假期作业17 事件的相互独立性、频率与概率-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

火壁快乐限阴 (4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共20个样本点，这20个 样本点发生的可能性是相等的 设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包 含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3， 5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个， 所以PA)=号=0.6 (2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（有放 回)，样本空间2={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3 3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共25个样本点，这 25个样本点发生的可能性是相等的. 设事件B为“所选的题不是同一种题型”，则事件B包 含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3， 5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个， 所以P()=是=08 新题快递 1.D[要使a,b,4能够构成钝角三角形，则a,b,4需要满 足a2+b<4或a+4<b或4+b<a2,且能够满足 三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 样本，点的总数是36，结合上述条件可知，当a=1时，均 不符合要求，有0种情况； 当a=2时，b=3,5符合要求，有2种情况； 当a=3时，b=2,6符合要求，有2种情况； 当a=4时，b=6符合要求，有1种情况： 当a=5时，b=2符合要求，有1种情况； 当a=6时，b=3,4符合要求，有2种情况 所以能构成钝角三角形的共有8种情况，故所求的概率 2.B[因为事件A,B,C两两互斥，所以P(B)=P(AUB) -PA=是-吉-合，所以PBUC=P)+PC 假期作业17事件的相互独立性、 频率与概率 思维整合室 1.(1)P(A)P(B)2.缩小概率P(A)频率f,(A) 技能提升台素养提升 1.D[事件A与事件B能同时发生，互不影响，A与B既 不互斥，也不对立，但相互独立，门 2.B[因为事件E与F相互独立，由相互独立事件的概率 计算公式，可得： PEF)=P0E·PP)=SX3-S] 3.D[根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得一等奖而 乙没有获得或甲没有获得一等奖而乙获得，则所求概率 是×-)+×-号)意] 4.解析：员工甲答对两题的概率为是×号×子十是×日 111 员工甲琴对三题的为×号×一 11 所以黄工甲获关的桃率P=十子-品 答案品 6 -90M= 5.D[抛掷一枚质地均匀的硬币，有正面朝上和反面朝上 两种可能，桃率均为子，与抛掷次養无关.门 6.AD[A掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率 都是7，故A正确：B“出现1点”是随机事件，故B错误： C概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C错 误；D连续掷3次，每次都出现最大点数6，则三次之和 为18，故D正确.门 7.B[设该校有a名同学，则约有0.4a的学生近视，约有 0.3a的学生每天玩手机超过2h,且每天玩手机超过2h 的学生中的近视的学生人数为：0.3a×0.5=0.15a,所 以有0.7a的学生每天玩手机不超过2h,且其中有0.4a 一0.15a=0.25a的学生近视，所以从每天玩手机不超过 2h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为P 8解析：设袋中的红球有x个，根据题意，得千0.8，解得 x=24,经检验x=24是分式方程的解，所以袋中红球约有 24个. 答案：24 9.AD[设事件A为：“甲投中”，设事件B为：“乙投中”， 这两个事件相互独立，A选项：都投中的概率为P(AB) =P(A)P(B)=0.8·0.9=0.72,故A项对；B选项：至 少一人投中，其对立事件为：两人都未投中，故至少一人 投中的概率为1一P(AB)=1一P(A)P(B)=1一0.2· 0.1=0.98,故B项不对：C选项：至多一人投中的对立事 件为：两人都投中，至多一人投中的概率为1一P(AB)= 0.28,故C错；D选项：恰好有一人投中的概率为P(A)P (B)+P(A)P(B)=0.8·0.1+0.2·0.9=0.26,故 D对， 10.解析：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为号×专 4 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为CX (号)×+（）-器 27 11.