江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次素质检测数学试题

**基本信息** 启东市第一中学2024-2025高三数学第一次素质检测，以基础与能力梯度设计，融合《九章算术》鳖臑文化传承与导数“恒切函数”创新应用，覆盖集合、复数、立体几何等主干知识，适配高三一轮复习初期检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数模、函数图像变换|第4题结合三角函数考查充分必要条件，体现逻辑推理| |多选题|3/18|三角函数单调性、立体几何判定|第11题以鳖臑为载体，考查线面垂直与外接球，传承数学文化| |填空题|3/15|向量数量积、二次函数图像、三角函数最值|第14题结合三角函数最值与终边过点，考查运算能力| |解答题|5/77|解三角形、立体几何二面角、导数应用|第19题定义“恒切函数”，需论证不等式，培养创新意识|

11.9考试答案 1．已知集合A＝{x|x＞5}，B＝{x|1﹣log2x＜0}，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 故选：A． 2．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则|z|＝（　　） A．1 B． C． D．2 故选：B． 3．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（　　） A．g（x）＝sin2x B． C． D．g（x）＝﹣cos2x 故选：C． 4．（5分）在△ABC中，“∠C＝90°”是“cosA+sinA＝cosB+sinB”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 故选：A． 5．若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（　　） A． B．12π C． D． 故选：A． 6．已知函数，下列函数为奇函数的是（　　） 答案D 7． 在中，是的中点且，则向量在向量上的投影向量（　　） 答案C 8． 若，则的最小值为 答案D 9．设，则下列结论正确的有（　　） 答案ACD 10．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的部分图像如图所示，f（x）在区间内单调递减，则ω的可能取值为（　　） 答案AD 【解答】解：由图可知函数过点（0，1），所以f（0）＝2sinφ＝1，即， 所以或，k∈Z， 因为φ∈（0，2π），所以或，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值， 所以，所以， 因为f（x）在区间内单调递减，， 所以，所以0＜ω≤3， 所以， 则或 解得或， 答案AD 11． 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在四面体S﹣ABC中，△ABC是直角三角形，∠B为直角，点E，F分别是SB，BC的中点，且AE⊥SC，SA＝AB＝2，， BC＝4，则（　　） A．BC⊥平面SAB B．四面体S﹣ABC是鳖臑 C．E是四面体S﹣ABC外接球球心 D．过A、E、F三点的平面截四面体S﹣ABC的外接球，则截面的面积是 答案ABD 12． 已知正方形ABCD的边长为2，边AD，CD的中点分别为E，F，则＝　 　． 答案1 13． 在直角平面坐标系中，已知点，点在二次函数的图像上，且使得 的面积为2，若满足条件的点有两个，则实数的取值范围　 　． 答案 14．已知函数f（x）＝3sinx+4cosx，且f（x）≤f（θ）对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P（4，m），则m＝ 　． 【分析】由辅助角公式得θ表达式，后可得答案． 【解答】解：f（x）＝3sinx+4cosx＝5sin（x+φ），其中，． 则， 则，则． 故答案为：3． 15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，b＝5，cosA＝． （1）求B； （2）设D是AB边上一点，且，求证：CD⊥AB． 【分析】（1）根据同角的三角函数关系和正弦定理，即可求出sinB和B的值． （2）求出cos∠ACB＝cos[π﹣（）]＝﹣cos（）＝，由余弦定理求出AB＝3，从而AD＝，BD＝2，再由余弦定理求出CD＝2，由此能证明CD⊥AB． 【解答】解：（1）△ABC中，∵a＝2，b＝5，cosA＝， ∴sinA＝＝∈（，）， ∴A∈（，）． 由正弦定理可得 ＝，即＝，∴sinB＝． 再根据a＞b，可得A＞B，故B为锐角，故B＝． （2）证明：∵D是AB边上一点，且，∴D是线段AB的一个靠近点A的三等分点， cos∠ACB＝cos[π﹣（）]＝﹣cos（）＝﹣coscosA+sin＝﹣+＝， AB＝＝3，∴AD＝，BD＝2， CD＝＝2， ∴，∴∠BDC＝＝， ∴CD⊥AB． 16．如图，△ABC中，＝，＝，D是AC的中点，，AB与DE交于点M． （Ⅰ）用，表示； （Ⅱ）设，求λ的值； （Ⅲ）若，求∠ACB的最大值． 【分析】（1）由平面向量的线性运算计算即可； （2）由平面向量的线性运算和平面向量基本定理计算可得； （3）由平面向量的数量积与夹角公式计算可得cos∠ACB＝，再由基本不等式即可求最值． 【解答】解：（1）因为D是AC的中点，， 所以＝＝＝＝； （2）因为D，E，M三点共线， 所以＝＝＝， 因为，所以＝， 由平面向量基本定理可得：，解得， 所以λ的值为； （3）由（1）知，， 因为， 所以＝， 所以， 所以＝＝＝＝， 当且仅当，即时等号成立， 因为∠ACB∈[0，π]，所以∠ACB的最大值． 17.如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝2AD＝4，AD与平面C1BD所成的角为45°． （1）求DD1； （2）求二面角A1﹣BC1﹣D的余弦值． 【分析】（1）根据∠BAD＝60°，AB＝2AD＝4，利用余弦定理可得AD⊥DB，结合已知条件，建立空间直角坐标系，设DD1＝t，写出相应点的坐标，求出平面C1BD的法向量和AD的方向向量，线面角即可求解； （2）结合（1）的结论和平面C1BD的法向量，再求出平面A1BC1的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解． 