点为中点，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 又因为：，所以：平面， 又因为：平面，所以：平面平面. 故当点为的中点时，平面平面. 【例题2】（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的性质判定推理作答. （2）取的中点，的中点，连接，再作出直二面角，并探讨线段长度关系，借助比例式求解作答. 【详解】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面，又平面，于是， 而平面， 所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接，    于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则，又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，可得出，再由已知条件可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知，计算出三边边长，利用余弦定理求出的值，可求得的长，进而可求得的长，即可得解. 【详解】（1）证明：因为，，，所以，， 所以，，则， 因为平面，平面，所以，， 又因为，、平面，所以，平面. （2）解：因为平面，平面，所以，， 若面，平面，则， 因为，， 由余弦定理可得， 因为平面，、平面，则， 所以，，， 在中，，，， 所以，， 所以，， 所以，，则， 因此，若满足面，则. 【巩固练习2】（24-25高一上·陕西渭南·月考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点． (1)求证：； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)当为中点时，；证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得，由线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）利用面面平行的判定可证得平面平面，由此可得平面，由线面垂直的性质可证得结论. 【详解】（1）连接， 四边形为菱形，，又，为等边三角形， 为中点，； ，为中点，， 又，平面，平面， 平面，. （2）当为中点时，，证明如下： 分别为中点，，又平面，平面， 平面； 分别为中点，，， 四边形为平行四边形，，又平面，平面， 平面，又，平面， 平面平面， 由（1）知：平面，平面， 平面，. 【巩固练习3】（24-25高二上·青海海东·期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，． (1)求证： 平面； (2)求点C到平面的距离； (3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）连交于点F，连EF，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可； （2）连交EF于点N，由题可得，进而点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍，然后根据等积法即得； （3）由线面垂直的性质证明，作，垂足为M，由线面垂直的判定证明平面，最后得出AM的长. 【详解】（1）连交于点F，连EF， ∵是菱形， ∴F是中点，又∵E是中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面； （2）连交EF于点N，棱柱中是平行四边形，且E，F分别为，中点， ∴，又平面， ∴点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍， ∵菱形中，，又， ∴，，， 又平面ABCD，平面ABCD， ∴，又， ∴，∴， 因为，，， ∴面积为，的面积为， 由得，其中h是到平面的距离， ∴， ∴点C到平面的距离为； （3）∵平面ABCD，平面平面ABCD， ∴平面，∵平面， ∴， ∵菱形，，，平面， ∴平面，又平面， ∴， 在中，过F作，垂足为M， 又，平面， 所以平面， ∴存在M满足条件， 在中，，，F是中点， ∴， ∴． 【类型2】垂直的存在性问题（确定动点轨迹） 1分析动点的运动约束条件 2利用垂直关系确定动点的轨迹形状如圆球面 3结合几何体的边界确定轨迹的范围 典型例题 【例题1】（24-25高二上·辽宁·月考）正方体的棱长为1，点P是内不包括边界的动点，若，则线段AP长度的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】根据平面确定平面，进而在上，故当时，最小，计算线段长度利用等面积法计算得到答案. 【详解】与相交于，连接，，， ，，，故平面，， 故平面，P是内不包括边界的动点，故在上， 当时，最小 中，，， 根据等面积法：. 故答案为： 【例题2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理结合条件可得点的轨迹，进而求得轨迹的长度． 【详解】设，分别是，的中点，连接，，， 则，即四点共面， 在正方体中，得是的中点， 显然，，， 所以，故， 所以， 即，所以， 又平面，平面，所以， 又，且平面，平面， 所以平面， 因为点在正方体的表面上运动，且，所以点的轨迹是矩形， 由题可得，， 所以点的轨迹长度为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·宁夏银川·三模）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A，由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为， ，，故， 又，则，故，解得， 因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B，取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，，又平面，平面， 故平面，平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C，取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故， 故，又，、平面，故平面， 又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误； 对于D，若平面，因为平面，平面， 故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 【巩固练习2】（2026·山西太原·二模）（多选）已知在棱长为1的正方体中，为侧面内一点（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则的最大值为 B．若点在线段上，则的最小值为 C．存在点，使得点和点到平面的距离相等 D．三棱锥外接球的体积的最小值是 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题意，点的轨迹为线段，再判断的最值即可；对于B，将沿翻折到与平面共面，再计算最值即可；对于C，易得点在线段上；对于D，设平面的中心为，平面的中心为，易知三棱锥外接球的球心在线段上，令，外接球半径为，利用勾股定理表示出，结合函数的性质求最值即可． 