题海探秘13 列联表与独立性检验讲义-2025-2026学年高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版选择性必修第三册）

2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘13 列联表与独立性检验 6考点复习指南 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为 分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2．2×2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{,}和{,}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 3．等高堆积条形图 常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响. (1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色， 观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类 变量之间有关系. (2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道 两个分类变量有关系的概率大小. 4．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简 称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 5．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 考点1 完善列联表 1．（2026高二·全国·课堂例题）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 【答案】答案见解析 【分析】利用给定条件计算数据，补充列联表即可. 【详解】因为男性有名，一共有名观众， 所以一共有名女性观众，而有名女性观众不满意， 所以有名女性观众满意，而有名男性观众满意， 所以有名男性观众不满意，故有名观众不满意，有名观众满意， 补全的列联表如下． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 2．（2026高二·上海·课堂例题）某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了40名学生，其中有四成学生经常使用手机．40名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示．小组约定物理成绩低于70分为一般，70分以上为良好． (1)根据以上资料完成以下2×2列联表格， 物理成绩一般 物理成绩良好 合计 不使用手机 经常使用手机 合计 (2)现将40个成绩分为，，，，共5组，补全频率分布直方图，并依据频率分布直方图计算这40名学生的物理平均成绩的估计值； (3)从这40名学生成绩高于90分的人中随机选取2人，求至少有一人不使用手机的概率． 【答案】(1)列联表见解析 (2)频率分布直方图见解析，75.25 (3) 【分析】（1）根据成绩一般的标准，结合茎叶图表示数据的方法进行计算填表即可； （2）根据五组中的人数，再计算出频率与组矩的比值，然后画出每个小矩形，再根据题中表示该代表数据的方法进行求解即可； （3）用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】（1）从茎叶图可知： 不使用手机的学生中，物理成绩一般有6个，物理成绩良好的有18，共计24人， 经常使用手机学生中，物理成绩一般有10个，物理成绩良好的有6，共计16人， 列联表如下： 物理成绩一般 物理成绩良好 合计 不使用手机 6 18 24 经常使用手机 10 6 16 合计 16 24 40 （2）根据茎叶图，结合题中给定的小组，填表如下： 频数 频率 频率与组距的比值 6 0.15 0.015 10 0.25 0.025 8 0.2 0.02 9 0.225 0.0225 7 0.175 0.0175 频率直方图如下图： 设40名学生物理平均成绩估计值为 ； （3）高于90分经常使用手机的有2人，分别设为A、B 不使用手机的有5人，分别设为a、b、c、d、e高于90分人中随机抽取2人共有：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae；Ba，Bb，Bc，Bd，Be；ab，ac，ad，ae；bc，bd，be，cd，ce，de，共21种 则至少有一人不使用手机的概率为 3．（2026高二·广东深圳·期中）下面是一个2×2列联表： 合计 合计 则表中a，b处的值分别为__________；__________． 【答案】 52 60 【分析】第一空利用直接求出即可；第二空利用，结合的值求得即可. 【详解】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，由表中数据可知， ，所以； . 故答案为： 4．（2026高二·江苏·课后作业）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．列联表中c的值为20，b的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系 【答案】D 【分析】根据成绩优秀的概率求得，进而求得，结合比例判断出正确答案. 【详解】依题意，解得，由解得. 补全列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 甲班的优秀率为，乙班的优秀率为， ，所以成绩与班级有关.所以D选项正确，ABC选项错误. 故选：D 5．（2026高二·宁夏固原·期中）下面是一个列联表，则表中处的值分别为（    ） 总计 25 73 21 总计 49 A．98，28 B．28，98 C．48，45 D．45，48 【答案】C 【分析】根据列联表求解. 【详解】解：由个列联表知： ， 解得， 故选：C 考点2 列联表的分析及应用 6．（2026高二·上海·课后作业）下表是两所中学的学生对报考某类大学的意愿的列联表： 愿意报考某类大学 不愿意报考某类大学 总计 中学 中学 总计 根据表中的数据回答：两所中学的学生对报考某类大学的态度是否有显著差异？ 【答案】有显著差异，且中学更愿意报考 【分析】分别计算中学报考某类大学的比例，对比即可得到结论. 【详解】中学愿意报考某类大学的比率为； 中学愿意报考某类大学的比例为； ，即中学愿意报考某类大学的比例比中学高了， 两所中学的学生对报考某类大学的态度有显著差异，且中学更愿意报考. 7．（2026高二·河南·期中）2022年3月，我国疫情发生频次明显增加．为了防止奥密克戎变异株的传播，各地方政府都采取了有效防治措施．社区志愿者小王参加了防止奥密克戎变异株传播的科普宣传活动，并随机调查了100名居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况，得到如下的2×2列联表： 了解 不了解 总计 年龄不小于60岁 a b a＋b 年龄小于60岁 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 给出下列4组数据： ① ；② ； ③ ；④ ． 则居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是______．（填序号） 【答案】③ 【分析】根据当的值越大时，居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性越大，计算每组的值，比较大小可得答案。 【详解】当的值越大时，居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性越大， 在①中，，在②中，，在③中，，在④中，, 故居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是③, 故答案为：③ 8．（2026高二·全国·课后作业）某单位主管对50名员工进行了工作量的调查，了解男、女职工对工作量大小的看法是否存在差异，得到的数据如下： 性别 工作量 合计 认为工作量大 认为工作量小 男 18 9 27 女 8 15 23 合计 26 24 50 请判断认为工作量的大小与性别是否有关． 【答案】工作量的大小与性别有关系，男职工更加认为工作量大． 