2026年安徽“c20”联盟合肥市第三十八中学等校中考考前模拟数学试题

数学 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共6页，“答题卷”共2页。 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A,B，C,D四个选项，其 中只有一个是符合题目要求的， 1在实数0,2,6，中，最小的是《) A.0 B.-2 C.-√6 D._1 2 2.2026年全球可再生能源投资报告显示，某新型薄膜太阳能电池的光电转换效率突破世界纪录，达 到26.8%，而其核心光电转换层厚度仅为0.00000015米.数0.00000015用科学记数法表示正确的 是() A.1.5×106 B.1.5×10-7 C.0.15×106 D.1.5×107 3.《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍 甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩 形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为() B 正面 D 4.如图，烧杯中装有适量NaOH溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的PH值变化情 况用图象可近似表示为() 4溶液PH A溶液PH A. 溶液质量/g B 01 溶液质量/g 稀盐酸 溶液PH ◆溶液PH 溶液质量/g 0 溶液质量/g 数学第1页（共6页） 5.在一元一次不等式组 2x+1>0 的解集中，整数解的个数是() x-4≤0 A.3 B.4 C.5 D.6 6.用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A,F,C,D在同一条直线上，∠BC=上DEF'=90°， ∠B=60°，∠D=45°.当AE∥BC时，∠AEF的大小为( A.10° B.15° C.20° D.25° 7.已知点40，)，B(m+1,)嘟在反比例函数y=-心1k为常数的图象上，当m<-1时，则 下列结论一定正确的是() A.1>0>y2 B.>y2>0 C.y<0<y2 D.0<y1<y2 8.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC为⊙O的直径，AD∥BC,过点A作⊙O的切线AE,交CB 的延长线于点E.若∠E=40°，BC=8,则CD的长为() D A.8 B.10 9 C. ” D. 9.已知两个不为零的实数m,n满足m-n=m-1,其中n≠1.则下列结论正确是() n A.m-1=1,m2-4n>0 B.m-1=1,m2-4m<0 C.m-1=-1,m2-4n>0 D.m-1=-1,m2-4n<0 n 10.如图，在矩形ABCD中，AB=2√2，BC=2W2+4,点E,F分别是边AB,BC上的动点，点E 不与A,B重合，且EF=AB,G是五边形AEFCD内满足EG-FG且∠EGF=90°的点，连接DG.DG 的最小值为() D G F A.2W2 B.4 C.2W6 D.6 数学第2页（共6页) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1.计第：-(2-一 12.若am=2,an=3,则a2m-n= 13.考拉兹猜想（又称冰雹猜想、3+1猜想）是全球知名的数学难题，至今未获得证明.其规则为：对任 意正整数，重复以下变换：若它是奇数，则对它乘3加1；若它是偶数，则对它除以2.猜想断 言：无论从哪个正整数开始，最终都会落入“4→2→1→4→2→1..”的循环，也就是一定会走到1.数 学家已验证极大范围内的数均符合该猜想的规律.在正整数1,2,3,4中，随机选取两个不同的 数，分别按上述规则进行一次操作后，两个结果均为偶数的概率是· 14.若关于t的整式P=b,+bt+b22+b3+b4t4的系数b,b1,b2,b3,b4均为整数， 1≤b<b<b2<b<b4,且相邻两个系数的差（后项减前项)满足：对任意-0,1,2,3都有 2≤b+1一b,≤3，则称该整式为递增阶梯整式。当仁1时，整式P的取值称为该“递增阶梯整式” 的全系数和，记作W.请完成下列探究： (1)若某“递增阶梯整式”的相邻系数差均为2，且首项系数b。=1,则该整式的全系数和 W- (2)若某“递增阶梯整式”满足b+b4=17，则所有满足条件的b,的值之和为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 5,先化简。再求值：2m4-m)÷—，其中m=3. m m 16.为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作.若小辰单独完成 全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时.工作时，小辰先单独做了一段时间，之 后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完.从开始到完成全部任务，一共用了4小 时.求小辰参与标注的时间是多少小时？