假期作业8 简单几何体的表面积与体积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

空快乐假明 假期作业8简单几何体的 表面积与体积 思维整合室 1.2xrl xrl x(r+r:)l 2.Sa·A合S·A4R 技能提升台素养提升 1.C2.C 3.A[依题意，圆柱的母线长1=2πr,故S剑=(2πr)2= 4x2r2=4x2.] 4.B[由题意，侧面积相等，则圆锥的母线长是圆柱高的2 倍，即25，故其底面半径为3，所以圆维的体积为号×元 ×3×5=3√3元.故选择：B.] 5.A[由题意得，该饰品的表面积为6个边长为√2cm 的正方形与8个边长为√2cm的正三角形的面积之 和，则该饰品的表面积S=6X(W2)+8×3×(W2) 4 =(12+4√3)(cm).] 6.AC[如图，由∠APB= 120°，AP=2可知，底面直径 AB=2√3，高PO=1,故该圆 锥的体积为π，故A对；该圆A 锥的侧面积为2√3π，故B错； 连接CB,取AC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面角P 一AC一O的平面角为∠PQO=45°，所以QO=PO=1, PQ=√2，所以BC=2,所以AC=2√2，故C对；SAPe= 号AC.PQ=2,故D错.] 7.A[由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长1=2，高h =√-R2=√22-1'=√3， 五圆象的终机为V=言R=号] 8.B[如图，分别过M,C作 D MM'⊥PA,CC'⊥PA,垂足 分别为M,C.过B作BB'⊥ 平面PAC,垂足为B',连接 PB',过N作NN'⊥PB,垂 足为N' A 因为BB⊥平面PAC,BB'C平面PBB, 所以平面PBB'⊥平面PAC. 又因为平面PBB'∩平面PAC=PB',NN'⊥PB',NN C平面PBB',所以NN'⊥平面PAC, 且BB∥NN. 在△PCC'中，因为MM⊥PA,CC'⊥PA, 所以MM∥CC',所以P=MM=1 PC CC 3 在△PB中，周为Bm∥NV,所以器-器=号， 所以V-AMN Vx-3SAAw:NN VP-ABC VB-PAC 名5ae·5B 子×（合PA·MM·Nw 号×（合PA·CC）·BB' 5 0M-= 9.B[在△AOB中，∠AOB= 120°，而OA=0B=√3，取 AB中点C,连接OC,PC,有 OC⊥AB,PC⊥AB,如图， ∠AB0=30,0C= 9AB =2BC=3,由△PAB的面积 为9，得吉X3×C =93 4 解得PC=3 2, 于是PO=√PC-OC √ =6、 所以圆锥的体积V= 了xX0AXP0=号xX)X,6 =6元.] 10.解析：由题意知 √32-122'V= 3(r1-r)=6 2√2(r1-r2) 4 答案9 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交 AD延长线于E,则所求几何体的体积 D 可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一 周所得的圆台的体积，减去△EDC绕 A B DE旋转一周所得的圆锥的体积，所以所求几何体的体 积V=Va。-Vg=子xX(6+5X2+2)X4- 1 3 ×2×2=148 3元. 12.解：如图所示，作出轴截面，O是球心， 与边BC,AC相切于点D,E.连接 AD,OE, 因为△ABC是正三角形，所以CD 合4c 因为R1△AOE/R△ACD.片以焉-是 因为CD=1cm,所以AC=2cm,AD=√3cm, 设OE=r,则AO=3-r,所以”=1 3-,2 所以= 3 cm, x) 4 3 27元（cm),即球的体积等 9m 新题快递 1.C[如图将正方体还原可得如下图形： 、1 ×1×2X2三名，V4BS巴=2=8，所以孩几何体的 体v=8--号=] 三0022 2.解析：因为∠AOC=∠BOD= D C 3,所以∠DOC=元-2X子=A∠今 M B 3 亭，设园0的半径为R,又 D S8w=子×吾R=6x,解得R =6(负值舍去). 如图，过点C作CE⊥AB交AB于点E, 过点D作DF⊥AB交AB于点F,则 CE=0csin音-36,0E=0cos吾- 3,所以AE=R一OE=3,同理可得DFDY =3√3，OF=BF=3. 