新知预览2 空间向量的数量积运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

三-0022 含一数学) 温故而知新，可以为师矣。 新知预览2空间向量的数量积运算 完成日期： 月 日 ★[学习目标]：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量 的意义.3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题 知识梳理—一自学教材，素养奠基 1.空间向量的夹角 (3)性质 垂直 若a,b是非零向量，则a⊥b台 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点 向 同向：a·b=|a·|b 定义 O,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量 共线 量 反向：a·b=-a|·|b a,b的夹角 的 a·a= =|a|2 质 模 |al=√a·a 记法 (a,b） |a·b≤|a·|bl 9为a,b的夹角，则cos0=ab a·b 通常规定：0≤(a,b》≤π，当(a,b〉= 角 范围 时，a⊥b 3.投影向量 (1)向量a在向量b上的投影：先 将向量a与向量b平移到同 2.空间向量的数量积 /o 一平面a内，如图①，向量c 图① (1)定义：已知两个非零向量a,b,则|a|b 称为向量a在向量b上的投影向量， cos(a,b〉叫做a,b的数量积，记作 (2)向量a在直线1上的投影： 如图②，向量c称为向量aa .即a·b= 在直线l上的投影向量. 图② (2)运算律 (3)向量a在平面3上的投 影如图③，分别由向量a ①结合律：(a)·b= 的起点A和终点B作平 --a A'a'B ②交换律：a·b= 面3的垂线，垂足分别为 图③ ③分配律：a·(b+c)= A',B,得到向量A'B',则向量A'B(a) 称为向量a在平面B上的投影向量， 典例探究—一探究学习，素养形成 ◆[题型一] 空间向量的数量积运算 (4)BF.CE. 例1如图所示，已知空 间四边形ABCD的每 条边和对角线长都等 于1，点E,F分别是 AB,AD的中点，计算： B (1)EF·BA; (2)EF·BD; (3)EF·DC; 5 快乐假期 S00= 规律方法空间向量运算的两种方法 规律方法 利用空间向量解决垂直 (1)利用定义：利用a·b=|a|bcos 问题的方法 (a,b)并结合运算律进行计算. (1)证明线线垂直的关键是确定直线 (2)利用图形：计算两个向量的数量积， 的方向向量，看方向向量的数量积 是否为0来判断两直线是否垂直. 可先将各向量移到同一顶点，利用 (2)证明与空间向量a,b,c有关的向 图形寻找夹角，再代入数量积公式 量m,n垂直应先用向量a,b,c表 进行运算， 示向量m,n,再求解向量m,n的 [变式训练] 数量积并判断是否为0. 1.已知长方体ABCD-AB,C1D1中，AB [变式训练] =AA1=2,AD=4,E为侧面AA,B,B的 2.如图所示，在正方体 D 中心，F为AD1的中点.求下列向量的 ABCD-AB,C1D1中， A 数量积. O为AC与BD的交点， G为CC的中点，求证： D (1)BC·ED1;(2)BF·AB1· AOL平面GBD. ◆[题型二] 利用数量积证明垂直问题 ◆[题型三]利用数量积解决空间角问题 例2如图所示，在四棱锥 例3如图，在正方体 P一ABCD中，底面AB ABCD- ABC D CD为平行四边形， 中，求BC,与AC夹角的 ∠DAB=60°，AB=2AD,PD⊥底面 大小. D ABCD.求证：PA⊥BD. 规律方法利用数量积求异面直线 所成角的方法步骤：①根据题设条件 在两异面直线上取两个向量；②将求 异面直线所成角转化为求向量的夹角 问题；③利用数量积求角的大小. 46 三022 富一教学 [变式训练] 规律方法求解距离问题时，先选择 3.已知空间四边形OABC中，OB=OC, 以两点为端点的向量，将此向量表示为 ∠A0B=∠A0C=于，则cosA,BC的 几个向量和的形式，求出这几个已知向 量的两两之间的夹角以及它们的模，利用 值为 公式al=√aa求解即可. c-号 D.0 [变式训练] ◆[题型四]利用数量积求线段长度 4.如图，已知一个60° 例4如图，正三棱柱（底面是 C 的二面角的棱上有 正三角形的直三棱柱)ABC 两点A,B,AC,BD 一A1B1C1的各棱长都为2， 分别是在这两个面 B E,F分别是AB,AC1的中 内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC 点，求EF的长. =6,BD=8,求CD的长. 检测评价——诊断落实，素养达标 一、选择题 4.已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°， 1.下列各命题中，假命题的个数为( 其模均为1，则|a一b+2c等于( ①Ja·a=a; A.5 B.6 C.5 D.6 ②m(λa)·b=(m入)a·b(m,λ∈R); ③a·(b+c)=(b+c)·a; 5.