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A2,1)、O(0,0)、B(1,-2). (1)画出将△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1: (2)以原点O为位似中心，相似比为2，在y 轴的左侧，画出将△A1O1B1放大后的△ A202B2; (3)已知△AOB与△A2O2B2是关于某一点P为 位似中心的位似图形，请直接写出点P的 坐标. 数学第3页（共6页) 18.如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树项离水面的高度EF,小高用高1：5m的测量仪在 点A处测得树顶的仰角为45°，在点B处测得树顶的仰角为28°，点A,B是水平地面上两点，且 与点E,F均在同一竖直平面内.已知水平地面离水面的高度为2m,AB=5m,求树顶离水面的高 度EF(结果保留一位小数，sin28≈0.47，cos28e≈0.88，tan280.53) H 、C D水平地面 水面 B 五、（本大题共2小题，每小题10分；满分20分) 19.综合与实践 【项目背景】近年来，真无线蓝牙耳机成为大众常用的数码产品，续航时长是影响用户体验的 核心指标.为验证某款耳机的省电模式优化效果，测评机构在统一的标准测试环境（固定音量、相 同连接状态、统一播放内容)下，对50台同批次的该款耳机，分别在普通模式、省电模式下进行 满电单次续航时长测试，对比验证省电模式的优化效果」 【数据收集与整理】收集这50台耳机在普通模式、省电模式下的单次续航时长（单位：小时， 用x表示续航时长)，并进行分组如下： 组别 A B O B 10sx×1212≤x<1414sx1616s×1818≤20 整理1：耳机在省电模式下的部分续航时长记录如下（含C组全部数据和D,E组部分数据）： 14,14,14,14,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,16,16,16,16,17,17,18,… 整理2：将普通模式下的续航测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将省电模式下的续航 测试成绩绘制成如图②的扇形统计图. 频数 18 18 16 14 B 12 12% 10 10 A8% 8 E 6 D 20% 4 2 1021461820续航时长 图① 图② 整理3：这50台耳机在普通模式下的续航优良率（测试成绩大于或等于16小时为优良）为 20%. 【数据处理和应用】 任务1：者通模式测试成绩在C组的有人，并补全频数分布直方图： 任务省电模式下这50台耳机测试成绩的中位数是，D组对应扇形的圆心角是； 任务3：已知省电模式下的这50台耳机的平均续航为15.8小时；普通模式测试成绩在A,B, C,0,E五组中的平均分分别为，11,13,15,17,19；若省电模式的平均续航比普通模式高出30%， 就认为该省电模式的优化效果卓越.请你通过计算说明该款耳机的省电模式是否达到“效果卓越”？ 数学第4页（共6页) 20.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,在BD上取一 点E,使得AD=DE. (1)求证：AE平分∠BAC: (2)若AE=2V2,AB=8,求AC的长 D 六、（本题满分12分) 21.综合与实践：线段拼接与几何量求和的计数规律探究 【情境引入】有一批小木棒，木棒长度分别为1cm、2cm、3cm、..、100cm(每根木棒长度 为互不相等的正整数，每根木棒仅可使用一次)，将选取的木棒首尾顺次无缝拼接，形成一条新的 线段，新线段的长度即为所选木棒的长度之和.小航同学获得了一次随机选取5根木棒拼接的机 会，他想探究：按规则拼接后，能得到多少种不同长度的线段？为此，小航同学从最简单的情形入 手，开启了如下探究之旅， 【模型建构与探究】 我们遵循“特殊情形入手→逐步递进归纳→验证猜想→通用建模”的思路开展探究. ★探究一：任取2根木棒拼接的长度种数 我们先研究从连续长度的木棒中，选取2根拼接的情况： (1)从长度为1cm、2cm、3cm的3根木棒中，任取2根拼接，能得到多少种不同长度的线段？ 选取的2根木棒 1cm、2cm 1cm、3cm 2cm、3cm 拼接后总长度 3cm 4cm 5cm 从表格中可得结论：拼接后线段的最小长度为3cm,最大长度为5cm,共有3种不同的结果 (2)从长度为1cm、2cm、3cm、4cm的4根木棒中，任取2根拼接，能得到多少种不同长度的线 段？ 选取的 1cm、 1cm、 1cm、 2cm、 2cm、 3cm、 2根木棒 2cm 3cm 4cm 3cm 4cm 4cm 拼接后总长度 3cm 4cm 5cm 5cm 6cm 7cm 从表格中可得结论：拼接后线段的最小长度为3cm,最大长度为7cm, 共有5种不同的结果， (3)从长度为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的5根木棒中，任取2根拼接，这2根木棒拼接后的 长度共有①种不同的结果。 (4)规律猜想：从长度为1cm、2cm、、ncm(n为正整数，且n≥3)的n根木棒中，任取2 根拼接，共有②种不同的长度结果 ★探究二：任取3根木棒拼接的长度种数 我们进一步研究选取3根拼接的情况： (1)从长度为1cm、2cm、3cm、4cm的4根木棒中，任取3根拼接，经操作发现，拼接后线段的 最小长度为6cm,最大长度为9cm,共有4种不同的结果 (2)从长度为1cm、2cm、.