【解答】解：（1）因为∠BAD＝60°，AB＝2AD＝4， 在△BAD中，由余弦定理可得BD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠BAD， 则， 所以AD2+BD2＝AB2， 则AD⊥DB， 又因为ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱， 所以DD1⊥平面ABCD， 所以DD1，DA，DB两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 设DD1＝t，则D（0，0，0），D1（0，0，t），A（2，0，0），，，，A1（2，0，t）， 所以，，， 设平面C1BD的法向量为，则，则可取， 由题意可知：AD与平面C1BD所成的角为45°， 所以， 解得，所以． （2）由（1）知：平面C1BD的法向量，，， 设平面A1BC的法向量为， 则，则可取， 则， 由图可知：二面角A1﹣BC1﹣D为锐二面角， 所以二面角A1﹣BC1﹣D的余弦值． 18.在的内角所对的边分别为，已知，． （1）若，求； （2）点是外一点，平分，且，求的面积的取值范围． 【答案】解：的内角，，所对的边分别为，，，且，  ，  又，  ．  又，，，  故．  ，，，四点共圆，  设，  在和中，由正弦定理得，   ，  ，    ，  令，则  ，  ，  在上单调递增，在上单调递减，  ，，  的面积的取值范围为．  19．已知函数f（x）＝eax﹣x﹣1 （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）若对任意的实数k，b，函数y＝f（x）+kx+b与直线y＝kx+b总相切，则称函数f（x）为“恒切函数”．当a＝1时，若函数是“恒切函数”，求证：． 【解答】解：（1）函数f（x）＝eax﹣x﹣1，f′（x）＝aeax﹣1， 当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1， ∴f′（0）＝0，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 故f（x）有极小值f（0）＝0，无极大值． （2）由f（x）＝eax﹣x﹣1，得f′（x）＝aeax﹣1， 当a＞0时，aeax﹣1＝0，，， ∴，且f′（x）＝aeax﹣1为增函数， ∴时，f′（x）＞0，f（x）在单调递增； 时，f′（x）＜0，f（x）在单调递减； 当a≤0时，f′（x）＝aeax﹣1≤﹣1，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减， 综上，当a＞0时，f（x）在单调递增，在单调递减； 当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减． （3）证明：当a＝1时，函数是“恒切函数”， 且， 设函数y＝g（x）+kx+b与直线y＝kx+b切点（x0，y0）， 则，∴， ∴，∴， ＝， ∵，∴x0是方程的根， 设h（x）＝2ex﹣x﹣2，h′（x）＝2ex﹣1，则， 当时，h′（x）＜0，h（x）单调递减； 当时，h′（x）＞0，h（x）单调递增； 且， h（0）＝2﹣2＝0，， x0是方程h（x）＝2ex﹣x﹣2＝0的根，∴x0＝0或x0∈（﹣2，﹣1）， ∴或 故． 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2024-2025年度第一学期第一次素质检测 高三数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分,命题人：朱海林 审题人：陆海荣） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合A＝{x|x＞5}，B＝{x|1﹣log2x＜0}，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 2．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则|z|＝（　　） A．1 B． C． D．2 3． 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则 g（x）的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，“∠C＝90°”是“cosA+sinA＝cosB+sinB”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（　　） A． B．12π C． D． 6．已知函数，下列函数为奇函数的是（　　） 7． 在中，是的中点且，则向量在向量上的投影向量（　　） 8． 若，则的最小值为 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设，则下列结论正确的有（　　） 10．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的部分图像如图所示，f（x）在区间内单调递减，则ω的可能取值为（　　） 11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在四面体S﹣ABC中，△ABC是直角三角形，∠B为直角，点E，F分别是SB，BC的中点，且AE⊥SC，SA＝AB＝2，， BC＝4，则（　　） A．BC⊥平面SAB B．四面体S﹣ABC是鳖臑 C．E是四面体S﹣ABC外接球球心 D．过A、E、F三点的平面截四面体S﹣ABC的外接球，则截面的面积是 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知正方形ABCD的边长为2，边AD，CD的中点分别为E，F，则＝　 　． 13．在直角平面坐标系中，已知点，点在二次函数的图像上，且使得 的面积为2，若满足条件的点有两个，则实数的取值范围　 　． 14．已知函数f（x）＝3sinx+4cosx，且f（x）≤f（θ）对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P（4，m），则m＝ 　． 四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，b＝5，cosA＝． （1）求B； （2）设D是AB边上一点，且，求证：CD⊥AB． 16．如图，△ABC中，＝，＝，D是AC的中点，，AB与DE交于点M． （1）用，表示； （2）设，求λ的值； （3）若，求∠ACB的最大值． 17．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝2AD＝4，AD与平面C1BD所成的角为45°． （1）求DD1； （2）求二面角A1﹣BC1﹣D的余弦值． 18．在的内角所对的边分别为，已知，． （1）若，求； （2）点是外一点，平分，且，求的面积的取值范围． 19．已知函数f（x）＝eax﹣x﹣1 （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）若对任意的实数k，b，函数y＝f（x）+kx+b与直线y＝kx+b总相切，则称函数f（x）为“恒切函数”．当a＝1时，若函数是“恒切函数”，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $