假期作业5 余弦定理、正弦定理的应用-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

火快乐假期 因为sin Asin B≠0，所以sinA=sinB "cos B cos A' 12.解：(1)2 【snA+osA=2, 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B, 所以A=B或A十B=受，故△ABC为等腰三角形或直角三 sim(A+号)1： A为三角形ABC的内角， 角形.] 8.C[设AB=x,根据余弦定理BC =AC+AB2-2AC·AB· (2).2bsin C=csin 2B, cos∠BAC, ,sin Bsin C≠0， 已知BC=8,AC=10,cos∠BAC= .2sin Bsin C=sin Csin 2B=2sin Csin Bcos B, 吾代入可得： E=2cosB,cosB=E】 2 8=10+x2-2X10×x× 5 即x2-12.x十36=0，解得x=6, a b sin A sin B sin C' 由于BC+AB2=64+36=100=AC,则△ABC为直角三 2=五 角形， 1 656=22c=6+, 则5=2×6×8=24.] 21 2 4 .△ABC的周长为2+√6+3√2. 9.解析：由S6x=子acin B,得后=子acsin60,即厅 新题快递 1.D,AB=3,AC=4,BC=5,满足3+4=5， 3 ac,得ac=4,所以a2+c2=3ac=12, ∠BAC=90,故cos∠ABC=号， 则由余弦定理，得6=a2+c2-2accs60°=12-2×4X :AD是∠BAC的角手分线肥-是-是BD 号-8，所以6=2 ×5=只 答案：2√瓦 在△ABD中，由余弦定理AD=AB2十BD一2AB· 10.解析：由已知及余孩定理可得c0sA=AB+AC-BC BD·cos∠ABD, 2AB·AC 安是设中线长为，商会孩定理得 得AD=3+ (停) -2x8×与×号-器。 (9)+AB-2,S.AB·osA=+9-2X4 解得AD= 2E或者AD= 7 122(含去).门 7 2 2.ABD[在△ABC中，若a>b,则根据正弦定理可得sinA X9X号=9，即x=7.所以AC边上的中线长为7 >sinB,选项A正确；由sinA>sinB及正弦定理得a> b,则A>B,选项B正确；若sinA>cosB,即cos 答案：7 1山.解：)由余弦定理可得：osC=。+6一c_巨 (受-A）>sB,当osB<0,os(径-A>0时， 2ab 2 △ABC为钝角三角形，选项C错误；若△ABC为锐角三 因为C∈(0，x,所以C=于，所以eoB-=sinC= √2 角形，则A+B>受 2' 即asB=子 则有受>A>艺-B>0, 因为B∈(0，π)，所以B= 又正孩画数在(0，受)上单调递增， 3 所以sinA> (2)由)可得A=云-B-C=多x,设△ABC外接目的 m(受-B）即s血A>osB,选项D正确.】 假期作业5余孩定理、 半径为R, 正孩定理的应用 由正弦定理可得：mA=sin B-sin C=2R,所以b= 思维整合室 √3R,c=√2R,sinA=sin(B+C) 1.解三角形3.(2)2 besin A合-casin B -sin Bcos C+cos Bsin C 技能提升台素养提升 4 1.C2.B 所以Sar=合esin A=·5R·ER.6+E 3.A[如图所示，线段AC表示塔身，线段 1 AB为塔在地面上的投影，CB⊥AB,所以在 3+√3，解得R=2, R△ABC中.msA=装=宁，因为0<A 所以c=2√2. <90°，所以A=60°.] 52 三0022 4.解析：在△ABC中，AB=40,AC=20,∠BAC=120°， 由余弦定理得BC=AB+AC-2AB·AC·cOs120°= 9B[由三角形约西软公式得粉十=3十，即公 2800→BC=20√7. +c2=3+2 bccos A.由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A 由正弦定理，得，AB BC =3,所以a=√5.] sin∠ACB sin∠BAC 10.ABC[√3(acos C+ccos A)=2 bsin B,∴.由正孩定 →sin∠ACB=AB BC·sin∠BAC=V 理可得√3(sin Acos C+sin Ccos A)=2sinB, 7· ∴√3sin(A+C)=2sin2B,3sinB=2sim2B. 由∠BMC=120,知∠ACB为锐角，则cos∠ACB=2y 7 又sinB≠0，sinB= 2 由0=∠ACB+30°，得cos0=cos(∠ACB+30) =cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=Y2 :∠CAB=晋B∈(0，)B=号：∠ACB=元 14· 一∠CAB-∠B=芬，因此A,B正确.