、ncm（n为正整数，且n≥4)的n根木棒中，任取3根拼接，猜 想共有③种不同的长度结果. 数学第5页（共6页) ★探究三：任取k根木棒拼接的通用规律 (1)从长度为1cm、2cm、、ncm(n为正整数，且n≥5)的n根木棒中，任取4根拼接，共 有④种不同的长度结果 (2)若从长度为lcm、2cm、.、ncm（n、k为正整数，且>心1)的n根木棒中，任取k根拼 接，共有⑤种不同的长度结果 【拓展延伸】 现有一组线段，长度分别为a、a+1、a+2、.、b(a、b均为正整数，且b>a)·从中任取k 条（心1）首尾拼接，共有共有®种不同的长度结果（用含a、b、k的代数式表示的结果）， 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①；②；③；④-；⑤；⑥】 七、（本题满分12分) 22.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6(a≠0)的图象经过点A(-1,m)、B(3,m). (1)求的值： (2)该二次函数图象的顶点为P,与x轴正半轴交于点C,设点C的横坐标为t.抛物线与x轴 两个交点的横坐标之和为2-4. ()求顶点P的坐标； ()若M(x1,)、N2,)是该二次函数图象上不重合的两点，其中k≠0且k≠8. 求证：k(x1-1)2+(8-k)x1+1)(x2+1)=k(8-). 八、（本题满分14分） 23.已知，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC的中点，点E为BC上一点，AE,BD交于点 F,过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G. D E E 图1 图2 (1)如图1，AE⊥CG: (i)求证：CE=BG; ()求证：CE2=BEBC. (2)如图2，若CE2-BEBC,AC-2,求BG的长. 数学第6页（共6页） 数学参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只 有一个是符合题目要求的， 1.在实数0，-2，-√6，-1中，最小的是() A.0 B.-2 C.-√6 【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得-V6<-2<2<0 故实数0，-2，-6，-1中，最小的是-√6 2 故选： C. 2.2026年全球可再生能源投资报告显示，某新型薄膜太阳能电池的光电转换效率突破世界纪录，达到 26.8%,而其核心光电转换层厚度仅为0.00000015米.数0.00000015用科学记数法表示正确的是( ) A.1.5×106 B.1.5×10-7 C.0.15×106 D.1.5×10 【解答】解：把0.00000015写成ax10(1≤a≤10)，得=1.5；小数点向右移动了7位，原数<1， 故=-7；正确结果：1.5×107米.故选： B. 3.《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍 者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形， 顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为() 正面入 B C. 【解答】解：俯视图为： 数学参考答案第1页（共19页） 故选： B 4.如图，烧杯中装有适量NOH溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的PH值变化情况用 图象可近似表示为() 稀盐酸 溶液PH 溶液PH A 0 溶液质量/g B 0 溶液质量/g ◆溶液PH ◆溶液PH C. 溶液质量/g D. 溶液质量/g 【解答】解：选项A:PH从小于7开始上升，不符合初始碱性的情况，故本选项不符合题意； 选项B:PH始终不变，不符合中和反应的变化，故本选项不符合题意： 选项C:PH从大于7开始，逐渐减小至小于7，符合上述变化规律，故本选项符合题意： 选项D:PH最终稳定在7，不符合盐酸过量后呈酸性的情况，故本选项不符合题意、 故选： C. 2x+1>0 5.在一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是() x-4≤0 A.3 B.4 C.5 D.6 【解答】解： 2x+1>0① x-4≤0② ·解不等式①得：x> 2 解不等式②得：x≤4， 日不等式组的解集为人x≤4 ∴.不等式组的整数解为0,1,2,3,4，共5个， 故选： C. 6.用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A,F,C,D在同一条直线上，∠BAC=∠DEF=90°， B=60°，∠D=45°.当AE∥BC时，∠AEF的大小为() 数学参考答案第2页（共19页） A.10° B.15° C.20° D.25° 【解答】解：在△ABC中，∠BAC-90°，∠B=60°， ∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠B=30°， AEl/BC, .