假期作业10 空间直线、平面的平行-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

飞壁快乐假期 新题快递 1.ABD[如图，在正方体ABCD D C AB1CD中， 若a是平面ABCD,A1B1为m,AB 为n,此时m与n平行，故A正确： 若a是平面ABCD,AD1为m,AB 为n,此时m⊥n,且m与n异面，故 B,D正确；若m∥a,则m与平面a B 无交，点，又nCa,则m与n无交，点，即m不可能与n相交， 故C错误.] 2.D[连接AD,则AD1∥EF,连 接FD,,则平面AEF截正方体所 得截面多边形为梯形AD,FE, :正方体棱长为2，故AD1= 2√2，EF=√2， 又AE=D1F=√22+1F=√5， ∴，等腰梯形AD,FE的高为 /(5)2- 3 2 梯形ADEE的面积为=2+22×3=号，门 2 假期作业10空间直线、 平面的平行 思维整合室 1.(1)平行(2)相等或互补 2.这个平面内交线3.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.A[五棱台中，AB∥AB1,∴.四边形AA1BB是梯形， 武-8器PG∥A而PGt年西AIDE.ABG 平面ABCDE..FG∥平面ABCDE.] 3.A[对于①，若m∥n,则n∥a或n∥B,正确；对于②，若 m⊥n,当nCa或nCB时，结论不一定成立，错误；对于 ③，若n∥a且n∥B,根据线面平行的性质知，m∥n,正 确，对于④，若n与a,B所成的角相等，m与n不一定垂 直，错误.] 4.解析：如图，连接AC交BD于 点O,连接CN交BM于点G, 连接OG. 由AN∥平面BDM,平面ANC ∩平面BDM=OG,ANC平面 D ANC,可得AN∥OG,:OA= OC,.CG=NG,.G为CN的 A 中点. 作HN∥BM交PC于点H,.CM=HM. 又，PM:MC=4:1,.PH:HM=3:1, :.PN:NB=PH:HM=3 1. 答案：3：1 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,3∩Y=b,且a∥b,则a,B可能相交、 平行，错误；B:若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥a,a ∥B,b∥B,由面面平行的判定可得a∥B,正确：C:若a∥ a,b∥B,且a∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aC a,a∥B,a∩B=b,由线面平行的性质定理得a∥b,正确.] 7.B[对于A选项，若平面ABC∥ 平面DEF,BCC平面ABC,则BC ∥平面DEF,由题图可知BC与平 面DEF相交，故平面ABC与平面 DEF不平行，A不满足题意； E 对于B选项，如图①所示，连接VG, H 因为A,C分别为PN,PG的中，点， D 所以AC∥NG, 图① 在正方体EHDG-MFNP中，FN∥EG且FN=EG,故 四边形EFNG为平行四边形，所以NG∥EF,所以AC∥ EF,因为AC中平面DEF,EFC平面DEF,所以AC∥平 面DEF, 同理可证BC∥平面DEF,因为 AC,BCC平面ABC,AC∩BC=C, 所以平面ABC∥平面DEF,B满 足题意； 对于C选项，如图②所示， 在正方体PHDG-MNFE中，若平H 面ABC∥平面DEF,且平面DEF D ∥平面MNHP, 图② 则平面ABC∥平面MNHP,但这 与平面ABC与平面MNHP相交矛盾， 因此平面ABC与平面DEF不平行，C不满足题意； 对于D选项，在正方体PDHG- FNEM中，连接PH,PM,MH,如 N 图③所示， 因为DH∥FM且DH=FM,所以 四边形DHMF为平行四边形，所 以DF∥MH, 因为DF丈平面PHM,MHC平面 H PHM,所以DF∥平面PHM, 图③ 同理可证EF∥平面PHM,因为DF∩EF=F,DF,EF C平面DEF,所以平面DEF∥平面PHM, 若平面ABC∥平面DEF,则平面ABC∥平面PHM, 这与平面ABC与平面PHM相交矛盾，故平面ABC与 平面DEF不平行，D不满足题意.