【分析】分别计算，，比较大小，若差距较大即可认为工作量的大小与性别有关系. 【详解】． ， 所以认为工作量的大小与性别有关系，男职工更加认为工作量大． 9．（2026高二·全国·课后作业）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系. 【答案】（1）列联表答案见解析；（2）性别与休闲方式有关系. 【分析】（1）根据2×2的列联表要求列表. （2）根据列联表中的数据,分别算出女性、男性中休息方式为看电视的频率即可判断. 【详解】（1）2×2的列联表： 看电视 运动 合计 女 30 20 50 男 20 40 60 合计 50 60 110 （2）根据列联表中的数据，可得女性中休息方式为看电视的频率为，男性中休息方式为看电视的频率为，二者差别较大，可知性别与休闲方式有关系. 考点3 等高条形图及其应用 10．（2026高三·广西南宁·期末）为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 【答案】B 【分析】根据等高条形图中的数据即可得出选项. 【详解】根据两个表中的等高条形图知，药物实验显示不服药与服药时患病差异较药物实验显示明显大， 所以药物的预防效果优于药物的预防效果， 故选：B. 11．（2026高三·北京·一轮复习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【答案】C 【分析】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判断即可. 【详解】设等高条形图对应列联表如下： 岁及以上 岁以下 总计 男性 女性 总计 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为， 因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 12．（2026高二·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 【答案】A 【分析】分析等高堆积条形图可直接得到答案. 【详解】原图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图， 从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误； 两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误； 故选：A. 13．（2026高二·吉林·月考）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ） A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】D 【分析】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可. 【详解】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误； 对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误； 对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误； 对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确. 故选：D. 14．（2026高二·福建福州·期中）下面的等高条形图可以说明的问题是（    ） A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有的把握 【答案】D 【分析】根据等高条形图判断即可得正确答案. 【详解】由等高条形图可知“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的频率不同， 所以“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有的把握，所以选项D正确， 故选：D. 15．（2026·四川广安·模拟预测）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（    ） A．样本中多数男生喜欢手机支付 B．样本中的女生数量少于男生数量 C．样本中多数女生喜欢现金支付 D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量 【答案】C 【分析】根据两等号条形图的信息，逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对； 对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对； 对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错； 对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对. 故选：C. 考点4 独立性检验的概念及辨析 16．（2026高二·河南南阳·期中）下列实际问题不适合用独立性检验解决的是（    ） A．不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病 B．某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况 C．参加课外辅导能否提高学习成绩 D．男性和女性在职业选择偏好上是否有差异 【答案】B 【分析】根据独立性检验的基本思想，即可判断选项. 【详解】独立性检验是通过统计学方法来检验两个分类变量之间是否存在关联性， ACD满足独立性检验的基本思想，B选项只是公司的营业额这一个变量在过去5年的变化情况，不满足独立性检验的基本思想. 故选：B 17．（2026高二·四川雅安·期末）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（   ） A．牛的毛色与角无关 B．牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C．牛的毛色与角有关 D．牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】A 【分析】根据卡方独立性检验规则，比较与临界值即可得出结论. 【详解】因为，所以牛的毛色与角无关. 故选：A. 18．（2026高三·江苏镇江·开学考试）某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由独立性检验的原理的理解辨析可判断. 【详解】由题意知观测值，所以对照题中的附表可作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过的结论. 故选：B 19．（2026高二·河南信阳·期末）调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（    ）（附：） A．婴儿90%在白天出生 B．婴儿性别与出生时间无关联 C．有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D．婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 【答案】D 【分析】求出并与比较即可求解. 【详解】因为， 依据小概率值的独立性检验， 所以婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1． 故选：D． 20．（2026高二·天津和平·期末）某单位对员工是否愿意被外派与年龄的关系进行了一次谓查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，得到“是否愿意被外派与年龄有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01，则的值可能为（    ） 附表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．3.206 B．6.561 C．7.879 D．11.028 【答案】C 【分析】由题意，结合小概率表，可判断的值应位于与之间，得到答案. 【详解】由题意得的值应位于与之间，故C正确，ABD错误. 故选：C 21．