∠EAC=∠ACB=30°， ,在△DEF中，∠DEF=90°，∠D-45°， ∴.∠DFE=180°-∠DEF-∠D-45° ,∠DFE是△AEF的外角， .'.∠DFE=∠EAC+∠AEF, ∴.45=30+∠AEF, ,.∠AEF=15° 故选： B. 7.已知点40m,),Bm+1,与)部在反比例函数y=-+1k为常数的图象上，当m<-1时，则下 列结论一定正确的是() A.y1>0>y3 B.y1>y3>0 C.y1<0<y2 D.0<y1<y2 【解答】解：k2≥0，.2+1>0，则-(2+1)<0， '函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， 己知<-1，则：<+1<0 ∴A(,y),B(+1,y2)均在第二象限， 第二象限内y>0,且y随x增大而增大， 又K+1<0, 故0<<y· 故选： D. 8.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC为⊙O的直径，AD∥BC,过点A作⊙O的切线AE,交CB的 延长线于点E.若∠E=40°，BC=8,则CD的长为() 数学参考答案第3页（共19页） D 4 C. D. 【解答】解：如图，连接OA,OD, y D E ,AE是⊙O的切线，A为切点， ..OA AF, ∴.∠OAE=90°， 在Rt△OAE中，∠E-40°， .'.∠AOE=90°-∠E=50°， AD∥BC, ∴.∠OAD=∠AOE-50°， .OA=OD, .∴.∠ODA=∠OAD=50°， ∴.∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA-80°， .'.∠COD=180°-∠AOE-∠AOD=180°-50°-80°=50°， ,BC=8, .⊙0的半径=0C=1BC-4, 2 CD的长=50×元×4_10 180 9 故选： B. 9.己知两个不为零的实数，n满足m-n=m-1,其中≠1.则下列结论正确是() n A.m-1=1,m2-42>0 B.m-1=1,m2-4<0 n c.m-1=-1,m2-4>0 D.-1=-1,m2-4n<0 n n 数学参考答案第4页（共19页) 【解答】解：：m-n=m-, .-n2=-1, ,∴.-n2+1=0, .(1)(n-1)+1)）=0, ∴.(-1)--1)=0 ,n≠1， ,∴.--1=0， .∴.m-F1, :m-1-1, n 由=t1,代入m2-4n得： (0t1)2-41=n2+2t1-4=(0m-1)2 n≠1， .(-1)2>0,即m2-4>0.故选：A. 10.如图，在矩形ABCD中，AB=22,BC=22+4,点E,F分别是边AB,BC上的动点，点E不与 A,B重合，且EF=AB,G是五边形AEFCD内满足EG=FG且∠EGF=90的点，连接DG.DG的最小 值为() D G E B A.2W2 B.4 C.2W6 D.6 【解答】解：如图I,过G作GMLAB,GN⊥BC,分别交AB于M交BC于N, D G M E B NF 四边形ABCD是矩形， .∠B=90°， 过点G作GMLAB于M,GNLBC于N, ∴.∠GMB=∠GNF=90°， 数学参考答案第5页（共19页) ,EG=FG,∠EGF=90° ∴，△EGF是等腰直角三角形，∠GEF=∠GFE-45°， ,在Rt△BEF中，∠BEF+∠EFB-=90°， ∴.∠BEF=90°-∠EFB, ,'∠GEME180°-∠BEF-∠GEF=180°-(90°-∠EFB)-45-45+∠EFB, ∠GFN=∠EFB+∠GFE=∠EFB+45°， ∴.∠GEME∠GFN, 在△GEM和△GN中：∠GME=∠GNF,∠GE=∠GN,GE=GF, ∴.△GEM≌△GFN(AAS9, ∴.GMGN, 又，GM⊥AB,GN⊥BC, .点G在∠ABC的角平分线上， ,EF=AB=2W2,△EGF是等腰直角三角形， ∴.由勾股定理：EG+FG=EF2,又EG=FG, .2EG2=(2W2)2=8,解得EG=2, ,'在Rt△GEM中，GKEG, .GM的最大值为2，当且仅当E与M重合时取等号， 当GM2时，GN=GM=2,且EM=FN=0,即E与M重合，F与N重合， 此时GE⊥AB,GF⊥BC,四边形BMGN是正方形，且BG最大， ,点G在∠ABC的角平分线上， BG最大时，DG的长最小， 如图，当GF⊥BC时，延长FG交AD于点H, .∴.GH⊥AD, H D E G F ,四边形ABCD是矩形， .AD=BC=2W2+4,AB=CD=2W2,∠A=90°， .四边形AMGH是矩形， 数学参考答案第6页（共19页) .BM-GM2, ∴AM作AB-BM=2√2-2， .GH-AM=212-2,AH-GM2, .AD=BC=2W2+4, ∴.HD=AD-AH=2W2+4-2=2W2+2, ,GH⊥AD, .△GHD是直角三角形， 由勾股定理：DG=√GH2+HD2=V(22-2)2+(2W2+2)2=2W6 故选： C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.计算： 【解答】解：、 (1 故答案为：号 12.若am=2,an=3,则a2m-n= 【解答】解：am=2,an=3, a2m-n=a2m÷a”=(am2÷an=22÷3= 故答案为：等 13.