门 8解析：由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱 柱知：平面AA1D1D∥平面BB,C1C,平面ABCD∥平面 ABC1D::正方体的侧棱相互平行，∴AA∥BB1∥ CC1,∴.CC1∥平面BDD,B,AA1∥平面BDDB· 答案：平面BB,CC;平面ABCD:AA1,CC 9.D[如图，任取线段AB上一点M,过 A M作MH∥AA,交AB于H,过H作 HG∥AC交BC于G,过G作CC的平行 线，与CB,一定有交点V,连接MN, 可证平面MNGH∥平面ACC1A 所以MN∥平面ACC1A1,则这样的 MN有无数条.] 10.解析：连接HN,FH,FN,则FH∥DD,,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B1BDD,,只需M∈FH,则MN C平面FHN,∴.MN∥平面B,BDD. 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 11.证明：(1)因为M,N分别是CD,CB 的中点， 所以MN∥BD.文因为BBDD1, 所以四边形BB,D,D是平行四边形， 所以BD∥BD1, 从而MN∥B,D. 三0022. (2)连接A,C1,交BD于点O,连接OE. 因为四边形ABCD1为平行四边形，则O点是AC 的中点.因为E是AA,的中点，所以EO是△AAC的 中位线，所以EO∥AC. 又AC,中平面EB,D1,EOC平面EB,D, 所以AC1∥平面EB,D, (3)连接GH,因为EALB,H,则四边形EAHB,是平 行四边形，所以EB,∥AH.因为ADHG,则四边形 ADGH是平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG. 又因为BB,LDD,,所以四边形BB,D,D是平行四边形， 所以BD∥B,D.因为BD∩DG=D, 所以平面EB1D1∥平面BDG. 12.证明：(1)取B1D1的中点O1,连接 COA O ABCD-A1B1C1D1是四棱柱， ..A OOC, ∴四边形AOCO1为平行四边形， .AO∥OC. 又OCC平面B1CD1,AO寸平面B,CD1,∴.A1O∥平 面BCD1· (2)BB1LAA1LDD,.四边形BB,D1D是平行四 边形，.BD∥BD, 又BD中平面B,CD1,B,D1C平面B1CD1,.BD∥平 面BCD1 由(1)得A,O∥平面B,CD,且BD∩AO=O,BD,A,O C平面ABD, ∴.平面ABD∥平面B1CD1. (3)由(2)得平面A,BD∥平面B,CD, 又平面ABD∩平面ABCD=BD,平面B,CD1∩平面 ABCD=I,.BD∥L. 新题快递 1.解析：(1)由平面与平面平行的判定可知，若平面α内有 两条相交直线分别平行于平面3，则α∥B,故(1)错误； (2)由平面与平面平行的定义可知，若平面。内任意一条 直线与平面B平行，则a∥B,故(2)正确； (3)当平面外的一条直线与平面相交时，过已知平面外一条 直线，不能作出一个平面与已知平面平行，故(3)错误； (4)不重合的平面a,B,Y,若a∥y,B∥y,由平面与平面平 行的传递性可得a∥B,故(4)正确， 答案：(2)(4) 2.(1)证明：如图，连接NT,MT,AD1, 因为侧面ADDA为正方形，M为 A1D的中点，所以M为AD1的中 点.因为N,T分别是线段CD1,CD 的中点，所以MN∥AC,NT∥DD, 因为ACC平面A,ACC,,MN中平面 A1ACC,所以MN∥平面A1ACC1. 因为DD1∥AA,所以NT∥AA1. 因为NT∥AA1,AA1C平面A,ACC1,NT中平面 A1ACC,所以NT∥平面A1ACC1. 因为NT∩MN=N,NT,MNC平面MNT,所以平面 MNT∥平面A,ACC. (2)解：如图，过点M作AD的垂线， 垂足为P,过，点N作DC的垂线，垂 足为Q,连接PQ,由正方体的性质可 知MP∥AA1,NQ∥DD,,AA∥ M DD,则MP∥NQ,则MP,NQ可确 定平面MNQP. 富一数学登) 因为MP∥AA1,AA,C平面A1ACC,MP寸平面 AACC1,所以MP∥平面A1ACC. 又MN∥平面A,ACC,,MP∩MN=M,MP,MNC平面 MNQP,所以平面MNQP∥平面A,ACC1, 因为平面MNQP∩平面ABCD=PQ,平面A,ACC,∩平 面ABCD=AC,所以PQ∥AC. 设PD=x,0<x<2,则QD=x,MP=x,又正方体的棱 长为2，则NQ=QC=2-x. 