（2026·江苏苏州·模拟预测）设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（   ） A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确 C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳 【答案】D 【分析】根据独立性检验的概念以及计算步骤，可得答案. 【详解】依题意，，因此有95%的把握反驳， 故选：D. 22．（2026高二·天津滨海新区·阶段检测）在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（   ） ①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系； ②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病； ③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病； ④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①④ 【答案】D 【分析】由给出的数据，结合观测值的意义判定即可. 【详解】若的观测值满足，则我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系， 而得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有的可能性使推断出现错误， 但不能说明个吸烟的人中约有人患有肺病， 也不能说明每个吸烟的人有的可能性会患肺病. 故①④正确、②③错误. 故选：D 23．【多选】（2026高二·安徽合肥·期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用2×2列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关计算得，由小概率临界值表知，现给出四个结论，其中错误的是（   ） A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 【答案】ABC 【分析】依据卡方值结合小概率值的独立性检验思想即可得解. 【详解】由题，所以根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟有关”， 即有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，故选项D正确，其余都是错误的． 故选：ABC． 考点5 卡方的计算 24．（2026高二·河北沧州·期中）为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（   ） 附：，其中． A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】设被调查的男性有人，则女性有人，列出列联表，根据独立性检验的基本思想可得出关于的不等式，结合可得出的值，即可得出被调查的男性中不喜爱钓鱼的人数至少为. 【详解】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下： 钓鱼 性别 男性 女性 总计 喜爱钓鱼 不喜爱钓鱼 总计 则， 本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论， 可得，解得， 又因为列联表中相关人数需为整数，则， 所以，被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有人． 25．（2026·山东德州·模拟预测）秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了200名当地居民进行调查，得到如下列联表： 单位：人 秦腔 年龄 合计 40岁以下 40岁及以上 喜爱 45 45 90 不喜爱 75 35 110 合计 120 80 200 (1)年龄在40岁及以上的当地居民中，喜爱秦腔的概率为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 【答案】(1). (2)可以认为是否喜爱秦腔与年龄有关. 【分析】（1）用样本中 40 岁及以上居民喜爱秦腔的频率，作为总体概率的估计值； （2）通过列联表数据计算卡方统计量，与显著性水平对应的临界值比较，完成独立性检验，判断两个变量是否有关. 【详解】（1）用样本频率估计总体概率，因为年龄在40岁及以上的当地居民喜爱秦腔的频率为， 所以的估计值为. （2）假设 ：是否喜爱秦腔与年龄无关， 题意可知， 因为，所以假设不成立， 即在犯错误的概率不超过的条件下，可以认为是否喜爱秦腔与年龄有关. 26．（2026高二·辽宁铁岭·期中）某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据． 有艺术特长 无艺术特长 男 250 100 女 350 150 (1)用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们均有艺术特长的概率； (2)在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)可以认为学生性别与有无艺术特长无关 【分析】（1）利用二项分布的概率公式求解即可； （2）根据卡方公式求出的值，与临界值进行比较即可判断. 【详解】（1）因为该校男生有艺术特长的概率为， 记有艺术特长的男生人数为，显然， 于是． （2）因为 ， 故在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为学生性别与有无艺术特长无关 27．（2026高三·全国·专题练习）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到列联表． 性别 感冒 不感冒 总计 男 女 总计 依据表中数据，能否有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关？若把表中所有数据都扩大到原来的倍，此时结论还一样吗？请解释其中原因，并简要说明如何调整调查可使此研究更严谨． 参考数据： 【答案】答案见解析 【分析】根据独立性检验公式直接计算并判断即可. 【详解】零假设：岁年轻人的体质健康与性别无关． 根据列联表中的数据，经计算得到， 所以零假设成立，即没有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关． 如果把所有数据都扩大倍后， ， 即有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关． 所以扩大倍后，结论发生变化．为使此研究更严谨，可以扩大调查的样本容量． 28．（2026高三·全国·专题练习）随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】日均刷“抖音”时间的长短与性别无关 【分析】由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解 【详解】由题意，列联表如下： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计 男性 48 72 120 女性 24 56 80 合计 72 128 200 零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关， 则， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立， 即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关. 29．（2026高三·上海·课堂例题）为了调查商户每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，随机选取45家商户进行跟踪调查，其中每日线上销售时间不少于6小时的商户有19家，余下的商户中，每天的销售额不足3万元的占，统计后得到如下列联表： 销售额不少于3万元（户） 销售额不足3万元（户） 合计 线上销售时间不少于6小时 4 19 线上销售时间不足6小时 合计 45 请完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“商户每天销售额与商户每天线上销售时间有关．” 