考拉兹猜想（又称冰雹猜想、3+1猜想）是全球知名的数学难题，至今未获得证明.其规则为：对任意 正整数n,重复以下变换：若它是奇数，则对它乘3加1；若它是偶数，则对它除以2.猜想断言：无 论从哪个正整数开始，最终都会落入4→2→1→4→2→1..”的循环，也就是一定会走到1.数学家已 验证极大范围内的数均符合该猜想的规律.在正整数1,2,3,4中，随机选取两个不同的数，分别 按上述规则进行一次操作后，两个结果均为偶数的概率是一· 【解答】解：按考拉兹规则计算一次操作结果 1是奇数，.3×1+1=4（偶数） ,2是偶数，.22=1（奇数）. ,3是奇数，∴.3×3+1=10（偶数） .4是偶数，.4÷2=2（偶数） 数学参考答案第7页（共19页） 从1,2,3,4中随机选两个不同数， 共有：1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，3,4)，共6种等可能结果. 题目要求：两个数操作后都为偶数， 满足的组合为：(1,3)，(1,4)，(3,4)共3种， ·P(两个结果均为偶数)=3-1 62 故答案为：} 14.若关于t的整式P=b+bt+bt2+bt3+b4t4的系数b,b,b2,b3,b4均为整数，1≤b<b<b2<b3<b4, 且相邻两个系数的差（后项减前项）满足：对任意=0,1,2,3都有2≤b+1-b.≤3，则称该整式 为递增阶梯整式.当仁1时，整式P的取值称为该“递增阶梯整式”的全系数和，记作W.请完成下 列探究： (1)若某“递增阶梯整式”的相邻系数差均为2，且首项系数b,=1,则该整式的全系数和W= (2)若某“递增阶梯整式”满足b,+b4=17,则所有满足条件的b,的值之和为 【解答】(1)解：，相邻系数差均为2，且首项系数b=1, ∴.可得各系数依次为：b=1,b=1+2=3,b=3+2=5,b3=5+2=7,b4=7+2=9, ∴.全系数和W=1+3+5+7+9=25. (2)设相邻系数的差为d=b+1-b(-0,1,2,3), .'2≤b+1-bn≤3， ∴.d只能取2或3，且4个差的总和为D=d+d+d2+d3=b4-b· :b+b4=17, .b4=17-b0 ∴.D=b4-b=17-2b, 由2≤bx+1-bx≤3得4×2≤D≤4×3，即8≤17-2b≤12， 解得：2.5≤b≤4.5， b为整数， .b可取3,4， 数学参考答案第8页（共19页） ∴.所有满足条件的b的值之和为3+47. 故答案为：(1)25；(2)7. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分】 15.先化简，再求值：2-4 4-mm2-4m+4,其中m= 【解答】解：2m-4 m÷m2-4m+4 ·····1分 =2、-4 ···...1分 mm2-4+4 =0m+2)(m-2) u (0L-2)3 ······2分 =M+2 -2 ······2分 52 当m=时，原式= =9. ··.·，.2分 16.为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作.若小辰单独完成全 部标注，需要6小时：若小泽单独完成，需要3小时.工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去 协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完.从开始到完成全部任务，一共用了4小时.求 小辰参与标注的时间是多少小时？ 【解答】解：设小辰参与标注的时间为x小时， ······1分 由题意得：x+4-)=1, ·····。3分 6 3 解得：x=2. ······3分 答：小辰参与标注的时间为2小时.······1分 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2,1)、O(0,0)、B(1,-2). (1)画出将△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1: (2)以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△A1O1B1放大后的△AOB2: (3)已知△AOB与△AOB2是关于某一点P为位似中心的位似图形，请直接写出点P的坐标. 数学参考答案第9页（共19页) 【解答】解：(1)如图，△A1O1B1即为所作 ·····.3分 (2)如图，△AOB2即为所作： ····3分 0 B (3)P点的坐标为(6，-2). ······2分 18.如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度F,小高用高1.5m的测量仪在点A 处测得树顶的仰角为45°，在点B处测得树顶的仰角为28°，点A,B是水平地面上两点，且与点E, F均在同一竖直平面内.己知水平地面离水面的高度为2m,AB=5,求树顶离水面的高度EF（结果 保留一位小数，sin28≈0.47，c0s28≈0.88，tan280.53) H的. C D水平地面 :水面 A 【解答】解：如图，过点A作AM⊥EF于点M, H的. C D水平地面 M:永面本 B 由题意得：MF=2,∠ECH=45°，∠EDH=28°，AC=BD=HM=1.5,AB=CD=5I,,·2 分 数学参考答案第10页（共19页) .'