解：1)由已知，得25十十10=55·解得{=5， x+30=45, 1y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体 的一个样本量为100的样本，顾客一次购物的结算时间 的平均值可用样本的平均值估计， 其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3X10=1.9(分 100 钟) (2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分 钟的共有15十30十25=70（人），根据频率与概率的关系， 估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率 为品=07 12.解：(1)设“甲答对每一道题”为事件A,“乙答对每一道 题”为事件B,由已知得PA)=号，P(B)=D 则乙连续2次答错的概率为(1一p). 由题意得1一p0)=解得=子或子（会去） 所以乙答对一道题的概率为子 三0022 (2)若甲、乙两人各回答2道题，两人共答对3道题，则 甲只答对一道题、乙2道题全部答对或乙只答对一道 题、甲2道题全部答对. 甲只答对一道题，乙2道题全部答对的概率为2X号× (-2)×()）=是 乙只答对一道题，甲2道题全部答对的概率为2X是× 子×（合）=是 故两人共答对3道题的概率为品十是合所以甲，之 、3 两人各回答2道题，两人共答对3道题的概率为日 新题快递 1.D「由题可知甲、乙投掷一次获得的筹数相应的概率如 下表所示 筹数 2 4 5 6 10 0 5 6 9 1236 18 若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹 分以下四种情况：①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况 发生的栀幸P=日×站点： 5 ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的 11 ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的 极率户=×（辰+）=品： ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹” 或“六筹”，此情况发生的概率P=6 (-)66 故甲孩的桃来P=R+P+R+P,=品+品十 2.ABD[对于AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式 可知AB正确：对于C,三次传输译码为1，则可能是三次 全部译为1，或者有两次译为1，则概率为CB(1一B)2+ (1一B)3,故C错误：对于D,可以采用特值法或者作差法 计算.三次传输方案译为0的概率为Ca(1一a)2十(1一 a)3,单次传输译为0的概率为1一a,而Ca(1一a)2十(1 -a)3-(1一a)=(1-a)a(1-2a)>0,所以D正确.] 第二部分 新知预览1 知识梳理 1.(1)大小方向(2)大小模(3)AB lal AB (4)01相等相反相同相等2.OA+ABOA -0c 3.(1)互相平行或重合共线向量同一个平面a=λb p=xa十3b(2)方向向量 6 高一数癸恐 典例探究 [例1][解析](1)A中，向量a,b平行，则a,b所在的 直线平行或重合：B中，|a=|b只能说明a,b的长度相 等而方向不确定；C中，向量不能比较大小：相等相量是 指方向相同且模相等，故选D. (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等， 不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b 的方向不一定相同：B为真命题，AC与A,C的方向相同， 模也相等，故AC=A,C1;C为真命题，向量的相等满足传 递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为 1,但方向不一定相同，故不一定相等，所以选BC [答案](1)D(2)BC 变式训练 1.解：(1)与向量AB相等的所有向量（除它自身之外）有 A1B1,DC及D1C1共3个. (2)向量AA的相反向量为A1A,B,B,C,C,D,D (3)1AC1=3. [例2][解](1)CB+BA=CA: (2)因为M是BB1的中，点，所以BM 又A=BB所以花+丽+号 AA,=AB+BM=AM. (3)AA AC-CB =CA:CB =BA. 向量CA,AM,BA,如图所示. 变式训练 2.