四边形ABCD面 答案： 14 软等于SAm十San=尽AC十名AD·DC· 6.D[在△ABC中，BC=60X号=30(km,∠ABC=70 -40°=30°，∠ACB=40°+65°=105°，则∠A=180° sin∠ADC-日(AD+DC-2AD·DC·cos∠ADC (30°+105)=45°，由正弦定理，可得AC=15√2(km).] +AD·DC·sm∠ADC=9X(9+1-6cs∠ADC 4 &e[在R△ACD中，AD=S=o7 在△ABD中，由正弦定理，得BD AD +X3×1·sm∠ADc=5 2 +3sin sin∠BAD sinZABD,即 BD AD (仁AC-吾)9+8，台且仅吉∠ADC-吾-受， sin(83°-23)sin23' 即∠ADC=5时，等号成立，因此C正确，D错误.] 6 则BD=2sn23°c0s7: 11,解析：sin∠BAC=sin(受+∠BAD）=cos∠BAD, 因为sin30°=sin(23°+7°)=sin23°·cos7°+cos23° sin7°， 且sin16°=sin(23°-7)=sin23°cos7°-cos23°sin7°， a∠B1D=29.在△ABD中，由参赛末理件BD 所以2sin23°cos7°=sin30°+sin16°≈0.776， =AB+AD-2AB·ADcos∠BAD=(3√2)2+3-2 所以1BD器2.232] X32X3×2yE=3BD=5 3 7.B[连接AC,由题意，∠ABC= 答案：W3 45°，∠ACD=75°-15°=60°， 12.解：(1)在△OBC中，BC=4(√3-1)，OB=OC=4√2， ∠BCD=75°+45°=120°， 所以由余弦定理得cOs∠BOC=OB+0C-BC ∠ACB=60°，AB=10√3，CD= 2OB·OC 42, 9所以∠B0C0=吾， AB AC 在△ABC中，由正弦定理得，sn∠ACB-sinZABC,即 于是C的长为吾4厄-2。 10E_AC,则AC=102, 3元 3 2)设∠A0c=0.0e(0,)则∠B0C=-0 2 2 在△ACD中，由余弦定理得，AD=AC+CD2-2AC· SaeB=5ax+Sam=X4vX4Esin9+号× CDcos.∠ACD=152, 则AD=2√38km.] 4v2x4E·sin(5-0）=24sin0+86co0 8.解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C=a,在Rt△P,BC中， =16sm(+吾）由于e(0,) ∠P=,'∠BPC=∠PBP:+∠P·∠PBP 所以0+看∈（告，爱）所以16sim(+看） (8√，16√3]，所以四边形OACB面积的最大值为16√3. 即△BP1P,为等腰三角形，BP,=P1P2=I, 新题快递 .'BC=Isin a. 1,B[根据余孩定理，得cos∠ABC=AB+BC-AC .AC 2AB·BC 在BAACP,中，SO =tan(90°-a), 6.9+.-12.6=-303<0,所以<∠Ac< 2×6.9×7.1 48.99 :'AC=leos a,BA=AC-BC=lcosa sin a sin a -Isin a= 元.设AC对应的圆心角为a,则有a十∠ABC=元，则cosa I(cos'a-sin'a)Icos 2a sin a sin a =asg-∠A0=-as∠AC-8:10<a<径 答案：Isin a lcos 2a sin a 因为宁<器贸号所以（仔晋）门 2 53 900-= 2.解：(1)在△DOE中，由余弦定理得： 10.解析：(5+i)·(W5-2i)=5+√5i-2√5i+2=7-√5i. ED=OD+OE-2OD·OE·cos∠EOD=4+1-2X 答案：7-√5i 2X cos 0=5-4cos 0, 11.解：设x=a十bi(a,b∈R),由z=1+3i-心， 在△COE中，由余弦定理得： EC2=OC2+OE-2·OC·OE·cos∠EOC= 得√a+6-1-3i+a+bi=0, 4+1-2×2Xcos(x-8)=5+4cos0, 则{√a+6+a-1=0,所以a=一4， 所以EC+ED=√5+4cos0+√5-4cos0=f(0),0∈ b-3=0, 1b=3, [0,x], 所以之=一4十3i. ·.将管道总长（即线段EC十ED)表示为变量日的函 则1+)(3+4D-2i(3+4D 数为： 2× 2(-4+3i) f(8)=√5+4cos6+√5-4cos6,9∈[0，x], =2(-4+3)3+4D=3+4. 2(-4+3i) (2)由(1)可得： 12.解：(1)设x=a十bi(a,b∈R), [f(0)]=(√5+4cos6+√5-4cos0) 由已知条件得：a2+b=2,x=a2-b+2abi,所以2ab=2. =10+2√5+4cos6·√5-4cos0=10+ 所以a=b=1或a=b=-1,即x=1十i或x=-1-i 2√25-16c0s0, (2)当=1+i时，2=(1+i)2=2i,x-g2=1-i,所以 因为，0∈[0，π]，所以0≤cos≤1， 点A(1,1),B(0,2),C(1,-1), [f(0)]=10+2√/25-16cos0≤10+2√25=20（百 所以Sa=合ACX1=合×2X1=1: 米) 当g=-1-i时，2=(-1-iD2=2i,g-g2=-1-3i 当且仅当c0s0=0,即0=受时取等号， 所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC 因为f(8)=√5+4cos日+√5-4cos6>0,∴.f(0)= -合1ACX1=号×2X1=1.即△ABC的面积为1. √20=2W5(百米). 新题快递 .