∠ECH=45°，∠EHC=90°， ∴.△CHE是等腰直角三角形， 设EH=CH=x, ,∠EDH=28°， ∴tantEDH EH Dix45≈0.53， X 解得：x≈5.6（经检验，是分式方程的解，且符合题意），······2分 ∴.EF=EH+HMMF=5.6+1.5+2=9.1(m),·····,1分 .树顶离水面的高度EF为91m.······1分 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.综合与实践 【项目背景】近年来，真无线蓝牙耳机成为大众常用的数码产品，续航时长是影响用户体验的核心 指标.为验证某款耳机的省电模式优化效果，测评机构在统一的标准测试环境（固定音量、相同连接状 态、统一播放内容)下，对50台同批次的该款耳机，分别在普通模式、省电模式下进行满电单次续航时 长测试，对比验证省电模式的优化效果 【数据收集与整理】收集这50台耳机在普通模式、省电模式下的单次续航时长（单位：小时，用x 表示续航时长)，并进行分组如下： 组别 A B 0 D E 10sx<12 12≤x<14 14sx<16 16≤x<18 18x<20 整理1：耳机在省电模式下的部分续航时长记录如下（含C,D组全部数据和E组部分数据）：14， 14,14,14,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,16,16,16,16,17,17,18, 整理2：将普通模式下的续航测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将省电模式下的续航测试 成绩绘制成如图②的扇形统计图. 个频数 18 18 16 X B 12 12% 10 10 A8% 8 E 6 D 20% 4 2 101214161820续航时长 图① 图② 整理3：这50台耳机在普通模式下的续航优良率（测试成绩大于或等于16小时为优良）为20%： 【数据处理和应用】 数学参考答案第11页（共19页) 任务1：普通模式测试成绩在C组的有 人，并补全频数分布直方图； 任务2：省电模式下这50台耳机测试成绩的中位数是 ,D组对应扇形的圆心角是°： 任务3：已知省电模式下的这50台耳机的平均续航为15.8小时；普通模式测试成绩在A,B,C, D,E五组中的平均分分别为11,13,15,17,19：若省电模式的平均续航比普通模式高出30%，就认 为该省电模式的优化效果卓越.请你通过计算说明该款耳机的省电模式是否达到“效果卓越”？ 【解答】解：任务1普通模式总测试耳机数为50台，已知优良率（续航≥16小时）为20%，因此 D、E组总人数为50×20%=10人.已知E组频数为4，因此D组人数为10-4=6人： C组人数为总人数减去其余各组：50-10-18-6-4=12人. ······1分 补全频数分布直方图： 不频数 18 18 16- 14- 12 12 10 10 8 6 6 4 1012 14161820续航时长 图① ·····.1分 任务2 省电模式各组人数：A组：50×8%-4人；B组：50×12%6人：E组：50×206-10人；C、D组总人 数：50-4-6-10=30人， 根据整理1的C、D组全部数据，C组(14x<16)的数为4个14、10个15，共14人，因此D组 人数为30-14=16人. 50个数据的中位数为第25、26个数的平均数： 前A+B组累计10人，C组累计14人，到C组结束累计24人，因此第25、26个数均在D组 (16s<18),最小为16，因此中位数为16+16=16. 2 ······2分 D组圆心角计算D组占比为：16=32%，对应圆心角为360°×32%115.2° 50 ··。···2分 任务3 普通模式的平均续航时长：10×11+18×13+12×15+6×17+4×19 14.04小时 ······2分 50 “效果卓越”的要求是省电模式平均续航比普通模式高30%，即普通模式平均的1.3倍： 14.04×1.3=18.252小时 已知省电模式平均续航为15.8小时，15.8<18.252， 数学参考答案第12页（共19页) 因此该款耳机的省电模式没有达到“效果卓越.······1分 20.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,在BD上取一点E, 使得AD=DE. (1)求证：AE平分∠BAC: (2)若AE=2W2,AB=8,求AC的长. D 【解答】(1)证明，AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°.···，..1分 .AD=DE, .△ADE为等腰直角三角形， .∠DAE=∠DEA=45°.······1分 ,BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD, 又∠CBD=∠CAD, ∴.∠ABD=∠CA D.··。··,1分 ,∠DEA=∠BAE+∠ABD=45°，且∠DAE=∠CAD+∠CAE=∠ABD+∠CAE-45°，······1s分 .∠BAE=∠CAE,即AE平分∠BA C..·..··1分 (2)解：在等腰直角△ADE中，AE=2√2， 六4D=4Bm∠D8A=22x5-2..·.1分 2 连接OD交AC于F, D E ∠ABDF∠CBD, 数学参考答案第13页（共19页) .