假期作业7 基本立体图形及立体图的直观图-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

受快乐假期 假期作业7基本立体图形及立 《思维整合室 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 有两个面 ,其余各面都 棱柱 是四边形且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都 是有一个 的三角形 底面的平面所截， 棱台 棱锥被 截面和底面之间的部分叫做棱台 (2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 矩形一边所在的直线或 圆柱 矩形 对边中点连线所在直线 直角边在的直线 直角三角形或 圆锥 等腰三角形 或等腰三角形底边上 的高所在直线 直角腰所在的直线或 圆台 直角梯形或 等腰梯形上下底中点 等腰梯形 连线所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则：①原图形中x轴、y轴、之轴两两垂 直，直观图中，x轴，y轴的夹角为 ,z轴与x'轴和y'轴所在平面垂直。 ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图 中仍平行于坐标轴.平行于x轴和之轴的 线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y轴的线段长度在直观图中 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]空间几何体的结构特征 1.观察如图所示的四个几何体，其中判断 不正确的是 A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台 000-= 吾生也有涯，而知也无涯。 体图的直观图 完成日期： 月 2.下列说法中，正确的是 ( A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱 的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 3.(多选题)下列命题正确的是 ) A.过球面上任意两点只能作一个经过球 心的圆 B.球的任意两个经过球心的圆的交点的 连线是球的直径 C.用不过球心的截面截球，球心和截面 圆心的连线垂直于截面 D.球的半径是球面上任意一点和球心的 连线段 4.我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今 有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，缠木 三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为圆 木长3丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的 底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部 与圆木平齐，问葛藤最少长（注：1丈约等于 10尺) A.37尺B.39尺C.41尺D.43尺 ◆[考点二]空间几何体的直观图 5.（多选)下列关于直观图的斜二测画法的 说法，正确的是 A.原图形中平行于x轴的线段，其对应 线段平行于x轴，长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段，其对应 线段平行于y轴，长度变为原来的。 C.画与直角坐标系xOy对应的x'O'y 时，∠xO'y'必须是45 D.在画直观图时，由于选的轴不同，所得 直观图可能不同 6.用斜二测画法作一个边长为2的正方 形，则其直观图的面积为 A② C.4 D.√2 4 B.2 7.如图所示，矩形OA'B'C y 是水平放置的一个平面 D 8 图形的直观图，其中O A'=3,OC′=1，则原图 /0 形是 A.面积为6√2的矩形 B面积为3是的矩形 C.面积为6√2的菱形 D面积为的菱形 三0022 8.在直观图（如图）中，四边 y' 形为OA'B'C'菱形且边 长为2cm,则在xOy坐 标系中，四边形ABCO 周长为 /0' cm, A 面积为 ◆[考点三]几何体的有关计算 9.中国有悠久的金石文化，印信是金石文 化的代表之一.印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员 独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 ①).半正多面体是由两种或两种以上的 正多边形围成的多面体.半正多面体体 现了数学的对称美.图②是一个棱数为 48的半正多面体，它的所有顶点都在同 一个正方体的表面上，且此正方体的棱 长为1，则该半正多面体共有面的个数及 棱长分别为 图① 图② A.26,√2-1 B.24,2-√2 C.26,2-√2 D.24,2-1 10.圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则 其侧面展开图扇形的圆心角= 11.圆台的一个底面周长是另一个底面周 长的3倍，轴截面的面积等于392cm, 母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的 高、母线长和两底面半径 富一数学 12.