【详解】易知平面， 又点在侧面内， 点的轨迹为线段，当点在处时，取最大值为，故A正确； 将沿翻折到与平面共面，且在的异侧， 如图，连接，交于点， 则即为的最小值， 易知最小值为，故B错误； 由平分可知点和点到平面的距离相等， 若点和点到平面的距离相等，必有 平面， 又，点在线段上，故C正确； 设平面的中心为，平面的中心为， 易知三棱锥外接球的球心在线段上， 令，外接球半径为，则. 又，整理得， 当时，，此时外接球的体积为， 即点与点重合时，三棱锥外接球的体积取最小值，故D正确． 【巩固练习3】（25-26高三下·云南·月考）已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且，则的轨迹长度为________． 【答案】 【详解】如图，设在平面上的射影为，四面体的外接球的半径为． 易得，． 由，得 ，得． 因为为的中点，所以． 又，所以的轨迹是半径为的圆，所以的轨迹长度为． 【类型3】利用垂直关系求体积/距离 1利用线面垂直或面面垂直找到几何体的高 2确定底面面积代入体积公式计算 3利用面面垂直的性质构造高简化计算 典型例题 【例题1】（2026·河北石家庄·三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，， . 在中， ， ， 在中， ， ， 在中， ， . 又 ，平面， 平面， ， 平面， 点到底面的距离为. 【例题2】（25-26高一下·黑龙江·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【分析】取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，证明平面，求出即可． 【详解】是边长为3的等边三角形，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面， 在中，由余弦定理得， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为，则， 又平面，所以，又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 【巩固练习2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】由线面平行的判定定理判断A；由异面直线所成角定义计算判断B；由三棱锥体积计算公式计算判断C；根据等体积法计算判断D. 【详解】对A选项，如图，连接，则为中点，    又为的中点，所以， 又平面平面， 平面，故A选项正确； 对B选项，由A可知，为与所成角或其补角， 由正方体性质可知，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 【巩固练习3】（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过将沿翻折至与共面，把空间中求最小值的问题，转化为平面内三点共线时的线段最短问题，结合已知边长与正方形性质，计算出相关线段长度，利用勾股定理求得等腰 的高，进而算出其面积. 【详解】如图，将沿着翻折，使其与共面， 可知当三点共线时，取得最小值. 过作，因为，侧面是正方形， 所以， 因为在直三棱柱中，，，，所以平面， 又平面，所以，翻折之后两者的垂直关系不变， 则为的中点，则， 则的边上的高为， 则的面积为. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知直线a，b，平面，，且，，，a，b共面，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C．直线与内的任意直线均异面 D．a，b，l交于一点或互相平行 【答案】D 【分析】令a，b共面，分或进行判断. 【详解】令a，b共面，则， 若，，，则， 又，，所以，则； 若，则，而，所以， 所以a，b，l交于一点， ，b，l交于一点或互相平行. 故选：D 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先判断充分性，再判断必要性，得到“”是“”的既不充分也不必要条件． 【详解】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（   ） A．若，，且，则与为异面直线 B．若，，且，则 C．若，，且，则与为异面直线 D．若，，且，则 【答案】B 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系依次判断即可． 【详解】对于A，若，，且， 则与为异面直线或平行直线或相交直线，故A错误； 对于B，若，，且， 则，，故B正确； 对于C，若，，且，则与可能为相交直线，如下图所示：    所以若，，且，则与为异面直线为假命题，故C错误； 对于D，若，，且，则与可能相交，如下图所示：    也可能为异面直线， 所以若，，且，则为假命题，故D错误. 4．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（    ） A．直线与直线异面 B．过三点的平面截正方体所得的截面的面积为 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．存在点，使得直线平面 【答案】D 【分析】对于A，由异面直线的概念判断即可；对于B，由题意过三点的平面截正方体所得的截面的面积为梯形的面积，其中点为的中点，进一步验算即可；对于C，由体积转换法即可判断；对于D，假设直线平面，导出矛盾即可判断. 【详解】对于A，如图所示，由题意，从而四边形是平行四边形， 所以，而，所以直线与直线异面，故A正确； 对于B，如图所示，设点为的中点，因为为的中点， 所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 所以过三点的平面截正方体所得的截面的面积为梯形的面积， 由勾股定理得， 故梯形的高为， 故所求为，故B正确； 对于C，如图所示，由A可知， 又因为平面，平面, 所以平面, 显然三角形的面积是定值，且点到平面的距离等于点到平面的距离也为定值，故C正确； 对于D，如图所示，设为的中点， 因为，平面，平面， 所以平面， 若直线平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为分别为正方形的边的中点，所以， 又因为， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 而直线与平面相交，所以直线与平面相交， 这与平面矛盾，故假设直线平面不成立，故D错误. 故选：D. 5．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】由，而平面，故A错误； 由，而平面，故B错误； 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，故C错误； 如图所示，连接交于，连接， 所以点是的中点，又点是的中点， 所以，而平面，平面， 所以平面，故D正确. 6．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（    ） A．五边形， B．六边形， C．五边形， D．六边形， 【答案】B 【分析】根据题意作出截面可判断截面形状，得出截面与侧面的棱相交，并计算出其位置即可求得交线长. 