假期作业6 复数-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

900-= 2.解：(1)在△DOE中，由余弦定理得： 10.解析：(5+i)·(W5-2i)=5+√5i-2√5i+2=7-√5i. ED=OD+OE-2OD·OE·cos∠EOD=4+1-2X 答案：7-√5i 2X cos 0=5-4cos 0, 11.解：设x=a十bi(a,b∈R),由z=1+3i-心， 在△COE中，由余弦定理得： EC2=OC2+OE-2·OC·OE·cos∠EOC= 得√a+6-1-3i+a+bi=0, 4+1-2×2Xcos(x-8)=5+4cos0, 则{√a+6+a-1=0,所以a=一4， 所以EC+ED=√5+4cos0+√5-4cos0=f(0),0∈ b-3=0, 1b=3, [0,x], 所以之=一4十3i. ·.将管道总长（即线段EC十ED)表示为变量日的函 则1+)(3+4D-2i(3+4D 数为： 2× 2(-4+3i) f(8)=√5+4cos6+√5-4cos6,9∈[0，x], =2(-4+3)3+4D=3+4. 2(-4+3i) (2)由(1)可得： 12.解：(1)设x=a十bi(a,b∈R), [f(0)]=(√5+4cos6+√5-4cos0) 由已知条件得：a2+b=2,x=a2-b+2abi,所以2ab=2. =10+2√5+4cos6·√5-4cos0=10+ 所以a=b=1或a=b=-1,即x=1十i或x=-1-i 2√25-16c0s0, (2)当=1+i时，2=(1+i)2=2i,x-g2=1-i,所以 因为，0∈[0，π]，所以0≤cos≤1， 点A(1,1),B(0,2),C(1,-1), [f(0)]=10+2√/25-16cos0≤10+2√25=20（百 所以Sa=合ACX1=合×2X1=1: 米) 当g=-1-i时，2=(-1-iD2=2i,g-g2=-1-3i 当且仅当c0s0=0,即0=受时取等号， 所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC 因为f(8)=√5+4cos日+√5-4cos6>0,∴.f(0)= -合1ACX1=号×2X1=1.即△ABC的面积为1. √20=2W5(百米). 新题快递 .管道总长的最大值为25百米 1.AC [=r(cos 0+isin 0),=r(cos 20+isin 20), 假期作业6复数 =Ir2 (cos 20+isin 20)=r2,=Ir(cos 0+isin 0)2 思维整合室 =户，所以A正确；当r=1,0=受时，2= 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d (4)a=c且b=-d(5)lx|a+bi3.(1)(a+c)+(b+ (cos吾+isin晋)=cosx+-isin=-1,所以B错误， d)i (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i ac+bd c2+d2 bc-ad 名得.所以C王：当=1,9=受时9=as贸十 c2+d i(2)十11+(8十) 技能提升台素养提升 isin 1.C[|x=√（-1)+(-1)2=√2.] 当n为偶数时，设n=2k,k∈Z, 2.C[由题意：2-4il=√2+(-4)=25.] 则=os经+n受，k∈乙， D=名=29D=1+i, 2(1+i) 所以当为奇数时，之”为纯虚数，当飞为偶数时，之”为实 数，所以D错误.] .|x=√2，x=2i,≈的共軛复数为1一i,的虚部为1. 故A,C错，B,D正确.门 2.AC[对于A,查6-ac=0时，=，=一名∈R,故 4.A[由题知(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3=6+8i,所以 正确；对于B,当b一4ac<0时，则x1= 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限.] 5.D[由题意(x+yiD+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2yi= 二-i+@匹，%=-bi+@匹，则西ER, 2a 2a 3计8一所以气海错-1y以+ 2华R,且x1≠x2,故错误；对于C,由一元二次方程根与系 5.] 餐的关系可得，十西=一台西=合故正确：对子D a 6.BCD[若1>2，则必1,2为实数，当名1=1，心2=-2 时，满足之1>2，但之1<之2，故C项不正确；因为两个 （G一尸_6-4c,故错误] 虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正 假期作业7基本立体图形及 确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1一i 立体图的直观图 ≠1十i,但1一i=|1+i,所以B项不正确；因为当两个 复数相等时，模一定相等，所以A项正确.] 思维整合室 7.C[由题知=(1+i)(区-1)，=1+i-1-i故选 1.互相平行公共顶点平行于 2.