参考公式：，其中. 0.50 0.40 0.25 0.15 0.010 0.05 0.025 0.010 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】表格见解析，有的把握认为“商户每天销售额与商户每天线上销售时间有关”． 【分析】完善列联表结合卡方公式计算，结合独立检验的基本思想得结论即可. 【详解】 销售额不少于3万元 销售额不足3万元 合计 线上销售时间不少于6小时 15 4 19 线上销售时间不足6小时 10 16 26 合计 25 20 45 因为， 所以有的把握认为“商户每天销售额与商户每天线上销售时间有关”． 30．（2026高三·四川宜宾·开学考试）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）. 测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好） 对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4  26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3 实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2  14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0 附：，其中. 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 (1)求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表： 合计 对照组 实验组 合计 (2)根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 【答案】(1)23.4，列联表见解析 (2)有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 【分析】（1）由中位数定义求出中位数，列出列联表； （2）计算，与临界值比较得出结论. 【详解】（1）由所给数据从小到大排序： ， 所以40只小鼠体重的中位数为， 列联表如下： 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （2）由公式可知， 所以有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 31．（2026高二·上海奉贤·期末）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人） 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 50 100 女性 70 100 合计 (1)完成上表，并根据以上数据判断是否有99%的把握认为我市市民网购与性别有关? (2)现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率； 参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析；有 (2) 【分析】（1）完成列联表，由列联表，得，然后根据独立性检验判断即可； （2）由题知抽取10人中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由可计算选取的3人中至少有2人经常网购的概率. 【详解】（1）完成列联表： 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 50 50 100 女性 70 30 100 合计 120 80 200 由列联表得，， 有99%的把握认为我市市民网购与性别有关. （2）由题知女市民中利用分层抽样的方法抽取10人中， 经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人， 选取的3人中至少有2人经常网购的概率， 所以所求概率为. 考点6 独立性检验的综合应用 32．（2026·重庆北碚·模拟预测） 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据. 人数分数 学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 (1)若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. (2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附：， . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析；熟悉AI程度与参与人员学历有关联； (2)分布列见解析；. 【分析】（1）先根据题意列出列联表，再计算，并判断； （2）先确定的可能取值，再分别求概率，列出分布列，最后求期望. 【详解】（1） 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 30 60 90 不熟悉 70 40 110 合计 100 100 200 零假设为：熟悉AI程度与参与人员学历互相独立，即熟悉AI程度与参与人员学历无关联. 根据列联表中的数据，经计算得 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为熟悉AI程度与参与人员学历有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 根据表中数据，熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 不熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 由可见，在被调查者中，熟悉AI的人中，本科以上学历是本科及以下学历的频率的将近2倍，于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为本科以上学历熟悉AI的概率明显大于本科及以下学历熟悉AI的概率，即本科以上学历更容易熟悉AI. （2）从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取10个人，这10人中，分数在的人数为3，则可取0，1，2，3； ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . 33．（2026·河南·模拟预测）新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 (1)请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； (2)从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 【答案】(1)列联表见解析，没有 (2) 【分析】（1）根据题设数据完善表格，然后根据公式计算卡方统计量即可； （2）根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）完善列联表如下： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 新能源汽车B款 合计 零假设：新能源汽车的款型对满意度没有影响， ， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 所以没有的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； （2）记事件为“被调查的两人选择新能源汽车款型一致”，事件为“他们对该新能源汽车款型均满意”，则 ，， 所以， 所以在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，他们对该新能源汽车款型均满意的概率为. 34．（2026·河北保定·模拟预测）某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； (2)依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； (3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 【答案】(1)，，，，． (2)认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联 (3)． 