【详解】设中点为，连接，是中点，底面， 连接，并延长交的延长线于，又是中点，所以≌， 则，过点作，且交的延长线于，与的延长线交于R， ∽，则，所以，， 连接交于G，所以∽，即， 其中，故，又，则， ， 所以截面与侧面的交线为， 延长交的延长线于，连接交于H，并延长交的延长线于K， 连接交于I，所以截面为六边形， 故选：B. 二、多选题 7．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 【答案】AB 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 8．（25-26高二下·浙江杭州·期中）在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】对A直接用线面平行的判定定理判断可得；对C转化为线面垂直判断可得；对C构造平面，平面平面且平面平面，从而可得平面与平面相交，对D用面面垂直的判定定理判断可得. 【详解】如图正方体为中，分别为的中点，    对选项A ：因为正方体中，又分别为的中点，可得， 因此， 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得平面，A正确； 对选项B：正方体中，且 ，，平面， 因此平面， 平面，故 ，B正确； 对选项C ：设是的中点，连接，由A选项的分析知， 又因为分别是棱的中点，所以且，且， 所以四边形是平行四边形，得. 因为，平面,平面,所以平面, 同理，平面,平面,所以平面, 而平面，所以平面平面， 而平面平面，所以平面与平面必相交，故C错误； 对选项D ：由B选项分析知平面，又，因此平面. 又因为 平面，根据面面垂直的判定定理，得平面平面，D正确. 9．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】根据线线平行、线面平行、面面平行的有关定理对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知：平面平面， 由于平面，所以平面，A选项正确. B选项，连接，根据正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以, 因为分别是的中点，所以， 所以，所以B选项正确. C选项，由于分别是的中点，所以， 由于平面,平面， 所以平面，C选项正确. D选项，由于， ，， 所以与相交，所以面与平面相交，D选项错误. 10．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线 平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】根据线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】选项A，如题所示连接交与，则为中点，    又因为是中点，所以， 因为平面，平面，所以 平面，A满足题意； 选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意； 选项C， 连接，由条件和正方体的性质可知，，    所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意； 选项D，取的中点为，连接，    因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以 平面，D满足题意； 故选：AD 三、填空题 11．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒·期中）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 【答案】/ 【分析】由，，，四点共面，得即为与平面的交点，连接，交于点，连接，则即为与的交点，取的中点，连接，结合三角形的中位线定理及相似三角形，可得答案． 【详解】如图，若，，，四点共面， 则即为与平面的交点， 连接，交于点，连接， 则即为与的交点，如图所示： 在截面中，为的中点，为的三等分点，取的中点， 连接，则， 故，即，则． 故答案为： 四、解答题 12．（25-26高一下·山东泰安·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过证明四边形为平行四边形，得到，再由线面平行的判定即可证明． 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）取的中点，则， 因为，所以，则且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 13．（25-26高二上·河北张家口·期中）如图，在正四棱柱中，，E为的中点，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面BDE的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）找出点到平面的距离所对应的线段，利用三角形的边角关系求点到平面距离. 【详解】（1）连接，,如图： 在中，，， 因为，所以. 在中，，，， 因为，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面 平面. （2）连接， 在中，，，， 因为，所以. 又，平面，， 所以平面. 所以即为点到平面的距离为. 14．（25-26高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M为PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）E为PA中点，连接EM、EB，由已知易证为平行四边形，即，根据线面平行的判定证平面PAB. （2）由线面垂直的性质及勾股逆定理证明、，根据线面垂直的判定证面，求得三棱锥的高及，结合三棱锥体积公式求体积即可. 【详解】（1）取E为PA中点，连接EM、EB，由M为PD的中点， ∴且，又且，则且， ∴四边形为平行四边形，故， ∵平面，平面， ∴平面PAB. （2）连接AC，过C作交于F点，即且， ∴中，，而在中，，有， ∴，又平面ABCD，平面，则， ∵，平面，∴平面， 即是三棱锥的高，而， ∴. 15．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由正方体中点性质证、,再利用线面平行判定定理证、分别平行于平面,最后由面面平行判定定理证平面平面； （2）依据点与直线、平面的从属关系,推出都在平面与平面的交线上,从而证得三点共线. 【详解】（1）连接，又点分别为棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，又点分别为棱的中点，所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以，即三点共线. 16．（25-26高一下·安徽六安·期中）如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）存在，；（ii）存在， 【分析】（1）由得平面，再由线面平行的性质定理，结合两平面交线，证得； （2）（i）连接交于，利用的比例关系和线面平行判定，得到的值； （ii）根据梯形底面积比求两部分体积比，再结合棱锥体积公式列方程，解得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以. （2）（i）存在点，使得平面，此时. 证明如下：连接交于点，连接 因为，且，所以，又因为，， 所以，因为平面，平面，所以平面. （ii）存在，且，理由如下： 记四棱锥的体积是. 由，得，故， 即. 