假期作业11 空间直线、平面的垂直-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

三0022 假期作业11空间直线、可 〈《（思维整合室 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 条直线与 为划 个平面内的 a,bCa a∩b=O ab 理 垂直，则该直线 l⊥a L⊥b 与此平面垂直 性质定 垂直于同一个 平面的两条直 aLa}→a∥b b⊥a 线 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 个平面过另一 个平面的 定则这两个平面互 lCB→a⊥Lβ 1⊥a} 相垂直 两个平面互相垂 性 直，则一个平面内 a⊥3 垂直于 理的直线垂直于另 a∩B=a 个平面 3.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成的 ,叫做这条直线 Q 和这个平面所成的角，如图， 就 是斜线AP与平面α所成的角. 2)线面角0的范围：00,2 【《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]直线与平面垂直的判定与性质 1.直线n⊥平面a,n∥l,直线mCa,则1、m 的位置关系是 () A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 2.给出下列4个命题，其中正确的命题是 ①垂直于同一直线的两条直线平行；② 垂直于同一平面的两条直线平行；③垂 直于同一直线的两平面平行；④垂直于 同一平面的两个平面平行 A.①②B.③④ C.②③ D.①④ 2 富一致学的) 修身、齐家、治国、平天下 z面的垂直 完成日期： 月 日 3.(2024·天津卷)若m,n为两条直线，a为一 个平面，则下列结论中正确的是() A.若m∥a,n∥a,则m⊥n B.若m∥a,n∥a,则m∥n C.若m∥a,n⊥a,则m⊥n D.若m∥a,n⊥a,则m与n相交 ◆[考点二]平面与平面垂直的判定与性质 4.若平面α⊥平面B,平面B⊥平面Y,则() A.a∥y B.a⊥Y C.a与Y相交但不垂直 D.以上都有可能 5.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平 面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.PA垂直于正方形ABCD P 所在平面，连接PB,PC, PD,AC,BD,则下列垂直 关系正确的是 () ①平面PAB⊥平面PAD; ②平面PAB⊥平面PBC; ③平面PAB⊥平面PCD: ④平面PAB⊥平面PAC. A.①②B.①③ C.②③ D.②④ ◆[考点三]空间的角 7.(多选)下列说法中正确的是 ) A.两个相交平面组成的图形叫做二面角 B.异面直线a,b分别和一个二面角的两 个面垂直，则a,b所成的角与这个二 面角相等或互补 C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分 别在两个面内作射线所成角的最小角 D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱 上的位置没有关系 8.(2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC ABG的体积为号，AB=6,AB=2,则 AA,与平面ABC所成角的正切值为() A. B.1 C.2 D.3 9.(2023·全国乙卷（理）)已知△ABC为等腰 直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三 角形，若二面角C一AB一D为150°，则直线 CD与平面ABC所成角的正切值为( ) A. B. 5 C. 5 D. 人壁快乐假期 ◆[考点四]垂直的综合问题 10.(2024·北京卷) 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是边长为 B 4的正方形，PA=PB=4,PC=PD= 2√2，该棱锥的高为 A.1B.2 C.2 D.3 11.已知直三棱柱ABC-A AB1C中，侧面AABB 为正方形，AB=BC=2, E,F分别为AC和CC,的 中点，BF⊥AB. (1)求三棱锥F一EBC 的体积； (2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF ⊥DE. 12.如图，在五面体 ABCDEF中， AB∥CD,BD 01 ⊥BF,平面 ABFE∩平面CDEF=EF,AB=AD= AE=2,BC=2√3，EF=3,∠BAD= ∠DAE-等 (1)证明：EF∥平面ABCD; (2)若点O,G分别为AD,BC的中点， 证明：平面EOGF⊥平面ABCD; 2 0M-= (3)求该五面体的体积. 新题快递 1.（多选)(2025·广西河池 八校高一月考)苏轼是北 宋著名的文学家、书法家、 画家，在诗、词、文、书、画 等方面都有很深的造诣。 《蝶恋花·春景》是苏轼 首描写春景的清新婉丽之作，表达了对 春光流逝的叹息，词的下阕写道：“墙里 秋千墙外道.墙外行人，墙里佳人笑.笑 渐不闻声渐悄，多情却被无情恼.”假如 将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙 外的道路看作直线，那么道路和墙面平 行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直， 秋千绳与墙面平行.