已知a,b是异面直线，且a⊥b,e1,e2分别为 ④a2b=ba(a,b不共线). 取自直线a,b上的单位向量，且m=2e+ A.1 B.2 C.3 D.4 3e2,n=e1一4e2,mLn,则实数k的值为 2.如图，在三棱锥A-BCD 中，DA,DB,DC两两垂 A.-6 B.6 C.3 D.-3 直，且DB=DC,E为BC 6.(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA1 的中点，则AE·BC等于 平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD, A.0 B.1 C.2 D.3 则下列各组向量中，数量积为零的是 3.在正方体ABCD-A'B'CD'中，〈A'B, ( B'D)= A.PC与BD B.DA与PB A.30° B.60 C.90° D.120° C.PD与AB D.PA与CD 飞曼快乐假期 7.(多选)在正方体ABCD一A1B1C1D,中， 12.如图，在直三棱柱ABC 下列结论正确的是 ( ) 一 A'B'C'中，AC=BC A.四边形ABC,D,的面积为1 ABIIBC I =AA',∠ACB=90°， B.AD,与A,B的夹角为60 D,E分别为AB,BB 的中点。 C.(AA1+A1D1+AB1)2=3A1B, (1)求证：CE⊥A'D; D.AC·(A1B1-A1D1)=0 (2)求异面直线CE与AC'所成角的余 二、填空题 弦值 8.如图所示，空间四边形 ABCD中每条边和对角 线长都为a,点E,F分 别是AB,AD的中点， 则EF.CB 9.已知e1,2是夹角为60°的两个单位向 量，则a=e1十e2与b=e1一2e2的夹角是 10.如图所示，在棱长 为2的正方体AB B CD -AB CD G 中，O为AC与BD D 的交点，G为CC1 B 的中点，则A,O在 AC上的投影向量的模为 ;DG 在平面ABCD内的投影向量的模为 三、解答题 11.如图，在空间四边形 0 O-ABC中，OB= OC,AB=AC,求证： OA⊥BC. 48三022 富一数学 新知预览2 :A0-A+A0-AA+之+A=+之a+之b, 知识梳理 1.受2.1a·acoa,b(2)R(a.b)ba BD=AD-AB-b-a. a·b+a·c(3)a·b=0 lallalcos(a,a) OG-0C+CG-(AB+AD)+7CC-+- 典例探究 [例1)[解萨.i=2成.脐=励·所 2c, Ad.Bi=(e+a+2）(b-a)=c…b-ca ·c0sBD.BA)=号X1X1·c0s60=子 +4+2-6a=6-)=6 1 所以EF,BA= 2-la')=0. (2)萨，励=励，ò=1·励·0 于是A1O⊥BD,即A,OLBD. 同理可证A,OLOG,即A,O⊥OG. 励.励=合×1X1os0=子 文.'OG∩BD=O,OGC平面GBD,BDC平面GBD, 所以.B成=之 .AOL平面GBD. [例3][解]不妨设正方体的棱长为1，则BC·AC= (3)EF DC-BD,DC=BDI,IDCI cox(BD. (BC+CC)·(AB+BC)=(AD+AA)·(AB+AD)= DC=2×1X1·os120=-是 AD·AB+AD+AA,·AB+AA:·AD=0+AD+0 4 +0=AD=1, 所以成.D心=-子： 又：IBC1I=√2，|AC=√2， (4)BF.CE-](BD+BA).(CB+CA) .cos(BCAC)= BC·AC IBC IIACI 2X2=2, =丽(-B心)+BA(-B心+D.CA+BA, (BC,AC∈[0，xJ, CAI C,AC)=吾 =-励.元-Bi.B心+（而-i·Ci+a· 即BC与AC夹角的大小为子 AC的 变式训练 =×(日++) 3.D[0.Bc=0A.(0元-OB)=Oi.0元-OA.OB 变式训练 =IOA1IOC1cos∠AOC-IOA1IOB|cos∠AOB= 1.解：如图所示，设AB=a,AD=b, 之1Oi1·1d-号10i110=0,所以0i1流所以 AA=c, cos(OA,BC)=0.] 则|a=c=2,1b=4, [例4][解]设AB=a,AC-b,AA1=c. a·b=b·c=c·a=0. 由题意，知la=|bl=|c=2, aB元.ED=B.(EA+AD) 且〈a,b〉=60°，(a,c〉=b,c〉=90° =b:【2e-a)+b=b=4华=16 因为EF-EA+AA,+A1E (2)BF·AB,=(BA+A1F)·(AB+AA) =-名店+Ad+号花 =(c-a+2）:(a+c za+zbte, =|c12-1a2=2-22=0. 所以1EF2=E [例2][证明]由底面ABCD为平行四边形，∠DAB= 60°，AB=2AD,知DALBD,则BD·DA=0, -c+6+c+ 由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD, 则BD·PD=0. 又PA=PD+DA, +2+2×()×2×2cos60 所以PA·BD=(PD+DA)·BD=PD.BD+DA.BD =1+1+4-1=5, =0, 所以EF1=√5，即EF=√5. 