假期作业4 正弦定理和余弦定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业

三-0022 富一数类 图即刻扫码 假期作业4正弦定理和余弦定理 AI伴学助手 答案速查手册 同步学习微课 新知预习宝典 〈《（思维整合室 《技能提升台 1.正、余弦定理 素养提升 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别 ◆[考点一] 已知两边及一角解三角形 是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 1.如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍，那么它的顶角的余弦值为 定理 正弦定理 余弦定理 a2= A.is B是 D.8 a 公式 sin A b2= 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 =2R = a,b,c,a=8√3，b=6,A=60°，则sinB= ) (1)a=2Rsin A,b= C= R誓 常 (2)sinA=2录，sinB= cos A= 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 见 变 ,sin C-2R' cos B= a,b,c,a=15,b=18,A=30°，则此三角形 cos C= 解的个数为 ( ) 形 (3)a:b:c= A.0 B.1 (4)asin B=bsin A,bsin C= C.2 D.不能确定 csin B,asin C=csin A 4.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为 2.三角形面积公式 a,b,c.若a=2,c=25,cosA=5,且b 2 Soc-asin C-esin A 2acsin B= <,则b= ( 瓷一a+6十)·r(是三角形内切圆的 A.3 B.2 C.2√2 D.3 ◆[考点二]已知三边或三边的关系解三 半径)，并可由此计算R,r 角形 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 3.在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况 如下 为ab,c.若a-b+c)2 =一1，则A= A为钝角 ) A为锐角 或直角 A.120° B.45°C.60° D.30° 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 图形 是a,6c,已知c=2h若simC=子则 sin B= ;若b2+bc=2a2, 则cosB= bsin A< 关系式 a=bsin A a≥b a>ba≤b ◆[考点三]正、余弦定理的综合应用 a<b 7.(多选题)在△ABC中，已知a2tanB= 解的 b'tan A,则△ABC的形状可能是() 个数 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 飞曼快乐限明 00- 8.(2025·八省联考)在△ABC中，BC=8, 12.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角 AC-10eos∠BAC-号，则△AsC的面 A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinA +√3cosA=2. 积为 (1)求A; A.6 B.8 C.24 D.48 (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 △ABC的周长. a,b,c,面积为3，B=60°，a2+c2=3ac, 则b= 10.在△ABC中，已知BC=7,AC=8,AB =9,则AC边上的中线长为 11.(2024·新课标I卷)记△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinC =√2cosB,a2+b2-c2=√2ab. (1)求B; 新题快递 (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. 1.三角形内角平分线定理：三角形的内角 平分线内分对边，所得的两条线段与这个 角的两边对应成比例.已知△ABC中，AD 为∠BAC的角平分线，与BC交于点D,AB =3,AC=4,BC=5,则AD= () A号 c59 D.122 7 2.(多选)（江苏无锡一中2025高一期末） 在△ABC中，内角A,B,C对的边分别 为a,b,c,下列判断正确的是 () A.若a>b,则sinA>sinB B.若sinA>sinB,则A>B C.若sinA>cosB,则△ABC为锐角三 角形 D.若△ABC为锐角三角形，则sinA≥ cos B 《益智欢乐谷 数学魔术家1981年，印度的一位名 叫沙贡塔娜的37岁妇女，凭借心算与一台 先进的电子计算机展开竞赛.题目是求一 个201位数的23次方根.但令人惊奇的是， 沙贡塔娜只用了50秒钟就报出了正确的 答案，而计算机得出同样的结果，花费的时 间要多得多，这一奇闻，在国际上引起了轰 动，沙贡塔娜被称为“数学魔术家” 8三0022 富一数学 4.B[将条件|a+2b=2平方得1十4a·b十4b=4,由(b 12.解：(1)AB·AC=0,∴.ABLA -2a16得6-8a6=0,所以6=号，61-厚 又AB1=12,1BC=15,.AC1=9 5.B[由a+bl=√7，即(a+b)2=7,即a2+2a·b+b= 由已知可得A市=之(A+AC).C第=A店-心， 7,则|a2+2a·|bcos(a,b〉+|b12=7,又|a=2|b =2,所以cosa,b》=子，又0°≤a,b》≤180，所以a与 :A市.Ci-号（成+AC)(-AC)=号（店- b的夹角为60°，] A花)=2144-81)-2 6.解析：由a+b=|2a-b,得a=2a·b; (2)A正.C的值为一个常数 由a-b1=√5，得a2-2a·b+b=3,即6=3，b1=√5. 理由：：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D, 答案：√3 E为l上异于D的任意一点，DE·CB=0. 7.ABCD[|a+bl=|a-b1台|a+b|2=|a-b2台a+2a ·b+b=a-2a·b+b台a·b=0,a+b=(a-b)台 故AE.CB=(AD+DE)·CB=AD.CB+D正.CB a2+b2=a2-2a·b+b台a·b=0.] =.市=号（常教）. 8.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2- 新题快递 4x=0,解得x=2.] 