在佳人荡秋千的过 程中，下列说法正确的是 A.秋千绳与墙面始终垂直 B.秋千绳与道路始终垂直 C.秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直 2.已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为 1,E,F,G分别是AB,BC,B1C1的中点. 下列命题正确的是 (写出所 有正确命题的编号). ①以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四 个面最多只有三个面是直角三角形； ②P在直线FG上运动时，AP⊥DE; ③Q在直线BC1上运动时，三棱锥A D,QC的体积不变； ④M是正方体的平面A,B,C1D1内到点 D和C,距离相等的点，则M点的轨迹是 一条线段 【《益智欢乐谷 青春里，我们都在摸 索着成长，会被绊倒，会流 五斗，精 泪，会茫然，会想要放弃， 但是我们都能坚持到最 后.尽管我们一路走来跌跌撞撞，但是我们 写下了属于我们的青春励志文章，鼓励着 正在走向未来的自己，也鼓励那些在黑暗 中挣扎的青少年不要轻言放弃，辜负青春飞壁快乐假翻 4 ,上底 3 1 中心到顶点A,的距离为会，所以所求正切值为 3 5=1.] 9.C「取AB的中点E,连接CE, DE,因为△ABC是等腰直角三角 形，且AB为斜边，则有CE⊥AB, 文△ABD是等边三角形，则DEI AB,从而∠CED为二面角C一AB -D的平面角，即∠CED=150°， 显然CE∩DE=E,CE,DEC平面 CDE,于是AB⊥平面CDE,又ABC平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC =CE, 直线CDC平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影 为直线CE, 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB= 2,则CE=1,DE=√3，在△CDE中，由余弦定理得： CD=V√CE+DE-2CE·DEcos∠CED =/1+3-2×1×5× 、 DE CD 由正弦定理sin∠DCE=sn∠CED' 得sin∠DCE=3sinl50°3 √7 2√71 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=√I-sin∠DCE= 3 5 2√7 2万 所以直线CD与平面ABC所成的角的正切位为.] 10.D[四棱锥的底面是边长为4 的正方形，且PA=PB=4,PC A =PD=2√2，如图，设AB,CD E 的中点分别为E,F,则PE⊥B AB,PF⊥CD,连接EF,EF⊥CD,PF⊥CD,EF∩ PF=F,EFC平面PEF,PFC平面PEF,∴CD⊥平面 PEF,又CDC平面ABCD,∴.平面PEF⊥平面ABCD, 且平面PEF∩平面ABCD=EF,过，点P作PO⊥EF于 点O,则PO二平面PEF,则PO⊥平面ABCD.在 △PEF中，由题可求得PE=23,PF=2,EF=4,∴. PE2+PF2=EF,.∠EPF=90°，根据面积相等可得 PO·EF=PE·PF,即4PO=2√3×2，得PO=5.] 11.解：(1)因为AB=BC=2,所以BE⊥AC,又因为是直三 棱锥ABC-A,B1C,不妨设AC=2a, 因为BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,连接AF, E,F分别为AC和CC1的中点，则 AF2=BF+AB* →4a2+1=5+4→a2=2→a=√2 所以BE=/BC一EC2=√2， 所以V=专Sa题·FC=子X号XEX万X1 1 3 60 (2)连接A,E,取BC中点为H,连接A EH,B H, 因为E,H分别为AC,BC的中点，所 以EH∥AB, 又因为AB∥AB,所以AB∥EH, 所以A,EHB,共面， 易知DEC平面A1EHB,, 易知△FCB≌△HBB,,所以BF⊥HB,, 又因为BF⊥A1B1,且A1B1∩HB1=B1,A1B1,HB1 CA EHB, 所以BF⊥平面AEHB,,所以BF⊥DE 12.解：(1)证明：因为AB∥CD,AB丈平面CDEF,CDC平 面CDEF,所以AB∥平面CDEF. 又因为ABC平面ABFE且平面ABFE∩平面CDEF =EF, 所以AB∥EF.又EF寸平面ABCD,ABC平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD. (2)证明：因为AB=AD=2,∠BAD=号，所以△ABD 为正三角形，所以∠ABD=∠ADB=登 又AB/CD,所以∠BDC=子 又BC=2W5,所以在△BCD中，由余弦定理，得BC= BD+CD-2BD·CD·cos∠BDC,即(2√3)=2+ CD2一2CD,解得CD=4或CD=-2(舍去). 因为BD+BC=2+(2√5)=CD=4,所以BD⊥ BC.又BD⊥BF,且BC∩BF=B,BC,BFC平面BCF, 所以BD⊥平面BCF. 又FGC平面BCF,所以BD⊥FG. 因为AD=AE=2,∠DAE=号，所以△ADE为正三 角形， 所以EOLAD. 由梯形的中位线可得OG=AB,CD=3=EF,且OG∥ 2 AB∥CD,所以OG∥EF,所以四边形OEFG为平行四 边形， 所以FG∥EO,所以BD⊥EO. 又BD∩AD=D,BD,ADC平面ABCD,所以EO⊥平 面ABCD. 