即PA⊥BD. 变式训练 变式训练 4.解：CA⊥AB,BD⊥AB, 2.证明：设A1B,=a,A1D,=b,A1A=c, (CA,BD》=120°. 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,a=b=|c. :CD=CA+AB+BD,且CA·AB=0,BD·AB=0, 69 人壁快乐假职 S0M= CD=CD·CD=(CA+AB+BD)·(CA+AB+ 7.ACD[由AB⊥平面BB,C,C,得AB⊥BC,.四边形 BD)=CAP+IAB2+|BD2+2CA·BD+2CA· ABC,D,的面积为|AB1·|BCI,故A正确；△ACD AB+2AB.BD=1CA+AB+BD+ 是等边三角形，∠AD1C=60°， 又：AB∥DC,异面直线AD,与AB所成的角为 2CA11BD1 cos(CA,BD》=62+4+8+2×6×8X 60°，但是向量AD,与A1B的夹角为120°，故B错误；由向 (2)68, 量加法的运算法则可以得到AA1十A,D,十A1B,=AC1, ∴.|CD=2√7，故CD的长为2√7 ACi=3A Bi,(AA+A D+A B)=3A B, 检测评价 C正确：易得A1B,-A,D=D,B,:在正方体ABCD 1.A[因为a·a=|a2,所以√a·a=|a,故①正确：m AB,C1D中，DB⊥平面AACC,.DB⊥AC, (a)·b=(ma)·b=maa·b=(m)a·b,故②正确；a AC·D,B,=0,故D正确.] ·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故③ 8.解析：因为点E,F分别是AB,AD的中点， 正确；ab=|ab,ba=ba,故④不一定正确.] 所以EF∥BD,所以EF,CB的夹角为120°， 2.A[:A正·B=2(A店+A)·(D元-Di)=D 所以E成.=E×cos120°=-c. -DA+DC-Di)·(DC-DB)=之(DB-2DA+DC) 答案-70 9.解析：a·b=(e+e2)·(e1-2e2)=ei-e1·e2-2ei=1 ·(Dc-DB)=之Di.Dc-号Di-Di.Dc+Di -1X1×-2=-2 2 ·Di+2D心-2心.D成. lal=√a=√(e,+e)F=√e+2e·e+e 由题意知DB·DC=0,DA·DC=0.DA·DB=0,|DB =√+1+=3， =DCI,..AE.BC=0.] 1b|=√=√(e,-2e)F=√Je-4e,·e,+4e= 3.D[如图，设正方体的棱长为1， A √1-2+4=√5. 则A'B=√2，B'D'=√2， D 3 :A'B·B'D=(A'A+AB)· o=)a治8 (BC+CD)=(AA+AB)· .(a,b>=120 答案：120 (AD-AB)=-1, 10.解析：易知AO在AC上的投影向量为AO,其模为√2. ·.cos〈AB,BD)= 易知DG在平面ABCD内的投影向量为DC,其模为2. A'B.B'D' -1 答案：√22 IA'B·IBDI √2·2 11.证明：因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAC≌ △OAB,所以∠AOC=∠AOB. 又OA.BC=OA.(O元-OB)=OA.O元-OA.OB= .〈AB,BD)=120°.] 1OA1·IOC1cos∠AOC-1OA1·IOB1cos∠AOB=0, 4.C[由题意，得a…b=bc=a…c=2,a=b=c2=1 所以OA⊥BC,即OA LBC. 所以|a-b+2c|=√/(a-b+2c) 12.(1)证明：设CA=a,CB=b,CC=c, 根据题意得a=|b=|c,且a·b=b·c=c·a=0. =√a+b+4c-2a·b+4a·c-4b·c ..CE-b+ze:AD--c+z6-ga. √1+1+4-2x+4x-4x =5.] 5.B[由m⊥n,得m·n=0,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2) 成.i=(b+(+0) =0.所以2k-12=0.所以k=6.] =-+26=0， 6.BCD[因为PA⊥平面ABCD,且 CDC平面ABCD,所以PA⊥CD.故 ∴.CE⊥A'D,即CE⊥A'D. PA·CD=0.因为AD⊥AB,PAL (2)AC=-a+c, AD,且PA∩AB=A,所以AD⊥平 ÷Ac1=2a,ci=51a. 面PAB.因为PBC平面PAB,所以 ADLPB.故DA·PB=0.同理，PD :2.=(-a+e(+2cc=a, ·AB=O.因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所 √10 以PA⊥BD.所以PC·BD=(PA+AC)·BD=PA. ,0话a .号1a 10 BD+AC·BD=AC·BD.因为四边形ABCD为矩形， 所以BD不一定与AC垂直，所以PC与BD的数量积不一 一异面直线CE与AC'所成角的余弦值为 10 定为0.故选BCD,排除A,] 70