弧AD=弧CD, .OD⊥AC且AC=2AF.·.····1分 ,AB=8, .OA=0D=4, 设DF=x,则OF=4-x. Rt△AFD中，AFP=AD-D-4-x2: Rt△AF0中，AFP-OA2-OP=16-(4-x)2=8x-x2.···.·.1分 联立得4=8x2,解得x=1 2 .AF L2-V15 2 .AC=2AF=√15......，1分 六、（本题满分12分） 21.综合与实践：线段拼接与几何量求和的计数规律探究 【情境引入】有一批小木棒，木棒长度分别为1cm、2cm、3cm、..、100cm(每根木棒长度为互不 相等的正整数，每根木棒仅可使用一次)·将选取的木棒首尾顺次无缝拼接，形成一条新的线段，新线 段的长度即为所选木棒的长度之和.小航同学获得了一次随机选取5根木棒拼接的机会，他想探究：按 规则拼接后，能得到多少种不同长度的线段？为此，小航同学从最简单的情形入手，开启了如下探究之 旅。 【模型建构与探究】 我们遵循“特殊情形入手→逐步递进归纳→验证猜想→通用建模”的思路开展探究 ★探究一：任取2根木棒拼接的长度种数 我们先研究从连续长度的木棒中，选取2根拼接的情况： (1)从长度为1cm、2cm、3cm的3根木棒中，任取2根拼接，能得到多少种不同长度的线段？ 选取的2根木棒 1cm、2cm 1cm、3cm 2cm、3cm 拼接后总长度 3cm 4cm 5cm 从表格中可得结论：拼接后线段的最小长度为3cm,最大长度为5cm,共有3种不同的结果 (2)从长度为1cm、2cm、3cm、4cm的4根木棒中，任取2根拼接，能得到多少种不同长度的线段？ 选取的2根木 1cm 1cm, 1cm、 2cm、 2cm、 3cm、 棒 2cm 3cm 4cm 3cm 4cm 4cm 拼接后总长度 3cm 4cm 5cm 5cm 6cm 7cm 数学参考答案 第14页（共19页) 从表格中可得结论：拼接后线段的最小长度为3cm,最大长度为7cm,共有5种不同的结果 (3)从长度为lcm、2cm、3cm、4cm、5cm的5根木棒中，任取2根拼接，这2根木棒拼接后的长 度共 有①种不同的结果 (4)规律猜想：从长度为1cm、2cm、、ncm(n为正整数，且n≥3)的n根木棒中，任取2根拼 接，共有②种不同的长度结果. ★探究二：任取3根木棒拼接的长度种数 我们进一步研究选取3根拼接的情况： (1)从长度为1cm、2cm、3cm、4cm的4根木棒中，任取3根拼接，经操作发现，拼接后线段的最 小长度为6cm,最大长度为9cm,共有4种不同的结果， (2)从长度为1cm、2cm、.、ncm(n为正整数，且n≥4)的n根木棒中，任取3根拼接，猜想共 有 ③种不同的长度结果， ★探究三：任取k根木棒拼接的通用规律 (1)从长度为lcm、2cm、.、ncm(n为正整数，且n≥5)的n根木棒中，任取4根拼接，共有④ 种不同的长度结果. (2)若从长度为lcm、2cm、、ncm(n、k为正整数，且心>l)的n根木棒中，任取k根拼接， 共有 ⑤种不同的长度结果. 【拓展延伸】 现有一组线段，长度分别为、t1、t2、.、b(a、b均为正整数，且b>a).从中任取k条(>1) 首尾拼接，共有共有⑥种不同的长度结果（用含a、b、k的代数式表示的结果）. 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_；②；③；④；⑤；⑥」 【解答】解：①7；②213；③3m8;④4r-15:⑤k)+1;⑥k(b+1)+1.····每空2分 七、（本题满分12分） 22.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+6(a≠0)的图象经过点A(-1,m)、B(3,m. (1)求的值： a (2)该二次函数图象的顶点为P,与x轴正半轴交于点C,设点C的横坐标为t.抛物线与x轴两个 交点的横坐标之和为2t-4. (i)求顶点P的坐标： 数学参考答案第15页（共19页) (ii)若Mx1,府、Nx2,是该二次函数图象上不重合的两点，其中k≠0且k≠8. 求证：k(x1-1)2+(8-)K1+1)(x2+1)=k(8-) 【解答】解：(1)，点A(-1,心)、B(3,纵坐标相等， 一抛物线对称轴为直线x= b-1+3=1, 2a2 ····、·2分 =-2 ······1分 a (2)()解：由(1)知，抛物线对称轴为直线x=1, ∴.抛物线与x轴两个交点的横坐标之和为2， .2t-4=2, 解得3，即C(3,0). 由（1)得b=-2a,抛物线为y=2-2ax+6, 将C3,0)代入得：9a-6t6=0, 解得-2，则4，······2分 .二次函数表达式为：y=-2x2+4x+6, ,抛物线对称轴为=1， ∴.顶点纵坐标为y=-2×1+4×1+6-8, ∴.顶点P的坐标为(1,8)； ······2分 (i词)证明：·M1,)、Nx2,)在抛物线上， ∴.x1、x2是方程-2x2+4x+6=k的两个不相等实根， 整理方程得：2x2-4x+(k--0,······1分 .1+x2=2,X1x2=2k-6, K1+106+1)=xx+xt+1=k,6+2+1= 2 ·····1分 由=-2x12+4x1+6,得8-=2x12-4x1+2=2(x1-1)2, x1-)2=8-k 2 ·····。2分 “等式左边=k8,+8-)有=8-)=右边， 2 等式成立 ·····.1分 八、（本题满分14分） 23.