在四边形MNQP中，MP∥NQ,MP⊥PQ,PQ=√2x,则 MN=(NQ-MPy+PQ=6x-8x+4=6(e-号)】 3 则自=号时，线段MN长度的小值为2写 假期作业11空间直线、 平面的垂直 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线交线3.(1)锐角∠PAO 技能提升台素养提升 1.D 2.C[对于①，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或 异面，故①错误；对于②，垂直于同一平面的两条直线平 行，故②正确：对于③，垂直于同一直线的两个平面平 行，故③正确；对于④，垂直于同一平面的两个平面平行 或相交，故④错误.] 3.C[对于A,B,若m∥a,n∥a,则m与n可能平行、相交 或异面，故A,B错误；对于C,D,若m∥a,nLa,则m⊥ n,且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误.] 4.D 5.A[过点A作AH⊥BD于，点H(图略)，由平面ABD⊥ 平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平 面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形.] 6.A[,PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,∴.PA⊥ BC.又正方形ABCD中，BC⊥AB,PA∩AB=A,PA, ABC平面PAB,∴.BC⊥平面PAB,BCC平面PBC, ∴.平面PAB⊥平面PBC,②正确： 同理AD⊥平面PAB,ADC平面PAD,.平面PAD⊥ 平面PAB,①正确； 设平面PAB∩平面PCD=I,:AB∥CD,ABC平面 PAB,CD￠平面PAB,CD∥平面PAB,CD∥1. CD⊥平面PAD,∴l⊥平面PAD,P为垂足，∠APD 为二面角A-1-D的平面角，若平面PAB⊥平面PCD,则 AP⊥PD,在Rt△PAD中不可能存在AP⊥PD,③错 误.：，AB⊥PA,AC⊥PA,.∠BAC为二面角B一PA 一C的平面角，若平面PAB⊥平面PAC,则AB⊥AC,在 Rt△ABC中不可能存在AB⊥AC,④错误.] 7.BD[对于A,显然混淆了平面与半平面的概念，故A错 误；对于B,因为a,b分别垂直于二面角的两个面，所以也垂 直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角， 所以与这个二面角相等或互补，故B正确：对于C,因为所作 射线不一定垂直于棱，故C错误；由定义知D正确.] 8.B[设棱台高为h,且三条侧棱延长后交于一点O,则由 已知得AB=3A1B1, 则0到上底的距高为合，0到下底的距离为号，又 Se=9V5,SA,9,=5, 9快乐假期 假期作业10 空间直线 《思维整合室 1.(1)基本事实4：平行于同一条直线的两 条直线互相 (2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角 2.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 平面外一条直线 与 的 因为1∥ 判定定 一条直线平行，则 a,aCa,l 该直线与此平面 中&，所以 平行（线线平行→ l∥aα 线面平行) 一条直线与一个 平面平行，则过这 条直线的任一平 因为1∥ 性 面与此平面的 a.ICB,a 与该直 a ∩3=b, 线平行（简记为 所以1∥b “线面平行→线线 平行”) 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面内的两 条 因为a∥B,b 判 与另一个平面平 -a ∥B, P 行，则这两个平面 a∩b=P, 理 平行（简记为“线 /B aCa.bCa. 面平行→面面平 所以a∥3 行”) 如果两个平行平 因为a∥B,a 面同时和第三个 质 ∩y=a, 平面 ,那 理 B0y=6, 么它们的 所以a∥b 平行 S00M-= 图即刻扫码 平面的平行 A伴学助手 新知预习宝典 《技能提升台 素养提升 ◆「考点一] 直线与平面平行的判定与 性质 1.设AB,BC,CD是不在同一平面内的三 条线段，则经过它们的中点的平面和直 线AC的位置关系是 ( A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.AC在此平面内 2.