又EOC平面EOGF,所以平面EOGF⊥平面ABCD. (3)如图，过，点G作直线MN∥ E AD,交AB的延长线于点M, 、D 交CD于点N,连接FM,FN, 0 由(2)知AB∥OG,所以四边形A B AOGM为平行四边形， 所以AM=OG,同理可得DN=OG,所以AM=OG= DN=EF=3. 又AB∥CD,所以AM∥DN, 所以AM∥DN∥EF, 所以多面体MNFADE为三棱柱，过点M作MH⊥ AD于点H,由(2)知EO⊥平面ABCD. 因为EO二平面ADE,所以平面ADE⊥平面ABCD. 因为平面ADE∩平面ABCD=AD,MH二平面AB CD,所以MH⊥平面ADE, 所以线段MH的长即三棱柱MNF-ADE的高，在 △AMH中，MH=AM·sin60°=3，y5, 2 三0022 所以三棱柱MNF-ADE的体积为5X2:×35=g】 2-2 因为G为MN的中点，所以MG=NG,又AM∥CD,所 以∠BMG=∠CNG,又∠BGM=∠CGN,所以△BMG ≌△CVG,所以三棱锥FBMG与F-CNG的体积相等， 所以该五面体的体积为2 9 新题快递 1.CD[如图所示，a为墙面，l为 道路，n为秋千绳，m为秋千板， 由题意，在荡秋千的过程中，秋 千绳与墙面始终平行，但与道 路所成的角在变化，则秋千绳 与道路的位置关系在发生变 化，而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直.] 2.解析：以三棱锥A,-ABC为例（如图(1）)，则此三棱锥的 4个面均为直角三角形，故①错误： (1) E (2) ,FG∥DD,过点F、D1、G的截面为矩形FGD1D :FG⊥DE,DE⊥AF,FG∩AF=F,FG,AFC平面 AFG,.DE⊥平面AFG,当P在直线FG上运动时，AP 二平面AFG, DE⊥AP,故②正确； 当Q在直线BC1上运动时，△AD1Q的面积为定值（如 图(2))，C到平面AD,Q的距离为定值，∴.AD,QC的体 积是定值，故③正确： 连接DC,则DC,⊥平面ABCD,,,M的轨迹是线段 A,D,故④正确. 答案：②③④ 假期作业12随机抽样 思维整合室 1.全面调查2.一部分个体3.(1)放回的概率不放 回的 概率(2)抽签法随机数法(3)，总体平均值样本平 均值 4.(1)子总体属于且仅属于层比例 技能提升台素养提升 1.B[在抽样过程中，个体A每一次被抽中的概率是相等 的，因为总容量为21，故个体A“第一次被抽到”的可能 性与“第二次被抽到”的可能性均为引] 2.BC 3.C[从随机数表第2行第9列的数开始，每次从左向右 选取两个数字，去掉超过45和重复的号码，选取的前3 个号码依次为32,37,27，故选取的第三个号码为27.] 4.解析：平均每条鲢鱼的质量为 20×1.6+10×2.2十10×1.8=1.8(kg).因为鲢鱼的成 20+10+10 活率约为80%， 所以成活的鲢鱼的总数约为2500×80%=2000（条）， 所以鱼塘中鲢鱼的总质量约为2000×1.8=3600(kg). 答案：3600 6 高一数学 5.C [依题意，被抽检的小卷纱线有20000× 240 2000+8000+20000 =160(卷).] 6。A[利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是相同的， 故所求的桃率为200+号980+4000] 900 7.解析：从甲班抽取的5名学生的总时间为6十6.5十7十 7.5+8=35(h),从乙班抽取的7名学生的总时间为6+ 7+8+9+10+11+12=63(h),从丙班抽取的8名学生 的总时间为3十4.5+6+7.5+9+10.5+12+13.5=66 ,5计中智6-品-82即这个学校高一年线 -20 生一周的平均锻炼时间约为8.2h, 答案：8.2 8,解析：根指题意可知，#本中参与地步的人数为20X号 =120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人 3 数为120×2+3+5=36. 答案：12036 9.ACD[A项明显正确.计算样本中5名男生成绩的平 均数，=号×(86+91+88+92+90)=90：5名女生咸 绮的平均数x=5×(88+93+93+88+93)=91,可 见样本中5名男生成绩的平均数小于5名女生成绩的平 均数，据此估计该班男生成绩的平均数小于该班女生成 绩的平均数，C正确，B错误.可以计算10个样本的平均 数，据此估计总体的平均数，故D正确.] 10.C[高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1 200.900.900. 现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本， 则样本中高一、高二、高三年级参赛选手的人数比为 4；3：3, 高一、高二年级参赛选手成绩的样本平均数分别为 85,90,全校参赛选手成绩的样本平均数为88， 设高三年级参赛选手成绩的样本平均数为a, 则4X85+36X90+3kX0=88. 4k十3k十3k 解得a=90. ∴.高三年级参赛选手成绩的样本平均数为90.] 11.解：(1)因为身体状况会因年龄而有差异，所以要抽取 40人调查身体状况，应采用按年龄用比例分配的分层 随机抽样方法，从老年人中抽取40X2000三4（人），从 中年人中抽取40X,600。三12（人），从青年人中抽取40 ×号8器-=24人 (2)要开一个25人的座谈会来讨论单位发展与薪资调 整方面的规划，应采用按部门用比例分配的分层随机 抽样方法， 从管理部抽取25X2000三2（人），从技术开发事抽取 320 25X2000三4（人），从营销部抽取25X2,080三6（人） 从生产部抽取25X200013(人，