己知，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC的中点，点E为BC上一点，AE,BD交于点F, 过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G. 数学参考答案第16页（共19页) G G D 0 E E 图1 图2 (1)如图1，AFLCG. (i)求证：CE=BG: (ii)求证：CE=BEB C. (2)如图2，若CE2=BEBC,AC=2,求BG的长. 【解答】解：(1)(i),△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴.AC=BC, BG⊥BC, ∴.∠CBG=90=∠ACB, ······1分 ,AE⊥CG ∴.∠AFC=90°， .∠CAE+∠ACF=90°， 又，∠BCG+∠ACF=∠ACB=90°， .∠CAE=∠BCG, ····2分 在△ACE和△CBG中：∠CAE=∠BCG,AC=CB,∠ACE=∠CBG ∴.△ACE≌△CBG(ASA), ∴.CE=BG; ···。。,1分 (ii)求证：，D为AC中点，∠AFC=90°， .在Rt△AFC中，CD=DF, ∴.∠DCF=∠DFC, .'∠DFC-∠BFG,∠DCF-∠CAE, 由(i)知△ACE≌△CBG, .∠CAE=∠G, ∴.∠BFG∠G, .BF=BG, ··...2分 又，CE=BG, .BF=CE(等量代换)，···.··1分 ,AE⊥CG, 数学参考答案第17页（共19页) ∴.∠CFE=90°， ∴.在Rt△CFE中，∠BCF+∠CEF=90°. 又，∠ACB=90°， .在Rt△ACE中，∠CAE+∠CEF=90°， ∴.∠BCF=∠CAE, ······1分 .CD=DF, ∴.∠CAE=∠AFD, 又，∠AFD=∠BFE, ∴.∠BCF=∠BFE. 在△BEF和△BCF中：∠BCF=∠BFE,∠EBF=∠CBF, .△BEF∽△BCF, ······1分 ..BF2=BE-BC, ∴.CE2=BEBC: ..,,。.1分 (2),点E在线段BC上，且满足CE=BEBC, 点E是线段BC的黄金分割点， .BE5-1 CE2 ·····.1分 延长AE交GB的延长线于点H, G B E H ∠ACB=90°，BG⊥BC, .∠ACB=∠CBH=90°， AC∥BH, .'.△ACE∽△HBE, .BH=BE5-1 ·ACCE-2 ,等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC2, 数学参考答案第18页（共19页) BH=5-1,·:····2分 AC∥BH, .△CDF∽△BGF, ..CD Dr BG BF 同理，ADDF BH BF D为AC中点， ∴.AD=CD, .CD_AD BG BH' BG=BH=V5-1.······2分 数学参考答案第19页（共19页)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16. 数学 答题卡 考证号 得 分 座位序号 000]00000000 11711 1101 贴条形码区 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 考生缺考考生，由监考员贴条形码， 禁填并用28铅笔填涂右面的缺考标记 17. 9] 999 9 1.答题前，考生先将自己的姓名、考场座位号填写清楚，并认真核准条 (1) 正确填涂 形码上的考场座位号、姓名及科目。 填涂样例 ■ 2,选择题郁分必须使用2B铅笔填途：非选择题部分必须使用0.5毫米 错误填涂 注意事 的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 ☑☒ 3请按服题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的 (2) ▣办号 答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 解 4保持卡面清洁、不折叠、不破损。 一、选择题 (请用2B铅笔填涂) 1四B®©D 5囚回回回 9四回闷回 2囚⑧©回 6囚回网可 10四⑧回回 3四回回可 7囚⑧回回 4囚回回可 8囚⑧©D (3) 二、 填空题： (本题共4小题，每小题5分， 共20分) 器 11. 12. 18. 13. 14.(1) HA. D水平地面 (2) 水面 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 都 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 个频数 18 4 10 8 420 4 101214161820绕航时长 图① 20. D (1) 5 B (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 六、（本题满分12分） 七、（本题满分12分）》 八、（本题满分14分） 21. 22. 23. (1) (1) 茶学 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第2页（共2页） ■