将扇形DOC绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个 半径R=6的球中上下截去两个相同的球冠所剩余部分 再挖去两个相同的圆锥，其中球冠的高h=3,圆锥的高 h1=3,底面半径r=3√3，则其中一个球冠的表面积S1 =2πRh=2πX6X3=36π，球的表面积S2=4πR=4π× 6=144π，圆锥的侧面积S,=3√3×6π=18√3x,所以所 求几何体的表面积S=S2-2S,+2S,=144π-2×36π 十2×18W3π=72π+36√3π 答案：72r十36√3π 假期作业9空间点、直线、平面 之间的位置关象 思维整合室 1.两点不在一条直线上有且只有一条 2.平行相交任何3.10无数0无数 技能提升台素养提升 1.D 2.B[对选项A:经过直线与直线外一点有且只有一个平 面，故A不满足题意.对选项B:对边相等的四边形，对 边有可能异面，不能确定一个平面，比如对边相等的空 间四边形，故B满足题意，对选项C:经过两条相交直线 有且只有一个平面，故C不满足题意，对选项D:经过两 条平行直线有且只有一个平面，故D不满足题意，] 3.D[对于A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直 线两两都相交，比如棱柱中共点的三条棱，所在直线就 不共面，也不能确定一个平面，故A、B错；对于C,若三 条直线相互平行，其中两条可以确定一个平面，另一条 可以与已知平面平行，故C错误；对于D,一条直线与两 条平行直线都相交，这三条直线能确定一个平面.门 4解析：当一个点在平面一侧，另三个点在平面另一侧时， 这种平面有4个；当平面两侧各有两个点时，这种平面有 3个.故共有7个 答案：7 5.C[由于a∥b,a,c异面，此时，b和c可能相交，也即共 面，如图所示b与c相交：b和c也可能异面，如图所示b 与c异面.综上所述，b与c不可能是平行直线.] 0 0 b' 0 0 0 6.CD[AM与C1C异面，故A错；AM与BN异面，故 B错.易知C、D正确.门 5 高一学 7.AC[根据正方体的展开图画出还原 C(E) 的正方体如图所示. 可以得到HG∥CD,CD与EF相交， EF与AB异面，GH与AB相交.] D 8.解析：①中HG∥MN;⑤中GM∥HNB 且GM≠HN,所以直线HG与MN必 相交 答案：②④ 9.C[取BC的中，点为E,连接DE,AE(图略)，则DE ∥PB, 所以∠ADE为AD与PB所成的角（或其补角）. 设正四面体的棱长为2a, 则DE=a,AD=√3a,AE=√3a, 所以在△ADE中，cos∠ADE=Ba)+a-(WEa) 2X√3a·a 10.A[连接AD,,D,M(图略).，AB=C,D,,AB ∥CD1, '.四边形ABC1D为平行四边形，则AD1∥BC,则 ∠D,AM(或其补角)为异面直线AM与BC所成的 角.设正方体的棱长为2，则AD1=2√2，AM=D1M =5, os∠D,AM=22+-6=,即异 2×2W2×W5 5 面直线AM与BC所成角的余弦值是√四， 11.D[如图，取棱AP的中点为 F,连接EF,BF.因为E为PC 的中点，所以EF∥AC,EF= 多c 所以异面直线BE与AC所成角 为∠BEF(或其补角). 不妨设正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2， 则BE=BF=E,EF=AC=E, 所以cOS∠BEF= 12.解：(1)6条棱中，PC,AB成异面 直线，PB,AC成异面直线，PA,BC 成异面直线，共3对.(2)如图，取 AB的中点Z,连接MZ,NZ,因为C M是PB中，点，Z是AB中点， 所以Mz∥PA,MZ=PA=2. 同里.NZ/BC.NZ=2BC=3. 所以异面直线PA与BC所成角为∠MZN(或其补 角)， 在△MZN中，由余弦定理可得cos∠MZN= 2十3一尘三，故异面直线PA与BC所成角的金 2×2×3 费位为子火快乐限 0M-= 假期作业8简单几何体的表面积与体积 绳锯木断，水滴石穿。 完成日期： 月」 日 《思维整合室 2.已知△AC是面积为°的等边三角形， 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 公式 且其顶点都在球O的球面上.