管道总长的最大值为25百米 1.AC [=r(cos 0+isin 0),=r(cos 20+isin 20), 假期作业6复数 =Ir2 (cos 20+isin 20)=r2,=Ir(cos 0+isin 0)2 思维整合室 =户，所以A正确；当r=1,0=受时，2= 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d (4)a=c且b=-d(5)lx|a+bi3.(1)(a+c)+(b+ (cos吾+isin晋)=cosx+-isin=-1,所以B错误， d)i (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+bc)i ac+bd c2+d2 bc-ad 名得.所以C王：当=1,9=受时9=as贸十 c2+d i(2)十11+(8十) 技能提升台素养提升 isin 1.C[|x=√（-1)+(-1)2=√2.] 当n为偶数时，设n=2k,k∈Z, 2.C[由题意：2-4il=√2+(-4)=25.] 则=os经+n受，k∈乙， D=名=29D=1+i, 2(1+i) 所以当为奇数时，之”为纯虚数，当飞为偶数时，之”为实 数，所以D错误.] .|x=√2，x=2i,≈的共軛复数为1一i,的虚部为1. 故A,C错，B,D正确.门 2.AC[对于A,查6-ac=0时，=，=一名∈R,故 4.A[由题知(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3=6+8i,所以 正确；对于B,当b一4ac<0时，则x1= 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限.] 5.D[由题意(x+yiD+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2yi= 二-i+@匹，%=-bi+@匹，则西ER, 2a 2a 3计8一所以气海错-1y以+ 2华R,且x1≠x2,故错误；对于C,由一元二次方程根与系 5.] 餐的关系可得，十西=一台西=合故正确：对子D a 6.BCD[若1>2，则必1,2为实数，当名1=1，心2=-2 时，满足之1>2，但之1<之2，故C项不正确；因为两个 （G一尸_6-4c,故错误] 虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正 假期作业7基本立体图形及 确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1一i 立体图的直观图 ≠1十i,但1一i=|1+i,所以B项不正确；因为当两个 复数相等时，模一定相等，所以A项正确.] 思维整合室 7.C[由题知=(1+i)(区-1)，=1+i-1-i故选 1.互相平行公共顶点平行于 2.(2)45°（或135）变为原来的一半 择：C.] 技能提升台素养提升 8.A[因为x=5+i,所以=5-i,故i(g+)=10i] 1.B2.C 9.C[芹=-1-i,则x=i(-1-i)=-i-=1-i.] 3.BCD[当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆， 故A错：B正确：C正确：根据球的半径的定义可知D正确.]三0022 假期作业5余弦定理、正弦 【《思维整合室 1.解三角形应用题的基本思想 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后 通过解三角形，得到实际问题的解，求解的 关键是将实际问题转化为 问题， 2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题 的基本步骤 (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出 示意图（一个或几个三角形）； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与待求量尽可能地集中在有关三 角形中，建立一个解三角形的数学 模型； (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角 形，求得数学模型的解； (4)检验：检验所求的解是否符合实际问 题，从而得出实际问题的解 3.三角形面积公式 (1)三角形的高的公式：hA=bsin C= csin B,he csin A asin C,hc asin B=bsinA. (2)三角形的面积公式：S=7 absin C, S- ,S= 〈《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]利用正、余弦定理测量角度 问题 1.若水平面上点B在点A南偏东30°方向 上，则在点A处测得点B的方位角是 ( A.60°B.120°C.150°D.210° 言一数学 积土而为山，积水而为海。 定理的应用 完成日期： 月」 日 2.如图，两座相距60m的建 筑物AB,CD的高度分别 为20m,50m,BD为水平 面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物 CD的张角∠CAD等于 ) A.30°B.45° C.60° D.75 3.