设，则. 令，得，解得. 故存在点，当时，平面将四棱锥分为体积相等的两部分. 17．（25-26高一下·广东梅州·期中）如图，在四棱锥中， 分别是的中点，， . (1)求证 平面； (2)若 平面，求的值； (3)作出平面与平面的交线，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)理由见解析 【分析】（1）利用中点构造中位线平行即可证明. （2）运用线面平行的性质定理，得到线线平行，利用平面三角相似，得到相似比进而求解. （3）运用线面平行的性质定理，可知交线的位置且与已知线的平行关系. 【详解】（1） 如图延长，连接并延长与交于点，连接 因为 且是的中点， 所以，且， 所以 所以为中点， 在中，分别是的中点，所以 又因为平面，平面，所以 平面 （2） 连接，交于点，连接 因为 平面，平面，而平面平面， 故, 所以 所以 在梯形中，因为 ， 所以 又 所以 所以 （3） 过点在平面中作直线，如图 理由如下 因为 ，平面，平面， 所以 平面 又因为平面，平面平面 所以 所以 18．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1） 连接，可证四边形是平行四边形，从而得到，   利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【详解】（1）连接，分别是棱的中点， ，    在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ，             平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，   故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 19．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O. (1)求的长度 (2)求正四棱锥的表面积和体积； (3)设平面平面，求证：； 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用侧面积是底面积两倍的已知条件结合勾股定理建立方程，解出底边长从而得出斜高SE； （2）直接将底面积与侧面积相加得出表面积，并利用底面积和已知的高代入棱锥体积公式计算体积； （3）通过底面正方形对边平行得出直线平行于平面，再利用线面平行的性质定理推导出交线与已知底边平行. 【详解】（1）设底面ABCD的边长为a，因为O为底面中心，E为BC的中点，所以且， 底面积为，已知，在中，， 侧面积为， 因为侧面积是底面积的2倍，则有， 因为，解得，代入得， 解得，则（负根舍），即. （2）由（1）得侧面积为，底面积为， 则表面积，体积. （3）由题意得底面为正方形，则平面，平面，所以平面， 且平面，平面平面，则. 20．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形. (1)当时， （i）求证：； （ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面； (2)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）求证，，再利用线面垂直的判定定理和性质定理求证； （ii）求证，，利用线面垂直的判定定理求证； （2）点为线段的中点，求证，再利用长方体求出外接球半径即可. 【详解】（1）（i）连接，因为平面，平面，所以， 因为底面为平行四边形且，所以四边形为菱形，则， 因为平面，所以平面， 又平面，所以； （ii）设，连接， 因为平面，平面，所以， 因为面积的最小值是9，所以，则， 故当时，，故， 则，则，即， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 则，则， 因为，， 所以，则， 因为平面，所以平面； （2）点为线段的中点， 设，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为点为线段的中点，则，即为直角三角形， 因为， 所以，则， 故，故四面体为鳖臑； 将该鳖臑补形至长方体中，其中， 所以体对角线长为， 设外接球的半径为，所以， 则外接球表面积为，等号成立时， 故该鳖臑外接球表面积的最小值为. $专题4 平行与垂直的证明及其应用(动点存在性，平行垂直轨迹，截面) 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 知识点01 平行关系的性质与判定 1. 转化关系思维导图 2. 图形展示，符号语言与文字语言 序号 图形展示 符号语言 文字语言 1 1 垂直于同一平面的两个直线平行 2 如果两条直线分别与第三条直线平行则这两条直线平行 3 线段成比例两直线平行（中位线） 4 平行四边形对面平行 2 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 3 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 4 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行 5 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 6 一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行 7 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 3. 平行常用结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B． (4)若α∥β，m⊂α，则m∥β. 【常见平行模型】 知识点02 垂直关系的判断与性质 1. 线线垂直 （1）勾股定理逆定理；（2）等腰三角形三线合一 （3）菱形对角线互相垂直；（4）结合余弦定理得出直角 2. 线面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质一 如果一条直线与一个平面内垂直，那么该直线与此平面的任何一条直线垂直 性质二 垂直于同一个平面的两条直线平行 3. 面面垂直 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 4. 垂直常用结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． 知识点03 截面问题 1. 如何做截面？ 作出过EFG三点的截面 法一：作平行线并标出棱上的交点 法二：作延长线并标出棱上的交点 2. 如何确定截面是否已经“搞定”？ （1）题目所要求的点是否都用上？ （2）你所画的线是否围成了一个封闭图形？ （3）这个封闭图形的边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)？ 