长方体ABCD-AB,C1D D (如图所示)中，AB=3,BCA, B =4,AA=5,现有一甲壳 F 虫从A出发沿长方体表 面爬行到C,来获取食 D 物，试画出它的最短爬行 路线，并求其路程的最小值. 新题快递 1.(多选)某工厂生产出 0 B 一种机械零件，如图所 示，零件的几何结构为 圆台O1O2,在轴截面 C{- 0 ABCD中，AB=AD=BC=4cm,CD= 2AB,则下列说法正确的有 A.该圆台的高为√3cm B.该圆台轴截面面积为24cm C.该圆台轴截面面积为12√3cm D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬 行到AD的中点，所经过的最短路程 为10cm 2.棱台的上下底面面积分别为4和9，则这 个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的 比是 【《益智欢乐谷 某学生本科读的重 大，硕士读的浙大，博士读 的北大，毕业证上校长栏 统统盖的林建华的章. 找工作的时候，面试 官：“同学，造假也要专业一 ,点，你就不能多刻几个章？” (林建华先后任重大、浙大、北大的校长) 5900- 2.解：(1)在△DOE中，由余弦定理得： 10.解析：(5+i)·(5-2i)=5十√5i-2√5i+2-7-√5i. ED2=OD+OE2-2OD·OE·cos∠EOD=4+1-2X 答案：7-√5i 2×c0s0=5-4cos0, 11.解：设x=a十bi(a,b∈R),由z=1十3i-x, 在△COE中，由余弦定理得： EC2=OC+OE-2·OC·OE·cos∠EOC= 得√a+6-1-3i+a+i=0, 4+1-2×2×c0s(π-0)=5+4c0s0, 则V云+6+a-1=0,所以a。-4, 所以EC+ED=√/5+4cos0+5-4cos0=f(0),0∈ b-3=0, 1b=3, [0,π]， 所以之=一4十3i. .将管道总长（即线段EC+ED)表示为变量日的函 则1+D3+4D=2i3+4 数为： 2(-4+3i) f(0)=√5+4cos0+√5-4cos0,0∈[0，π]， _2(-4+3i)3+4D=3+4i. 2(-4+3i) (2)由(1)可得： 12.解：(1)设z=a十bi(a,b∈R), [f(0)]=(√5+4cos0+√5-4cos0)2 由已知条件得：a2+b=2,2=a2-b+2ai,所以2ab=2. =10+2W5+4cos0·√W5-4cos0=10+ 所以a=b=1或a=b=-1,即x=1十i或=-1-i, 2√25-16cos0, (2)当之=1十i时，22=(1+i)2=2i,之一x2=1-i,所以 因为，0∈[0，π]，所以0≤cos20≤1， 点A(1,1),B(0,2),C(1,-1), [f(0]2=10+2√/25-16c0s20≤10+2√/25=20（百 所以5aw=名ACX1=2×2×1=1: 米) 当x=-1-i时，z2=(-1-i)2=2i,x-之2=-1-3i. 当且仅当os0=0,即0=受时取等号， 所以，点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△AB 因为f(0)=√5+4cos0+√5-4cos0>0,∴.f(0)= =ACX1=号×2X1=1.即△ABC的面积为1. √20=25（百米）. 新题快递 .管道总长的最大值为25百米. 1.AC [z=r(cos 0+isin 0),r (cos 20+isin 20), 假期作业6复数 =r2(cos 20+isin 20)=2,=r(cos 0+isin 02 思维整合室 =产，所以A正确：当=1,0=琴时，父 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d 3 (4)a=cb=-d (5)zl la+bil 3.(1)(a+c)+(b+ (cos号+iin登)=cosx十isin=-1,所以B错误： d)i (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i actbd c2+d2 bca:(2)十名之1+(x2+） 是马所以C正角：音=1,0=于时-0臣 4 4 c2+d2 技能提升台素养提升 1.C[x=√(-1)+(-1)=2.] 当n为偶数时，设n=2k,k∈Z, 2.C[由题意：2-4il=√22+(-4)=2V5.] 则=os经+isin经∈Z, 8D[名a29D-1+i 2(1+i) 所以当为奇数时，”为纯虚数，当及为偶数时，”为实 数，所以D错误.] .|=√2,2=2i,之的共轭复数为1一i,之的虚部为1， 故A,C错，B,D正确.] 2AC[对于A,当8-a=0时==一品∈R,故 4.A[由题知(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3=6+8i,所以 正确；对于B,当b一4ac<0时，则x1= 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限.] 5.D[由题意(x十yi)+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2yi= 二b-i+c,6=-bib+a,则斯正K. 2a 3+24i,所以)3解得14，所以x十y x2任R,且元≠x2,故错误；对于C,由一元二次方程根与系 5.] 