解析：D[A中，A,D,-AA-AB=AD,-AB=BD1 B中，BC+BB,-DC=BC+CD1=BD1:C中，DD -AB+AD=AD+DD,-AB=AD1-AB=BD1:D中， B D:-A A+DD =BD+AA DD BD +AA ≠BD.] [例3][解]法一，M,N分别是AC, BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四 边形， ..MN=MA+AF+FN =+A+成 ① 又：MN=MC+CE+EB+BN =-i+-A求-2. ② ①+②得2MN=CE, ∴CE∥MN,即CE与MN共线， 法二：M,N分别是AC,BF的中点，且四边形ABCD 和ABEF都是平行四边形， “M=A不-AM=号A+)-多A心 =2不店+成-之不店+ =(AF-AD)=号(B花-BC)=2C. M∥CE,即M与CE共线. 变式训练 3.证明：设AB=a,AD=b,AA=C 周为A正=2ED.A下=号F元.假期作业17事件的相互独立 【《思维整合室 1.相互独立事件的定义和性质 (1)定义：对任意两个事件A与B,如果P (AB)= 成立，则称事件A与事 件B相互独立，简称独立. (2)性质：如果A与B相互独立，那么A与 B,A与B,A与B也都相互独立 2.频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏 离概率的幅度会 ,即事件A发 生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发 生的 .我们称频率的这个性质 为频率的稳定性.因此，我们可以用 估计概率P(A). 3.产生随机数的方法：教材中给出了两种 产生随机数的方法：①利用带有PRB功 能的计算器产生随机数；②用计算机软 件产生随机数，比如用Excel软件产生随 机数.我们只要按照它的程序一步一步 执行即可 4.用随机模拟估计概率的步骤 (1)建立概率模型； (2)进行模拟试验，可用计算器或计算机进 行模拟试验； (3)统计试验结果 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]事件的相互独立性 1.(2025·山东潍坊高一期末)抛掷两枚质 地均匀的骰子，设事件A=“第一枚出现 偶数点”，B=“第二枚出现奇数点”，则下 列说法正确的是 () A.A与B互 B.A与B互为对立 C.A与B相等 D.A与B相互独立 2.若事件E与F相互独立，且P(E)=P (F)=,则P(EF)的值等于 ( A.0 B c号 D.3 3 0-= 学然后知不足，教然后知困。 生、频率与概率 完成日期： 月 日 3.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识 竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分 别为号和，甲、乙两人是否获得一等奖 相互独立，则这两个人中恰有一人获得 一等奖的概率为 ) A B号 c D.12 4.(2025·河北沧州高一期末)为了丰富员 工的业余生活，某企业举办了有奖答题 活动，参加活动的员工依次回答三个问 题，不管答对或者答错，三题答完活动结 束.规定每位员工只能参加一次活动，且 至少答对两道题才能获奖.已知员工甲 第一题答对的概率为子，第二题答对的概 率为号，第三题答对的概率为2，假设员 工甲是否答对每一题相互独立，则员工 甲获奖的概率为 ◆[考点二]频率与概率的关系 5.连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，若 前4次出现正面朝上，则第5次出现正面 朝上的概率是 A.0 1 B合 c D.2 6.(多选题)投掷一枚普通的正方体骰子， 四位同学各自发表了以下见解，其中正 确的见解有 A.出现“点数为奇数”的概率等于出现 “点数为偶数”的概率 B.只要连掷6次，一定会“出现1点” C.投掷前默念几次“出现6点”：投掷结 果“出现6点”的可能性就会加大 D.连续投掷3次，出现的点数之和不可 能等于19 7.在6月6日第28个全国“爱眼日”即将到 来之际，教育部印发《关于做好教育系统 2025年全国“爱眼日”宣传教育工作通 知》，呼吁青年学生爱护眼睛，保护视力. 三0022 众所周知，长时间玩手机可能影响视力. 据调查，某校学生大约40%的人近视，而 该校大约有30%的学生每天玩手机超过 2h,这些人的近视率约为50%.现从每 天玩手机不超过2h的学生中任意调查 一名学生，则该名学生近视的概率为 ( D. 8.(2025·湖南怀化高一学科素养测试)在 一个不透明的纸盒中装有6个白球和若 干个红球，这些球除颜色外都相同.每次 从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后 再放回袋中，通过多次重复试验发现摸 出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子 中红球约有 个 ◆[考点三]相互独立事件的综合应用 9.(多选)甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投 中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1， 且两人投篮互不影响，若两人各投篮一 次，则下列结论中正确的是 () A.两人都投中的概率为0.72 B.至少一人投中的概率为0.88 C.至多一人投中的概率为0.26 D.恰好有一人投中的概率为0.26 10.