模块一 平行与垂直的证明与辨析 【题型1：证明线面平行的几种常用方法】 基础知识 【方法1】由中位线得出平行关系 1找三角形或梯形的中位线 2证明中位线与目标直线平行 3证明中位线在目标平面内目标直线在平面外 4由线面平行判定定理得出线面平行 典型例题 【例题 1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【例题2】（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 【巩固练习2】（25-26高一下·重庆渝北·期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【巩固练习3】（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 【方法2】构造平行四边形得到平行关系 1在目标平面内找一条与目标直线平行的线段 2证明该线段与目标直线平行且相等构成平行四边形 3证明目标直线在平面外线段在平面内 4由线面平行判定定理得出线面平行 典型例题 【例题 1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【例题2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，是边长为4的正方形，平面，，且．证明：平面； 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为，求四棱锥的体积． 【巩固练习2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.求证：平面. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点.求证：平面. 【方法3】由面面平行得出线面平行 1证明目标直线所在的平面与目标平面平行 2说明目标直线在平行平面内 3由面面平行的性质得出线面平行 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·北京·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 【例题2】（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，已知多面体的底面是正方形，底面，，.证明：平面. 【巩固练习2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·二轮复习）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.求证：平面. 【方法4】由线面平行得出线线平行（反推找线） 1证明目标直线平行于某条直线 2证明该直线平行于目标平面 3由线线平行的传递性或线面平行的判定定理推导 典型例题 【例题1】（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【例题2】（25-26高一下·山东·期中）如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·广东湛江·期中）如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 【巩固练习2】（25-26高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是的中点. (1)求证： 平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证： . 【巩固练习3】（25-26高三·北京·二轮复习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 【题型2：其它平行证明与判定】 【类型1】平行关系辨析 1明确线线平行线面平行面面平行的定义与判定定理 2逐一验证条件是否满足如线面平行需直线在平面外且平行于平面内一条直线 3排除反例如直线与平面内无数条直线平行≠线面平行 典型例题 【例题1】（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【例题2】（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）下列四个命题中错误的是（    ） A．如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·福建龙岩·期中）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【巩固练习2】（25-26高二下·四川成都·月考），分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 【巩固练习3】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【类型2】面面平行 1在一个平面内找两条相交直线 2分别证明这两条相交直线平行于另一个平面 3由面面平行判定定理得出两平面平行 典型例题 【例题1】（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【例题2】（25-26高一下·广东珠海·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． (1)求证：平面平面PAD； (2)求证：； 【巩固练习2】（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【巩固练习3】（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面 平面. 【类型3】证明四点共面】 1方法1：找两条直线证明它们平行或相交则四点共面 2方法2：利用向量共面定理证明三个向量共面 3方法3：证明其中三点确定的平面包含第四点 典型例题 【例题1】（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 【例题2】（25-26高一下·山西·阶段检测）如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·四川达州·期中）如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 【巩固练习2】（25-26高一下·山东泰安·期中）在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【巩固练习3】（25-26高一下·江苏·期中）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且. (1)求证：四点共面； (2)延长交延长线于点，延长交延长线于点，求证：； (3)设平面将该正方体分成上、下两个几何体，求两几何体的体积之比. 【题型3：垂直的证明】 【类型1】垂直与平行关系的辨析 1明确线线垂直线面垂直面面垂直的定义与判定定理 2逐一验证条件是否满足如线面垂直需直线垂直于平面内两条相交直线 3排除反例如直线垂直于平面内一条直线≠线面垂直 典型例题 【例题1】（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 【例题2】（2026·浙江·三模）已知为直线，为平面，则下列条件是“”的充要条件的是（    ） A．垂直平面内的两条直线 B．垂直平面内的无数条直线 C．的方向向量垂直于平面的法向量 D．