【分析】（1）利用列联表中行和、列和与总数之间的关系，通过简单的加减法运算求出的值. （2）根据第（1）问求出的数据，代入卡方公式计算的观测值，并与给定的临界值进行比较，从而判断两个分类变量是否有关联. （3）先求出高频锻炼组和低频锻炼组人数，然后根据分层抽样求出每组应抽取的人数，然后计算抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率. 【详解】（1）由列联表数据关系可知，，，，，，综上，，，，，． （2）零假设：市民体育锻炼频次与体质达标无关联． 根据列联表数据，计算 由于，根据小概率值的独立性检验，判断不成立， 因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联． （3）体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼组35人，按分层抽样抽取10人，则高频锻炼组抽取人数为3人，低频锻炼组抽取人数为7人． 从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，事件总数有种， 设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A包含“0人来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况． 则． 所以抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率为． 35．（2026·四川泸州·模拟预测）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)更适合， (2)不能 【分析】（1）根据图形，即可作出判断，再将非线性回归方程转化成线性回归方程，再结合条件，求出，即可求解； （2）根据条件，求出的值，结合条件，即可求解. 【详解】（1）由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型， 由，得到，因为，则， 则，所以，则. （2）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们没有理由认为不成立，即认为市民佩戴头盔与性别没有关联. 36．（2026高二·福建厦门·期中）某年举办的福建省城市足球联赛（简称“闽超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“闽超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“闽超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“闽超”联赛 喜欢观看“闽超”联赛 男性 40 140 女性 50 70 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢观看“闽超”联赛与性别有关； (2)用频率估计概率，从喜欢观看“闽超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能 (2)分布列见解析，. 【分析】（1）先根据题意完善列联表，然后计算，然后进行判断即可. （2）根据题意可知女性数服从二项分布，然后列出分布列，求出期望. 【详解】（1）由题意得列联表如下： 性别 不喜欢 喜欢 合计 男性 40 140 180 女性 50 70 120 合计 90 210 300 零假设：喜欢观看“闽超”联赛与性别无关. . 在小概率值的独立性检验下，零假设不成立， 即能认为喜欢观看“闽超”联赛与性别有关. （2）由题意可知，从喜欢观看“闽超”联赛的市民中随机抽取1人，抽到女性的概率， 可取，则. ，， ，， 分布列如下 根据二项分布期望公式得. 37．（河南郑州市第二高级中学等校2025-2026学年高三学期考前质量检测数学试题）某影城想了解观众性别与喜欢的电影类型是否有关，随机调查了300名观众，得到下表： 喜欢生活片 喜欢战争片 男性观众 70 80 女性观众 90 60 (1)根据的独立性检验，分析观众性别与喜欢的电影类型是否有关； (2)从这300名观众中随机选择2名，在已知其中至少有1名女性观众条件下，求这2名观众都喜欢生活片的概率． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)观众性别与喜欢的电影类型无关 (2) 【分析】（1）计算卡方值并与临界值比较，即可得出结论； （2）根据条件概率的公式计算得解. 【详解】（1）零假设：观众性别与喜欢的电影类型无关. 因为. 因此依据的独立性检验，没有充分证据不成立，即两者无关. （2）设事件"选出的2人中至少1名女性"，事件"选出的2人都喜欢生活片"， 由列联表知，; ，因此. 38．（2026高二·内蒙古呼和浩特·阶段检测）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 男 8 14 女 4 24 (1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； (2)依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据：参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)分布列见解析， (2)答案见解析 【分析】(1)利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； (2)根据列联表中的数据，经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【详解】（1）解：在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人访谈，记参与访谈的男性人数为，样本中感冒的男性有人，女性有人，比例为，按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. （2）解：提出零假设：岁年轻人的体质健康与性别无关， 根据列联表中的数据，得到， 因为，不能拒绝零假设， 所以没有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘13 列联表与独立性检验 6考点复习指南 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为 分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2．2×2列联表 假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{,}和{,}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 3．等高堆积条形图 常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响. (1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色， 观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类 变量之间有关系. (2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道 两个分类变量有关系的概率大小. 4．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则. (2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简 称独立性检验. (3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 5．独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式计算； (3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断. 考点1 完善列联表 1．（2026高二·全国·课堂例题）2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行，射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取名（其中男性名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表． 