若球O的表 面积为16π，则O到平面ABC的距离为 圆柱 圆锥 圆台 ( 面 A.3 B C.1 图 3.若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是 侧 一个正方形，则这个圆柱的侧面积是 面 S圆柱侧 S锥= S圆台侧 ( 公式 A.4π2 B.3π2 C.2π2 D.π2 2.空间几何体的表面积与体积公式 4.(2024·新课标I卷)已知圆柱和圆锥的 底面半径相等，侧面积相等，且它们的高 名称 表面积 体积 均为√，则圆锥的体积为 几何体 () A.23π B.3√3元 S表面积一 柱体（棱柱和圆柱） S侧十2S底 C.65π D.9√3π 5.水晶是一种石英结晶体 S表面积= 矿物，因其硬度、色泽、 锥体（棱锥和圆锥） V= S侧十S底 光学性质、稀缺性等，常 被人们制作成饰品.如 v=号 图所示，现有棱长为2cm的正方体水晶 S表面积= 台体（棱台和圆台） S侧十S上十S下 (S上+S下+ 一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨 √S上S下)h 成饰品，则该饰品的表面积为() A.(12+4√3)cm2 B.(16+4√5)cm 球 V- 3R3 C.(12+3√3)cm2 D.(16+3√3)cm 《技能提升台 6.(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥 素养提升 的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面 直径，∠APB=120°，PA=2,点C在底 ◆[考点一] 空间几何体的表面积与侧 面圆周上，且二面角PACO为45°，则 面积 () 1.如图所示，圆锥的底面半 A.该圆锥的体积为π 径为1，高为3，则该圆锥 的表面积为 B.该圆锥的侧面积为4√3π ) A.元 B.2π C.AC=2√2 C.3π D.4π D.△PAC的面积为√3 16 三0022 高一数学 ◆[考点二]空间几何体的体积 12.轴截面是正三角形的圆锥内有一个内 7.(2025·八省联考)底面直径和母线长均 切球，若圆锥的底面半径为1cm,求球 为2的圆锥的体积为 ( 的体积. B.元 C.2π D.3π 8.(2023·天津卷)在三棱锥P一ABC中， 线段PC上的点M满足PM=}PC,线 段PB上的点V满足PV= PB,则三莜 锥P-AMN和三棱锥P一ABC的体积 之比为 ( A.号 R号 c n 新题快递 1.如图是一个棱长为2的正 9.(2023·全国乙卷（理）)已知圆锥PO的 方体被过棱AB1、AD, 底面半径为√3，O为底面圆心，PA,PB为圆 的中点M、V,顶点A和过 点N顶点D、C1的两个截 锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积 面截去两个角后所得的几何体，则该几 等于9⑤ 9,则该圆锥的体积为 何体的体积为 A.5 B.6 C.7 D.8 A.π B.√6π C.3π D.3√6π 2.球面被平面所截得 10.(2024·全国甲卷（理）)已知圆台甲、乙 的一部分叫做球冠， 的上底面半径均为r,下底面半径均为 截得的圆叫做球冠 2,圆台的母线长分别为2(r2一r1),3 的底，垂直于截面的 图① 图② (r2一r1),则圆台甲与乙的体积之比为 直径被截得的一段 叫做球冠的高.球被平面截下的一部分 叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于 11.如图，在四边形AB 截面的直径被截下的线段长叫做球缺的 CD中，∠DAB=90°，D 高，球缺是旋转体，可以看作是球冠和其 ∠ADC=135°，AB= 底所在的圆面所围成的几何体.如图①， 5,CD=22,AD=2, 一个球面的半径为R,球冠的高是h,球冠 求四边形ABCD绕AD旋转一周所成 的表面积公式是S=2πRh.如图②，已知C, 几何体的体积. D是以AB为直径的圆上的两点，∠AOC= ∠BOD-否，Sm=6x,则扇形COD绕直 线AB旋转一周形成的几何体的表面积为 《益智欢乐谷 今天做数学题.十个人排队，甲不能站 中间，不能站两端，还得和乙挨着，还得和 丙隔两个人，还得站丁后面.经过激烈的讨 论，大家一致认为，让甲滚… 17