在五棱台ABCDE-A1B1C1DE1中，F,G 分别是AA,和BB上的点，且 S则FG与平面ACDE的位骨关 系是 A.平行 B.相交 C.FGC平面ABCDE D.无法判断 3.(2024·全国甲卷（理）)设a,3为两个平 面，m,n为两条直线，且a∩3=m.下述四 个命题： ①若m∥n,则n∥a或n∥3；②若m⊥n, 则n⊥a或n⊥3；③若n∥a且n∥3，则m ∥n;④若n与a,3所成的角相等，则m⊥ n.其中所有真命题的编号是 A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 4.如图，四棱锥P-AB CD的底面ABCD 是平行四边形，M,N 分别为线段PC,PB 上一点，若PM:MC =4:1,且AN∥平面BDM,则PN: NB= 20 三022 ◆[考点二]平面与平面平行的判定与 性质 5.平面α内有不共线的三点到平面3的距 离相等且不为零，则α与3的位置关系为 ( A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能重合 6.(多选)已知a,b表示两条直线，a,3,y表 示三个不重合的平面，给出下列命题，正 确的是 ( A.若a∩y=a,3∩y=b,且a∥b,则a∥g B.若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥ a,a∥B,b∥B,则a∥3 C.若a∥a,b∥B,且a∥b,则a∥3 D.若aCa,a∥B,a∩B=b,则a∥b 7.(2025·浙江温州高一月考)下列四个正 方体中，A,B,C分别为其所在棱的中点， D,E,F为正方体的三个顶点，则能得出 平面ABC∥平面DEF的是 E D 8.如图，在正方体ABCD D -ABCD1中，与平面 A AA,D1D平行的平面 D 是 ;与平面 A1BC1D1平行的平面 是 ,与平面BDD1B1平行的 棱有 ◆[考点三]平行的综合问题 9.如图，在棱长均为1的正 A 三棱柱ABCA1B,C 中，M,N分别为线段 A1B,BC上的动点，且 MN∥平面ACC,A,则 这样的MN有() A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 10.(答案不唯一型)如图所 D 示，在正四棱柱ABCD-A, G ABCD中，E,F,G,H 分别是棱CC1,CD, DD,DC的中点，N是 BC的中点，点M在四边 形EFGH及其内部运动，则M只需满 足条件 时，就有MN∥平面 BBDD,.(注：请填上你认为正确的一个 条件即可，不必考虑全部可能情况) 11.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， E,M,N,G,H分别是 AA,CD,CB,CC, D BB1的中点，求证： (1)MN∥B,D1; (2)AC1∥平面EB1D1; (3)平面EB1D1∥平面BDG. 受味乐慨期 12.由四棱柱ABCD- A,B,C,D1截去三 棱锥C,-B,CD1后 得到的几何体如图 所示，四边形ABCDB 为平行四边形，O为AC与BD的交点， (1)求证：A,O∥平面B,CD1: (2)求证：平面ABD∥平面B,CD,; (3)设平面B,CD,与底面ABCD的交 线为l,求证：BD∥l. 新题快递 1.给出下列命题： (1)若平面α内有两条直线分别平行于平 面3，则a∥3； (2)若平面α内任意一条直线与平面B平 行，则a∥； (3)过已知平面外一条直线，必能作出一 个平面与已知平面平行； (4)不重合的平面a,B,Y,若a∥Y,3∥Y, 则有a∥g. 其中正确的命题是 .(填写序号) 000= 2.在正方体ABCD D A1B,CD1中，面对角 线AD,CD,上各有一 个动点M,N(不包含 端点)，使得直线MN ∥平面AACC. (1)当M,N为对角线A,D,CD1的中 点，T为CD的中点时，证明：平面MNT ∥平面A1ACC; (2)当正方体的棱长为2时，求线段MN 长度的最小值 【《益智欢乐谷 1.不要向这个世界 认输，因为你还有牛逼 的梦想！ 2.即使梦想不能实 现，我们也不会放弃 努力！ 3.所有的伤害只会让我变强，用更强 大的自己守护我的梦想！ 4.我若不努力，那谁来替我完成梦想！ 22