(2)45°（或135）变为原来的一半 择：C.] 技能提升台素养提升 8.A[因为x=5+i,所以=5-i,故i(g+)=10i] 1.B2.C 9.C[芹=-1-i,则x=i(-1-i)=-i-=1-i.] 3.BCD[当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆， 故A错：B正确：C正确：根据球的半径的定义可知D正确.]快乐假期 图即刻扫码 假期作业6复数 AI伴学助手 又答案速查手册 同步学习微 了新知预习宝典 《思维整合室 ③乘法：z1·x2=(a+bi)·(c十di) 1.复数的有关概念 ； (1)复数的定义 国除法：三=a十i (a+bi)(c-di) c+di (c+di)(c-di) 形如a十bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中实 (c+di≠0). 部是 虚部是 (2)复数加法的运算律 (2)复数的分类 复数的加法满足交换律、结合律，即对 复数之=a十bi(a,b∈R) 任何x1,22,之∈C,有之1十2= 「实数(b 0), （x1十之2)十z3= 纯虚数(a 0,b 0) 《技能提升台 虚数(b 0) 非纯虚数(a≠0，b≠0). 素养提升 (3)复数相等 ◆[考点一]复数的概念及其几何意义 a+bi=c+di台 (a,b,c,d∈R). 1.(2024·新课标Ⅱ卷，1)已知之=一1一i, (4)共轭复数 则之= ( a+bi与c+di共轭台 (a,b, A.0 B.1 C.√2 D.2 c,d∈R). 2.(2025·八省联考)2-4i= ( (5)复数的模 A.2 B.4 C.25 D.6 向量OZ的模叫做复数x=a十i的模，记 2 3.(多选题)下面是关于复数：=产的四 作或 ,即|x|=|a+bi|=r 个命题，其中真命题为 ( =√a+b(r≥0，a、b∈R). A.|zx|=2 2.复数的几何意义 B.2=2i (1)复数之=a+bi 一对应复平面内的 C.之的共轭复数为一1+i D.之的虚部为1 点Z(a,b)(a,b∈R) 4.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1+ 3i)(3-i)对应的点位于 ( (2)复数x=a+bi(a,b∈R) 一一对应，平面 A.第一象限 B.第二象限 向量0z. C.第三象限 D.第四象限 3.复数的运算 5.已知i为虚数单位，x,y为实数，若(x十 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 yi)+2=(3-4i)+2yi,则x+y=() A.2 B.3 C.4 D.5 设1=a+bi,x2=c+di(a,b,c,d∈ 6.(多选)已知之1，之2为复数，则下列说法不 R),则 正确的是 ①加法：之1+z2=(a+bi)+（c+di) A.若之1=之2，则之1=|x2 B.若x1≠x2,则之1≠|之2 ②减法：之1-2=(a十bi)-(c十di) C.若1>2，则1之1>之2 D.若|x1>|z2,则之1>2 12 三0022 高一数学》 ◆[考点二]复数的代数运算 (2)设之，之2，之一z2在复平面内对应的点 7.(2024·新课标I卷)若产=1+i,则 分别为A,B,C,求△ABC的面积. 之= ( A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 8.(2024·全国甲卷（理）)若z=5+i,则i(之+ x)= () A.10i B.2i C.10 D.2 9.(2024·北京卷)若复数：满足兰=-1- i,则之= ( 新题快递 A.-1-i B.-1+i 1.（多选)任何一个复数x=a+bi(其中a,b C.1-i D.1+i ∈R,i为虚数单位)都可以表示成之=r (cos0+isin0)的形式，通常称之为复数z 10.(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：对 数(W5+i)·(√5-2)= 于z=r(cos0+isin0),z”=[r(cos0+ 11.已知复数满足|之|=1+3i一x,求 isin 0)]"=r"(cos ne+isin ne)(nEN*), 1+i)2(3+4)的值. 我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以 23 上信息，下列说法正确的是 () A.1z21=|z2 B.当r=1,0=5时=1 c当=1.0-时=} D.当r=1,0=不时，若n为偶数，则复数 之”为纯虚数 2.(多选)对于实系数一元二次方程ax2+ bx十c=0(a,b,c∈R),在复数范围内的 解是x1,x2,下列结论中正确的是() A.若b2-4ac=0,则x1,x2∈R且x1 二x2 B.若-4ac<0,则x1R,2在R,且x1 =x2 C.一定有x1十x2= a=c D.一定有(x1-)2=1b-4acl a 〈《益智欢乐谷 世上没有坐享其成的好事，要幸福就 12.已知复数之满足|x|=√2，z2的虚部 要奋斗！ 为2. 幸福是奋斗出来的，不是等出来的！ (1)求复数x; 向着目标，我们一起努力吧！ 13