的方向向量平行于平面的法向量 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·湖南长沙·月考）（多选）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 【巩固练习2】（2026·湖北孝感·二模）已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【巩固练习3】（25-26高一下·福建福州·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【类型2】证明线面垂直 1在目标平面内找两条相交直线 2证明目标直线同时垂直于这两条相交直线 3由线面垂直判定定理得出线面垂直 4补充：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个则垂直于另一个 典型例题 【例题1】（25-26高一下·广西柳州·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【例题2】（2026·贵州安顺·模拟预测）（多选）已知正方体，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 【巩固练习2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．求证：平面. 【类型3】面面垂直的证明 1在一个平面内找一条直线 2证明该直线垂直于另一个平面 3由面面垂直判定定理得出两平面垂直 典型例题 【例题1】（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【例题2】（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，， (1)求证：平面平面； (2)若，，，求异面直线与所成角的余弦值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【巩固练习2】（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【类型4】面面垂直的性质 面面平行主要是判定定理，对性质定理不做过多要求。而面面垂直的性质和判定定理一样重要。 在最近几年有比较重要的考察. 1已知两平面垂直 2在一个平面内作垂直于交线的直线 3该直线垂直于另一个平面用于构造线面垂直 典型例题 【例题1】（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 【例题2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·北京·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求证：． 【巩固练习2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【巩固练习3】（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【类型5】证明异面直线垂直 方法技巧：异面直线的垂直证明如果能建系就优先考虑建系，建系法思路简单且计算量小，而几何法如果不熟练就容易卡壳 1方法1：证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面则两直线垂直 2方法2：用向量法证明两直线的方向向量数量积为0 3方法3：转化为线面垂直再推导线线垂直 典型例题 【例题1】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【例题2】（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥中，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，，用平面α将三棱锥分为两部分，求截面面积的最大值． 【巩固练习2】（24-25高一下·浙江·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． (1)求证：； 【巩固练习3】（2025高三·全国·专题练习）已知直三棱柱的体积为4，的面积为．若，平面平面，求的面积． 模块二 平行与垂直的应用 题型四 平行关系的应用 【类型1】等积变形求体积 1利用线面平行找到与底面平行的截面 2转化为等底等高的几何体计算体积 3利用平行移动顶点改变几何体的高或底面积简化计算 典型例题 【例题1】（25-26高一下·北京平谷·期中）如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【例题2】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【巩固练习2】（25-26高二下·上海·期中）某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若点是的中点，求三棱锥体积的最大值． 【巩固练习3】（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 【类型2】平行的存在性问题（确定点的位置） 我们经常会遇到这样一类问题：在棱AD上是否存在点N，使MN∥平面 PAB?类似这一类确定点位置的问题，在线面平行类问题中，我们经常会通过证明面面平行来解决问题。 1假设存在满足条件的点或直线 2利用线面平行或面面平行的性质列条件方程 3求解点的位置或参数验证条件是否成立 典型例题 【例题1】（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【例题2】（25-26高一下·山东济南·期中）如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【巩固练习2】（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【巩固练习3】（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【类型3】平行的存在性问题（确定动点轨迹） 1分析动点的运动约束条件 2利用平行关系确定动点的轨迹形状如直线平面 3结合几何体的边界确定轨迹的范围 典型例题 【例题1】（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【例题2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 【巩固练习2】（2027高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在正方形内，若，∥平面，则的最小值是________． 【巩固练习3】（25-26高三上·河南新乡·期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，，且． (1)求三棱锥的体积； (2)已知点在侧面及其边界上运动，若平面，求点的轨迹长度． 