江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次素质检测数学试题

启东市第一中学2024-2025年度第一学期第一次素质检测 高三数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数满足，则（ ） A.1 B. C. D.2 3.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 4.在中，“”是“”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 6.已知函数，下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7.在中，是的中点且，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 8.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10.已知函数（，）的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的可能取值为（ ） A. B.1 C. D.2 11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在四面体中，是直角三角形，为直角，点，分别是，的中点，且，，，，则（ ） A.平面 B.四面体是鳖臑 C.是四面体外接球球心 D.过、、三点的平面截四面体的外接球，则截面的面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知正方形的边长为2，边，的中点分别为，，则______. 13.在直角平面坐标系中，已知点，，点在二次函数的图像上，且使得的面积为2，若满足条件的点有两个，则实数的取值范围______. 14.已知函数，且对任意恒成立，若角的终边经过点，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求； （2）设是边上一点，且，求证：. 16.如图，中，，，是的中点，，与交于点. （1）用，表示； （2）设，求的值； （3）若，求的最大值. 17.如图，在直四棱柱中，四边形是平行四边形，，，与平面所成的角为. （1）求； （2）求二面角的余弦值. 18.在的内角，，所对的边分别为，，，已知，. （1）若，求； （2）点是外一点，平分，且，求的面积的取值范围. 19.已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.当时，若函数是“恒切函数”，求证：. 考试答案 1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7.C 8.D 9.ACD 10.AD 【解答】解：由图可知函数过点，所以，即， 所以或，， 因为，所以或，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值， 所以，所以， 因为在区间内单调递减，， 所以，所以， 所以， 则或 解得或， 答案AD. 11.ABD 12.1 13. 14.3 【分析】由辅助角公式得表达式，后可得答案. 【解答】解：，其中，. 则，，， 则，则. 故答案为：3. 15.【分析】（1）根据同角的三角函数关系和正弦定理，即可求出和的值. （2）求出，由余弦定理求出，从而，，再由余弦定理求出，由此能证明. 【解答】解：（1）中，，，， ， . 由正弦定理可得，即，. 再根据，可得，故为锐角，故. （2）证明：是边上一点，且，是线段的一个靠近点的三等分点， ， ，，， ， ，， . 16.【分析】（1）由平面向量的线性运算计算即可； （2）由平面向量的线性运算和平面向量基本定理计算可得； （3）由平面向量的数量积与夹角公式计算可得，再由基本不等式即可求最值. 【解答】解：（1）因为是的中点，， 所以； （2）因为，，三点共线， 所以 ， 因为，所以， 由平面向量基本定理可得：，解得， 所以的值为； （3）由（1）知，， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以的最大值. 17.【分析】（1）根据，，利用余弦定理可得，结合已知条件，建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和的方向向量，线面角即可求解； （2）结合（1）的结论和平面的法向量，再求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解. 【解答】解：（1）因为，， 在中，由余弦定理可得， 则， 所以， 则， 又因为为直四棱柱， 所以平面， 所以，，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，则可取， 由题意可知：与平面所成的角为， 所以， 解得，所以. （2）由（1）知：平面的法向量，，， 设平面的法向量为， 则，则可取， 则， 由图可知：二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值. 18.【答案】解：（1）的内角，，所对的边分别为，，，且， ， 又， . 又，，， 故. （2），，，四点共圆， 设， 在和中，由正弦定理得， ， ， ， 令，则 （）， ， 在上单调递增，在上单调递减， ，， 的面积的取值范围为. 19.【解答】解：（1）函数，， 当时，， ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. （2）由，得， 当时，，，， ，且为增函数， 时，，在单调递增； 时，，在单调递减； 当时，，在单调递减， 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递减. （3）证明：当时，函数是“恒切函数”， 且， 设函数与直线切点， 则，， ，， ， ，是方程的根， 设，，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 且， ，， 是方程的根，或， 或 故. 学科网（北京）股份有限公司 $