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个 谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜 对的一方获胜，否则本次平局，已知每 次活动中，甲、乙猜对的概率分别为号和 ,且每次活动中甲，乙猜对与否互不影 响，各次活动也互不影响，则一次活动 中，甲获胜的概率为 ,3次活动 中，甲至少获胜2次的概率 为 11.某超市为了解顾客的购物量及结算时 间等信息，安排一名员工随机收集了在 该超市购物的100位顾客的相关数据， 如下表所示. 17件及 一次购物量 14件 5~8件 9~12件13~16件 以上 顾客数（人）》 25 10 结算时间 1.5 2.5 3 (分钟/人)》 39 富一数学塑) 已知这100位顾客中一次购物量超过8 件的顾客占55%. (1)确定x,y的值，并估计顾客一次购 物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不 超过2分钟的概率（将频率视为概率）. 12.(2025·广东湛江高一期末)MATLAB 是一种数学软件，用于数据分析、无线 通信、深度学习、图象处理与计算机视 觉、信号处理、量化金融与风险管理、人 工智能机器人和控制系统等领域，推动 了人类基础教育和基础科学的发展，某 中学举行了MATLAB科普讲座后进行 了问答比赛，已知甲、乙两位同学互不 影响地参加比赛，且每一道题答对与否 互不影响，甲、乙答对每一道题的概率 分别为2与p,乙连续2题答错的概率 为6 火受快乐假期 (1)求乙答对一道题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2道题，求两人 共答对3道题的概率. 新题快递 1.(2025·江西景德镇高一期中)甲和乙两 人进行投壶比赛，一场比赛投中得分情 况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿” 五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算 “四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六 筹”，“依竿”算“十筹”，比赛三场得筹数 最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率 为了，投中“贯耳”的概率为行，投中“散 射”的概率为。，投中“双耳”的概率为立， 投中“依竿”的概率为6，乙的投掷水平 与甲相同，且甲和乙投掷相互独立.若比 赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个 “贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结 束时，甲获胜的概率为 ( A.213 &品 c岛 n器 2.(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内 传输0,1信号，信号的传输相互独立.发 送0时，收到1的概率为a(0<a<1),收 到0的概率为1一α；发送1时，收到0的 0-= 概率为(0<31)，收到1的概率为1 β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传 输.单次传输是指每个信号只发送1次： 三次传输是指每个信号重复发送3次 收到的信号需要译码，译码规则如下：单 次传输时，收到的信号即为译码；三次传 输时，收到的信号中出现次数多的即为译码 (例如，若依次收到1,0,1，则译码为1). A.采用单次传输方案，若依次发送1,0， 1,则依次收到1,0,1的概率为(1一α) (1-3)2 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次 收到1,0,1的概率为(1一B) C.采用三次传输方案，若发送1，则译码 为1的概率为3(1-B)2+(1-3) D.当0<&<0.5时，若发送0，则采用三 次传输方案译码为0的概率大于采用 单次传输方案译码为0的概率 【《益智欢乐谷 陈景润是一个家喻户晓的数学家，在攻 克哥德巴赫猜想方面作出了重大贡献，创立了 著名的“陈氏定理”，所以有许多人亲切地称他 为“数学王子”。但有谁会想到，他的成就源于 一个故事。一天，清华大学教授沈元老师在数 学课上给大家讲了一故事：“200年前有个法 国人发现了一个有趣的现象：6=3十3,8=5十 3,10=5+5,12=5+7,28=5+23,100=11+ 89。每个大于4的偶数都可以表示为两个奇 数之和。因为这个结论没有得到证明，所以还 是一个猜想。大数学家欧拉说过：虽然我不能 证明它，但是我确信这个结论是正确的。它像 一个美丽的光环，在我们不远的前方闪耀着炫 目的光辉。…”陈景润瞪着眼睛，听得入神。 因此，陈景润对这个奇妙问题产生了 浓厚的兴趣。课余时间他最爱到图书馆， 不仅读了中学辅导书，这些大学的数理化 课程教材他也如饥似渴地阅读。因此获得 了“书呆子”的雅号。兴趣是最好的老师。 正是这样的数学故事，引发了陈景润的兴 趣，引发了他的勤奋，从而引发了一位伟大 的数学家。