数的关系可得西十西=一会函西=后，故正确：对于D. a 6.BCD[若x1>2,则1，心2为实数，当心1=1,2=一2 时，满足>之2，但之1<x2,故C项不正确；因为两个 （G一)=二c,故错误.] a 虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正 假期作业7基本立体图形及 确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1一1 立体图的直观图 ≠1十i,但1一i=|1十i,所以B项不正确；因为当两个 复数相等时，模一定相等，所以A项正确.] 思维整合室 7.C[由题知=1十iD(之-1)，=1中=1-i.故选 1.互相平行公共顶点平行于 2.(2)45°（或135）变为原来的一半 择：C.] 技能提升台素养提升 8.A[因为x=5+i,所以=5-i,故i(②+z)=10i.] 1.B2.C 9.C[÷=-1-i,则x=i(-1-iD=-i-=1-i] 3.BCD[当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆， 故A错；B正确；C正确；根据球的半径的定义可知D正确.] 54 三0022 4.A[由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图D 11.解：圆台的轴截面题图所示，设圆台 所示，AC即为葛藤的最短长度，一条直角边长 上、下底面半径分别为xcm,3x (即圆木的高)为3×10十5=35（尺），另一条直 cm,延长AA,交OO的延长线于 角边长为3×4=12（尺），故葛藤长为 S,在Rt△SOA中，∠ASO=45°，则 ∠SA0=45°， √/35+12=37（尺）.] 所以S0=AO=3x,S01=A1O1=x,所以O01=2x. A 5.ABD[由直观图的画法规则，可知A,B,D正 确，C中∠x'Oy'可以是45°或135°，故C错误.] 又5A=号(6x+2）·2x=392,所以x=7. 6.D[根据斜二测画法的原则可知OC 所以圆台的高OO)1=14(cm),母线长1=√2OO1= =2,OA=1, 14√2(cm), 所以对应直观图的面积为S=2 .1 B 两底面半径分别为7cm,21cm. 2 0 12.解：把长方体的部分面展开，如图所示. 0A×0CXm45=2X号×1X2x号 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC的长分 2 别为√90、√74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲 =2.] 壳虫可以先在长方形ABB1A,内由A到E,再在长方 7.C[由题知∠D'O'A'=45°，0 形BCC,B1内由E到C1,也可以先在长方形AA,DD C'=CD'=1,所以OD'=√2， C D 内由A到F,再在长方形DCC,D1内由F到C,,其最 短路程为74. 故在原图形中，OD=2√2，CD= CD'=1,OC=√OD+CD= 8+1=3,OA=OA'=3,所以 0 四边形OABC为菱形（如图所 示)，则原图形面积S=OA·OD=6√2.] 8.解析：在直观图中，四边形为OA'B'C菱形且边长为 新题快递 2 cm, 1.CD[如图①，作BE⊥CD交CD于E,易得CE= .由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形AB CDAB-=2(cm),则BE=0,0,=√-2=25(cm), CO是矩形， 2 其中OA=2cm,OC=4cm, 则该圆台的高为2√3cm,A错误；圆台的轴截面面积为 .四边形ABCO的周长为：2×(2+4)=12(cm), 号×(4+8)X2=12(em)B错误.C正扇：将国 面积为S=2×4=8(cm2). 台的一半侧面展开，如图②，设P为AD的中点，由圆台 补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形 COD,可得大圆锥的母线长为8cm,底面半径为4cm, 圆维侧面展开图的圆心角为9=2红X4=元，连接CP,可 8 得∠COP=,OC=8cm,OP=4+2=6(cm),则CP √6+8=10(cm),所以沿着该圆台侧面从点C到AD 答案：128 的中点的最短路程为10cm,故D正确.] B 9.八[可以将该半正多面体分为三 0 0 A… 层，上层8个面，中层8个面，下层 8个面，上下底各1个面，所以共有 8+8+8+1+1=26个面. D 设半正多面体的棱长为a,作出该 几何体的截面如图，截面图为正八 G 图① 图② 边形， 2.解析：不妨设原棱锥为四棱锥， 由图可得CD=22,CE=a: 设棱台的高为h,截得棱台的原棱 锥的高为h,, 因为△CDE为等腰直角三角形，所以CE=√2CD,即a= 如图所示，即MN=h,PN=h 因为四边形ABCD与四边形EF xl2. GH相似， 且上下底面面积分别为4和9，故 解得a= 1=√2-1，所以该半正多面体的棱长为√2 EM 2 w2+1 AN=3· -1.] 由△PEM△PAN, 10.解析：圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则它的侧 面展开图扇形的圆心角所对的孤长为2πX1=2π(cm); 别然号然会1-号日 PN AN 3'PN h 所以扇形的圆心角为0==元 2 这个校台的高和裁得棱台的原棱雏的高的比为3， 答案：π 答案： 55