【类型4】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面） 1找几何体中平行的棱或面 2作平行线或延长线确定截面与几何体各棱的交点 3连接交点补全截面图形 4利用平行关系判断截面的形状如平行四边形梯形 常见正方体截面 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江·期中）已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正方体的棱长为2，为的中点，为上靠近的四等分点，则过点，，的平面截该正方体得到的截面图形的周长为______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【巩固练习2】（25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【巩固练习3】（2025·湖南永州·模拟预测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 垂直的应用 【类型1】垂直的存在性问题（确定点的位置） 1假设存在满足条件的点或直线 2利用线面垂直或面面垂直的性质列条件方程 3求解点的位置或参数验证条件是否成立 典型例题 【例题1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【例题2】（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【巩固练习2】（24-25高一上·陕西渭南·月考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点． (1)求证：； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论． 【巩固练习3】（24-25高二上·青海海东·期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，． (1)求证： 平面； (2)求点C到平面的距离； (3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由． 【类型2】垂直的存在性问题（确定动点轨迹） 1分析动点的运动约束条件 2利用垂直关系确定动点的轨迹形状如圆球面 3结合几何体的边界确定轨迹的范围 典型例题 【例题1】（24-25高二上·辽宁·月考）正方体的棱长为1，点P是内不包括边界的动点，若，则线段AP长度的最小值为___________. 【例题2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·宁夏银川·三模）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【巩固练习2】（2026·山西太原·二模）（多选）已知在棱长为1的正方体中，为侧面内一点（包含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则的最大值为 B．若点在线段上，则的最小值为 C．存在点，使得点和点到平面的距离相等 D．三棱锥外接球的体积的最小值是 【巩固练习3】（25-26高三下·云南·月考）已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且，则的轨迹长度为________． 【类型3】利用垂直关系求体积/距离 1利用线面垂直或面面垂直找到几何体的高 2确定底面面积代入体积公式计算 3利用面面垂直的性质构造高简化计算 典型例题 【例题1】（2026·河北石家庄·三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一下·黑龙江·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【巩固练习2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 【巩固练习3】（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（    ） A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）已知直线a，b，平面，，且，，，a，b共面，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C．直线与内的任意直线均异面 D．a，b，l交于一点或互相平行 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（   ） A．若，，且，则与为异面直线 B．若，，且，则 C．若，，且，则与为异面直线 D．若，，且，则 4．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（    ） A．直线与直线异面 B．过三点的平面截正方体所得的截面的面积为 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．存在点，使得直线平面 5．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（    ） A．五边形， B．六边形， C．五边形， D．六边形， 二、多选题 7．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 8．（25-26高二下·浙江杭州·期中）在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．平面平面 D．平面平面 9．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 10．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线 平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 11．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒·期中）如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 四、解答题 12．（25-26高一下·山东泰安·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 13．（25-26高二上·河北张家口·期中）如图，在正四棱柱中，，E为的中点，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面BDE的距离． 14．（25-26高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M为PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)求三棱锥的体积. 15．（25-26高一下·黑龙江·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 16．（25-26高一下·安徽六安·期中）如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17．（25-26高一下·广东梅州·期中）如图，在四棱锥中， 分别是的中点，， . (1)求证 平面； (2)若 平面，求的值； (3)作出平面与平面的交线，并说明理由. 18．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 19．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O. (1)求的长度 (2)求正四棱锥的表面积和体积； (3)设平面平面，求证：； 20．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形. (1)当时， （i）求证：； （ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面； (2)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值. $