如图，前卫斜塔位于辽宁省 葫芦岛市绥中县，始建于辽 代，又名瑞州古塔，其倾斜 度（塔与地面所成的角）远超 著名的意大利比萨斜塔.现有一个斜塔的塔 身长10m,一旅游者在正午时分（太阳光线 与地面垂直)测得塔在地面上的投影长为 5m,则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角） 为 ) A.60°B.45° C.30 D.15 4.如图所示，位于A处的 北 东 信息中心获悉：在其正 0 东方向相距40海里的B 20 处有一艘渔船遇险，在 原地等待营救，信息中心立即把消息告知 在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙 船，现乙船朝北偏东0的方向沿直线CB 前往B处救援，则cos0的值为 ◆[考点二]利用正、余弦定理测量距离 与高度问题 5.如图，巡航艇在海上 北 以60km/h的速度沿 20° 南偏东40°的方向航 北 65 行.为了确定巡航艇 火壁快乐假阴 的位置，巡航艇在B处观测灯塔A,其方 向是南偏东70，航行？h到达C处，观 测灯塔A的方向是北偏东65°，则巡航艇 到达C处时，与灯塔A的距离是( A.10 km B.10√2km C.15 km D.15 2 km 6.圭表是我国古代一种 通过测量正午日影长 度来推定节气的天文 仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺 (称为“圭”)和一根直立于圭面的标杆（称为 “表”)，如图.成语有云：“立竿见影”，《周髀 算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测 量日影长度来确定的.利用圭表测得某市在 每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太 阳高度角分别为23°（∠ABC)和83 (∠ADC).设表高AC为1米，则影差BD≈ ( ) (参考数据：sin16°≈0.276，√3≈1.732) A.1.986米 B.2.126米 C.2.232米 D.2.346米 7.为运输方便，某工程队 将从A到D修建一条 湖底隧道，如图，工程队从A出发向正东 行10√3km到达B,然后从B向南偏西 45°方向行了一段距离到达C,再从C向 北偏西75°方向行了4√2km到达D,已 知C在A南偏东15°方向上，则A到D 的距离为 A.15√6km B.2√38km C.10√2km D.15 3 km 900-= 8.如图，一位同学从P,处观 测塔顶B及旗杆顶A,得 仰角分别为a和90°一a. 后退lm至点P,处再观 测塔顶B,仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA都垂直于地面，且C,P,P2三 点在同一条水平线上，则塔BC的高为 m;旗杆BA的高为 (用含有l和α的式子表示) ◆[考点三]正、余弦定理在平面几何中 的应用 9.在面积为S的△ABC中，内角A,B,C的对 anA则a 边分别为a,bc,若+2=3+，4S A.1B.3 C.2 D.3 10.（多选)如图，△ABC的 内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,W3(acos C +ccos A)=2 bsin B,且 ∠CAB=S.若D是△ABC外一点， DC=1,AD=3,则下列说法中正确的 是 () A.△ABC的内角B= 3 B.∠ACB=号 C.四边形ABCD面积的最大值为5 2 +3 D.四边形ABCD的面积无最大值 11.如图，在△ABC中，已知点 D在BC边上，AD⊥AC,B sin∠BAC=2V2 g2,AB=3V2,AD=3,则 BD= 三0022 12.如图，已知扇形的圆心角 ∠AOB= 管半径为1： 若点C是AB上的一动点（不与点A,B 重合). (1)若弦BC=4(-1),求BC的长； (2)求四边形OACB面积的最大值. 新题快递 1.(2025·山东济南历城二中开学考试)某 艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像 作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近 似看作一个圆弧，在嘴角A,C处作圆弧 的切线，两条切线交于B点，测得如下数 据：AB=6.9cm,BC=7.1cm,AC=12. 6cm.根据测量得到的结果推算女子嘴 唇视作的圆弧对应的圆心角的范围为 12.6cm 6.9cm 7.1cm A. c后 D爱引 害一数半为 2.如图，现有一直径 AB=2百米的半圆 形广场，AB所在直线上存在两点C,D, 满足OC=OD=2百米(O为AB的中 点)，市政规划要求，从广场的半圆弧AB 上选取一点E,各修建一条地下管道EC 和ED通往C、D两点 (1)设∠EOB=0,试将管道总长（即线段 EC+ED)表示为变量0的函数； (2)求管道总长的最大值. 《益智欢乐谷 中国女排打了8场，赢了5场，输了3 场，冠军！ 塞尔维亚打了8场，赢了6场，输了2 场，亚军！ 美国女排打了8场，赢了7场，输了1 场，季军！ [总结]人生呀，关键不在于你赢过 多少次，而在于你在什么时候，什么场次赢 了什么对手！