不满意 满意 合计 男性 女性 合计 根据统计数据完成列联表． 2．（2026高二·上海·课堂例题）某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了40名学生，其中有四成学生经常使用手机．40名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示．小组约定物理成绩低于70分为一般，70分以上为良好． (1)根据以上资料完成以下2×2列联表格， 物理成绩一般 物理成绩良好 合计 不使用手机 经常使用手机 合计 (2)现将40个成绩分为，，，，共5组，补全频率分布直方图，并依据频率分布直方图计算这40名学生的物理平均成绩的估计值； (3)从这40名学生成绩高于90分的人中随机选取2人，求至少有一人不使用手机的概率． 3．（2026高二·广东深圳·期中）下面是一个2×2列联表： 合计 合计 则表中a，b处的值分别为__________；__________． 4．（2026高二·江苏·课后作业）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 总计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．列联表中c的值为20，b的值为50 D．由列联表可看出成绩与班级有关系 5．（2026高二·宁夏固原·期中）下面是一个列联表，则表中处的值分别为（    ） 总计 25 73 21 总计 49 A．98，28 B．28，98 C．48，45 D．45，48 考点2 列联表的分析及应用 6．（2026高二·上海·课后作业）下表是两所中学的学生对报考某类大学的意愿的列联表： 愿意报考某类大学 不愿意报考某类大学 总计 中学 中学 总计 根据表中的数据回答：两所中学的学生对报考某类大学的态度是否有显著差异？ 7．（2026高二·河南·期中）2022年3月，我国疫情发生频次明显增加．为了防止奥密克戎变异株的传播，各地方政府都采取了有效防治措施．社区志愿者小王参加了防止奥密克戎变异株传播的科普宣传活动，并随机调查了100名居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况，得到如下的2×2列联表： 了解 不了解 总计 年龄不小于60岁 a b a＋b 年龄小于60岁 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 给出下列4组数据： ① ；② ； ③ ；④ ． 则居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是______．（填序号） 8．（2026高二·全国·课后作业）某单位主管对50名员工进行了工作量的调查，了解男、女职工对工作量大小的看法是否存在差异，得到的数据如下： 性别 工作量 合计 认为工作量大 认为工作量小 男 18 9 27 女 8 15 23 合计 26 24 50 请判断认为工作量的大小与性别是否有关． 9．（2026高二·全国·课后作业）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系. 考点3 等高条形图及其应用 10．（2026高三·广西南宁·期末）为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 11．（2026高三·北京·一轮复习）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 12．（2026高二·重庆·期末）如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 13．（2026高二·吉林·月考）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ） A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 14．（2026高二·福建福州·期中）下面的等高条形图可以说明的问题是（    ） A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有的把握 15．（2026·四川广安·模拟预测）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（    ） A．样本中多数男生喜欢手机支付 B．样本中的女生数量少于男生数量 C．样本中多数女生喜欢现金支付 D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量 考点4 独立性检验的概念及辨析 16．（2026高二·河南南阳·期中）下列实际问题不适合用独立性检验解决的是（    ） A．不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病 B．某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况 C．参加课外辅导能否提高学习成绩 D．男性和女性在职业选择偏好上是否有差异 17．（2026高二·四川雅安·期末）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（   ） A．牛的毛色与角无关 B．牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C．牛的毛色与角有关 D．牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 18．（2026高三·江苏镇江·开学考试）某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·河南信阳·期末）调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（    ）（附：） A．婴儿90%在白天出生 B．婴儿性别与出生时间无关联 C．有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D．婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 20．（2026高二·天津和平·期末）某单位对员工是否愿意被外派与年龄的关系进行了一次谓查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，得到“是否愿意被外派与年龄有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01，则的值可能为（    ） 附表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．3.206 B．6.561 C．7.879 D．11.028 21．（2026·江苏苏州·模拟预测）设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（   ） A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确 C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳 22．（2026高二·天津滨海新区·阶段检测）在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（   ） ①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系； ②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病； ③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病； ④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①④ 23．【多选】（2026高二·安徽合肥·期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用2×2列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关计算得，由小概率临界值表知，现给出四个结论，其中错误的是（   ） A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 考点5 卡方的计算 24．