1.C[关于x的方程a2x2+2a·bz十b=0有实数根，则 9.解析：由向量a,b的夹角为受，且(a-b)1b, △=4(a·b)2-4ab2≥0， 故(a·b)2≥ab,即|a·b≥|alb1, 得a-)·b=a·b-6=号a1b1-b=0 又a·b≤|al|b,所以a·b|=al川bl,即向量a,b共 所以a=2引81，合=2. 线，反之也成立，因此两者应为充要条件，] 2.解析：由a=(-1,1),b=(0,2),得|a=2,|b|=2,a· 因为a+b=√(a+b)'=√a+2a·b+b =√4b+2b+1bF=√71b1, -1X0+2-28清点g号 |a-bl=√(a-b)产=√a2-2a·b+b 又9e[0,],所以0=至则sm0=盟.又aXb1=1al. 21 =√4b2-2b+b产=3b1, 所以a+b=团 b·m,所以a×b=2×2×号=2. 2 a-b 3 答案：2 答案：2 21 3 假期作业4正孩定理和余孩定理 10.AC[设a=h(k>0),所以1=B解得=3， 思维整合室 b C 3k=3, (n=1 1.sin B sin C 62+c-2bccos A c2+a2-2cacos B 即a=3b,故A正确 。+8-2 aleos)2 Rsin B2 RsinC(2)2录 sin A 设c=(x,y)是与a垂直的单位向量，则有√3.x十3y=0,x sin B:sin C 6+c2-a c2+a2-6a2+6-cd 、-22 2bc 2ac 2ab 错误。 3.一解两解一解一解无解 技能提升台素养提升 因为b在a上的投影向量为3c,所以a:b=3,所以 a 1.D2.D3.C4.B Bm+3E=3,解得n=3,故C正确. 5.A[因为a-(b+c) =1,所以a2一(b十c)2=一bc, bc 2√ 即a2-6-2-2bc=-bc,所以a2=b+c2+bc,由余弦 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a,b不共 线，所以5十3<0解得{3即-3，所以n 定足得A-6士立=子周为0<A<180,所 2bc 13-3n≠0， n≠1， 以A=120°，故选A.] ∈(-∞，-3)，故D错误.] 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然 4 6.解析：周为c=2b,所以sinC=2sinB=是，所以sinB= EF是AM的中垂线，设AM与EF 交于点N,则N是AM的中点，又正 含.因为c=2b,所以6+bc=36=2a2,所以a=。 2 方形边长为8，所以M(8,4),N(4, 2). 所以co月=。+-公是8+6-6 3√6 2ac 8 设点E(e,0),则AM=(8,4),AN 2√66 (4,2),AE=(e,0),EN=-(4-e,2), 答案：号 8 由AMLEN得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0, 7.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的 解得e=5,即|AE1=5. 半径)代入已知条件，得sin'Atan B=sin'Btan A,则 所以Sm=2A应B=号X5X4=10. sin'Asin B sin Asin'B cos B cos A 51 火快乐假期 因为sin Asin B≠0，所以sinA=sinB "cos B cos A' 12.解：(1)2 【snA+osA=2, 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B, 所以A=B或A十B=受，故△ABC为等腰三角形或直角三 sim(A+号)1： A为三角形ABC的内角， 角形.] 8.C[设AB=x,根据余弦定理BC =AC+AB2-2AC·AB· (2).2bsin C=csin 2B, cos∠BAC, ,sin Bsin C≠0， 已知BC=8,AC=10,cos∠BAC= .2sin Bsin C=sin Csin 2B=2sin Csin Bcos B, 吾代入可得： E=2cosB,cosB=E】 2 8=10+x2-2X10×x× 5 即x2-12.x十36=0，解得x=6, a b sin A sin B sin C' 由于BC+AB2=64+36=100=AC,则△ABC为直角三 2=五 角形， 1 656=22c=6+, 则5=2×6×8=24.] 21 2 4 .△ABC的周长为2+√6+3√2. 9.解析：由S6x=子acin B,得后=子acsin60,即厅 新题快递 1.D,AB=3,AC=4,BC=5,满足3+4=5， 3 ac,得ac=4,所以a2+c2=3ac=12, ∠BAC=90,故cos∠ABC=号， 则由余弦定理，得6=a2+c2-2accs60°=12-2×4X :AD是∠BAC的角手分线肥-是-是BD 号-8，所以6=2 ×5=只 答案：2√瓦 在△ABD中，由余弦定理AD=AB2十BD一2AB· 10.解析：由已知及余孩定理可得c0sA=AB+AC-BC BD·cos∠ABD, 2AB·AC 安是设中线长为，商会孩定理得 得AD=3+ (停) -2x8×与×号-器。 (9)+AB-2,S.AB·osA=+9-2X4 解得AD= 2E或者AD= 7 122(含去).门 7 2 2.ABD[在△ABC中，若a>b,则根据正弦定理可得sinA X9X号=9，即x=7.所以AC边上的中线长为7 >sinB,选项A正确；由sinA>sinB及正弦定理得a> b,则A>B,选项B正确；若sinA>cosB,即cos 答案：7 1山.解：)由余弦定理可得：osC=。+6一c_巨 (受-A）>sB,当osB<0,os(径-A>0时， 2ab 2 △ABC为钝角三角形，选项C错误；若△ABC为锐角三 因为C∈(0，x,所以C=于，所以eoB-=sinC= √2 角形，则A+B>受 2' 即asB=子 则有受>A>艺-B>0, 因为B∈(0，π)，所以B= 又正孩画数在(0，受)上单调递增， 3 所以sinA> (2)由)可得A=云-B-C=多x,设△ABC外接目的 m(受-B）即s血A>osB,选项D正确.】 假期作业5余孩定理、 半径为R, 正孩定理的应用 由正弦定理可得：mA=sin B-sin C=2R,所以b= 思维整合室 √3R,c=√2R,sinA=sin(B+C) 1.解三角形3.(2)2 besin A合-casin B -sin Bcos C+cos Bsin C 技能提升台素养提升 4 1.C2.B 所以Sar=合esin A=·5R·ER.6+E 3.A[如图所示，线段AC表示塔身，线段 1 AB为塔在地面上的投影，CB⊥AB,所以在 3+√3，解得R=2, R△ABC中.msA=装=宁，因为0<A 所以c=2√2. <90°，所以A=60°.] 52