（2026高二·河北沧州·期中）为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（   ） 附：，其中． A．人 B．人 C．人 D．人 25．（2026·山东德州·模拟预测）秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了200名当地居民进行调查，得到如下列联表： 单位：人 秦腔 年龄 合计 40岁以下 40岁及以上 喜爱 45 45 90 不喜爱 75 35 110 合计 120 80 200 (1)年龄在40岁及以上的当地居民中，喜爱秦腔的概率为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 26．（2026高二·辽宁铁岭·期中）某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据． 有艺术特长 无艺术特长 男 250 100 女 350 150 (1)用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们均有艺术特长的概率； (2)在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 27．（2026高三·全国·专题练习）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到列联表． 性别 感冒 不感冒 总计 男 女 总计 依据表中数据，能否有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关？若把表中所有数据都扩大到原来的倍，此时结论还一样吗？请解释其中原因，并简要说明如何调整调查可使此研究更严谨． 参考数据： 28．（2026高三·全国·专题练习）随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 29．（2026高三·上海·课堂例题）为了调查商户每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，随机选取45家商户进行跟踪调查，其中每日线上销售时间不少于6小时的商户有19家，余下的商户中，每天的销售额不足3万元的占，统计后得到如下列联表： 销售额不少于3万元（户） 销售额不足3万元（户） 合计 线上销售时间不少于6小时 4 19 线上销售时间不足6小时 合计 45 请完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“商户每天销售额与商户每天线上销售时间有关．” 参考公式：，其中. 0.50 0.40 0.25 0.15 0.010 0.05 0.025 0.010 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 30．（2026高三·四川宜宾·开学考试）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）. 测得40只小鼠体重如下（单位：）：（已按从小到大排好） 对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4  26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3 实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2  14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0 附：，其中. 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 (1)求40只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表： 合计 对照组 实验组 合计 (2)根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 31．（2026高二·上海奉贤·期末）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人） 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 50 100 女性 70 100 合计 (1)完成上表，并根据以上数据判断是否有99%的把握认为我市市民网购与性别有关? (2)现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率； 参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 考点6 独立性检验的综合应用 32．（2026·重庆北碚·模拟预测） 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据. 人数分数 学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 (1)若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. (2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附：， . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 33．（2026·河南·模拟预测）新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 (1)请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； (2)从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 34．（2026·河北保定·模拟预测）某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； (2)依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； (3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 35．（2026·四川泸州·模拟预测）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 36．（2026高二·福建厦门·期中）某年举办的福建省城市足球联赛（简称“闽超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“闽超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“闽超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“闽超”联赛 喜欢观看“闽超”联赛 男性 40 140 女性 50 70 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢观看“闽超”联赛与性别有关； (2)用频率估计概率，从喜欢观看“闽超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 37．（河南郑州市第二高级中学等校2025-2026学年高三学期考前质量检测数学试题）某影城想了解观众性别与喜欢的电影类型是否有关，随机调查了300名观众，得到下表： 喜欢生活片 喜欢战争片 男性观众 70 80 女性观众 90 60 (1)根据的独立性检验，分析观众性别与喜欢的电影类型是否有关； (2)从这300名观众中随机选择2名，在已知其中至少有1名女性观众条件下，求这2名观众都喜欢生活片的概率． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 38．（2026高二·内蒙古呼和浩特·阶段检测）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 男 8 14 女 4 24 (1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； (2)依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据：参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $