题海探秘07 离散型随机变量的均值讲义-2025-2026学年高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版选择性必修第三册）

2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘07 离散型随机变量的均值 5考点复习指南 知识点01：离散型随机变量的均值 （1）离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. （2）离散型随机变量的均值的深层理解 ①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. ②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. ③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. （3）两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 （4）均值的性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. 知识点02：样本均值与离散型随机变量均值的比较 （1）样本均值 样本数据；；；；记 均值：，其中. （2）离散型随机变量均值 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 知识点03：求离散型随机变量的均值步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 考点1 两点分布的均值 1．（2026高二·河北石家庄·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 2．（2026高二·山西·期中）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 3．（2026高二·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 4．（2026高二·广东惠州·阶段检测）若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 5．（2026高二·山西朔州·月考）已知随机变量X服从两点分布，，则______，______. 6．（2026高二·全国·单元测试）在掷一枚图钉的随机试验中，令，若随机变量的分布为，则___________. 7．（2026高二·广东深圳·月考）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 考点2 求离散型随机变量的均值 8．（2026高二·广东广州·期中）设随机变量X的分布列为（，4，7），则______． 9．（2026高二·山东潍坊·月考）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中女生的人数，则为______ 10．（2026·上海金山·模拟预测）已知随机变量的分布为，则期望__________． 11．（2026·湖北黄冈·模拟预测）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 12．（2026高三·海南·月考）竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关. (1)请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； (2)以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望. 13．（2026·安徽宿州·模拟预测）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 14．（2026高三·湖北武汉·期末）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 15．（2026高二·江苏镇江·期中）镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字1到6的六个大小,形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，奖励的金额为三个小球上的最大数字的50倍人民币，用表示获得的奖金数额． (1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率； (2)在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求的概率； (3)计算随机变量的分布列与数学期望． 16．（2026高二·山东临沂·期中）随机变量的分布列如表：则的取值范围是（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 17．（2026高二·浙江台州·期中）已知随机变量的分布列为 5 0.2 0.3 0.3 0.2 若在内变化，当的数学期望取得最小值时，______. 考点3 离散型随机变量均值性质 18．（2026高二·安徽六安·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 则（   ） A． B．1 C．2 D．3 19．（2026高二·北京海淀·期中）设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 20．（2026高二·浙江舟山·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 21．（2026·云南昭通·模拟预测）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 22．（2026高二·浙江台州·期中）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 (1)求的值； (2)求； (3)求. 23．【多选】（2026高二·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 考点4 由离散型随机变量的均值求参数 24．（2026高二·吉林·期中）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 5 P 若，则值为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 25．（2026·福建厦门·模拟预测）随机变量X的分布列为，.若，则（    ） A． B． C． D． 26．（2026高二·山东临沂·期中）若随机变量取所有的值是等可能的，且，则（    ） A． B． C． D． 27．（2026高二·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 28．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 1 2 3 且，若，则________，________． 29．（2026·四川）设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝__. 30．（2026高二·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点5 均值的实际应用 31．（2026·山西运城·模拟预测）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 32．（2026高三·陕西西安·阶段检测）为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)记随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望； (2)在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分比乙队得分高的概率. 33．（2026高二·江苏徐州·期中）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节是否通过相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (2)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 34．（2026·江苏镇江·模拟预测）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 35．（2026高二·重庆·期中）学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数学、英语三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答语文、数学、英语这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 36．（2026·陕西榆林·模拟预测）随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. (1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； (2)经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 37．（2026·河南·模拟预测）某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”.文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第次猜中得（）分（），若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数的均值为. (1)求乙猜2次的概率； (2)记乙猜谜语的次数的均值为，若，求的取值范围； (3)已知，且甲最终的得分为，若，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？ 38．（2026高二·吉林·期中）2024年被业界公认为“具身智能元年”得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.某中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为、、，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至少有2人通过第一轮的概率； (2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘07 离散型随机变量的均值 5考点复习指南 知识点01：离散型随机变量的均值 （1）离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布为： … … … … 则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. （2）离散型随机变量的均值的深层理解 ①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即. ②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. ③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态. （3）两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 （4）均值的性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. 知识点02：样本均值与离散型随机变量均值的比较 （1）样本均值 样本数据；；；；记 均值：，其中. （2）离散型随机变量均值 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 知识点03：求离散型随机变量的均值步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 考点1 两点分布的均值 1．（2026高二·河北石家庄·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【答案】/ 【分析】直接根据两点分布的期望公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，. . 2．（2026高二·山西·期中）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 【答案】A 【分析】首先求的取值，再求其概率，最后代入期望公式. 【详解】由条件可知，，，， 所以. 3．（2026高二·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 4．（2026高二·广东惠州·阶段检测）若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 【答案】/ 【分析】根据两点分布可得，再结合已知可得，进而可求. 【详解】∵随机变量X服从分布，且， ∴， ∴， 所以 故答案为： 5．（2026高二·山西朔州·月考）已知随机变量X服从两点分布，，则______，______. 【答案】 0.66 0.34 【分析】由两点分布的性质及期望公式即可得出结论. 【详解】由两点分布可知， . 故答案为：0.66;0.34. 6．（2026高二·全国·单元测试）在掷一枚图钉的随机试验中，令，若随机变量的分布为，则___________. 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质可求得，根据数学期望公式可求得结果. 【详解】，，. 故答案为：. 7．（2026高二·广东深圳·月考）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解. 【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布， 所以， 则，解得或， 又因， 所以，则， 所以. 故选：C. 考点2 求离散型随机变量的均值 8．（2026高二·广东广州·期中）设随机变量X的分布列为（，4，7），则______． 【答案】4 【详解】依题意，. 9．（2026高二·山东潍坊·月考）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中女生的人数，则为______ 【答案】 【分析】先由题意得到的可能取值为，分别求出其对应概率，进而可求出其期望. 【详解】由题意，的可能取值为 由题中数据可得：， ， ， 所以. 10．（2026·上海金山·模拟预测）已知随机变量的分布为，则期望__________． 【答案】2 【详解】由，解得， 所以. 11．（2026·湖北黄冈·模拟预测）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 12．（2026高三·海南·月考）竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关. (1)请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； (2)以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望. 【答案】(1)甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为 (2) 0 1 2 3 0.2 0.32 0.24 0.24 【详解】（1）若甲闯第一关，乙闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为， 若乙闯第一关，甲闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为， 由于，则应该安排甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为. （2）由（1）知，安排甲闯第一关，乙闯第二关，而的可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.2 0.32 0.24 0.24 则. 13．（2026·安徽宿州·模拟预测）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 14．（2026高三·湖北武汉·期末）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； （2）由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 15．（2026高二·江苏镇江·期中）镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字1到6的六个大小,形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，奖励的金额为三个小球上的最大数字的50倍人民币，用表示获得的奖金数额． (1)求取出的三个球的标号和为奇数的概率； (2)在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求的概率； (3)计算随机变量的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列的分布列为： 150 200 250 300 数学期望为 【分析】（1）三个球的标号和为奇数有一个奇数两个偶数和三个奇数，有种，再由古典概型求概率； （2）根据条件概率求解； （3）随机变量的取值为：，计算出分布列，即可求解数学期望． 【详解】（1）记事件：取出的三个球的标号和为奇数， 则取出的三个球的标号和为奇数有两种情况，①三个奇数；②一个奇数和两个偶数， 则． （2）事件， 则． （3）随机变量的取值为：， ， ， 的分布列为： 150 200 250 300 ． 16．（2026高二·山东临沂·期中）随机变量的分布列如表：则的取值范围是（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，故， 故， 而即，故， 故. 17．（2026高二·浙江台州·期中）已知随机变量的分布列为 5 0.2 0.3 0.3 0.2 若在内变化，当的数学期望取得最小值时，______. 【答案】 【详解】由题意得， 令，根据二次函数性质可知对称轴为， 而，可得此时取得最小值. 考点3 离散型随机变量均值性质 18．（2026高二·安徽六安·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据概率之和为1求出，再根据期望公式求解即可. 【详解】由题意知，，解得， 所以， 故. 19．（2026高二·北京海淀·期中）设随机变量的分布列如下： 2 3 6 则__________；若，则__________. 【答案】 【详解】，， 所以 20．（2026高二·浙江舟山·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 【答案】/ 【详解】因为， 所以． 21．（2026·云南昭通·模拟预测）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为， 因此 . 因为，解得. 则，进而. 22．（2026高二·浙江台州·期中）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 (1)求的值； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），； （2）； （3）. 所以 23．【多选】（2026高二·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，由分布列的性质求解判断；对B，由分布列求解判断；对C，先求出，再根据均值的性质求解；对D，根据条件概率公式计算. 【详解】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 考点4 由离散型随机变量的均值求参数 24．（2026高二·吉林·期中）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 5 P 若，则值为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【详解】依题意可得， 而，则，解得. 25．（2026·福建厦门·模拟预测）随机变量X的分布列为，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量X的分布列为，， 所以，即，又因为， 所以，解得. 26．（2026高二·山东临沂·期中）若随机变量取所有的值是等可能的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为随机变量取所有的值是等可能的，即， 所以，解得. 27．（2026高二·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质，得，所以； 所以的均值为 ，解得. 28．（2026高二·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 1 2 3 且，若，则________，________． 【答案】 【分析】利用均值公式求解第一空，利用均值的性质求解第二空即可. 【详解】由均值公式得， 因为，所以．解得． 故答案为：； 29．（2026·四川）设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4. ．又X的均值，则＝__. 【答案】 【分析】根据概率和为1和均值的定义列出关于的方程组，解出即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 解得，，所以， 故答案为：. 30．（2026高二·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】离散随机变量可能取的值为1，2，3， （）， 故的数学期望①， 而且② ①②联立方程组，，解得： 则. 故选：D 考点5 均值的实际应用 31．（2026·山西运城·模拟预测）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 【答案】(1)0.28 (2)0.352 (3)1.2． 【详解】（1）设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. （2）设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. （3）根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 32．（2026高三·陕西西安·阶段检测）为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)记随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望； (2)在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分比乙队得分高的概率. 【答案】(1) 0 10 20 30 . (2). 【分析】（1）由题意知的所有可能取值为0，10，20，30，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解； （2）记“甲､乙两队总得分之和等于30分”为事件，“甲队得分比乙队得分高”为事件，利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）题意知的所有可能取值为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 0 10 20 30 所以. （2）记“甲､乙两队总得分之和等于30分”为事件，“甲队得分比乙队得分高”为事件， 所以， ， 所以， 即在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，甲队得分比乙队得分高的概率为. 33．（2026高二·江苏徐州·期中）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节是否通过相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (2)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）根据条件概率求解即可. （2）由可取，求出对应的概率，列出分布列即可求解数学期望． 【详解】（1）设事件分别表示通过设计环节，由题意得​， 且相互独立. 设事件为"三幅中恰有一幅通过设计"，事件为"通过设计的作品为"，所求为条件概率. . . 因此. （2）设事件分别表示成为成品作品. 则，，. 的可能取值为， ， ， ， . 因此的分布列为： . 34．（2026·江苏镇江·模拟预测）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 35．（2026高二·重庆·期中）学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数学、英语三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答语文、数学、英语这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列见解析；数学期望 【分析】（1）根据题意，由全概率公式即可得到结果； （2）由题意可得，的可能取值为，分别求得其所对应的概率，即可得到分布列，从而得到期望. 【详解】（1）设事件为“选到的题目是语文题”，事件为“选到的题目是数学题”，事件为“选到的题目是英语题”，事件为“甲同学回答正确”， 则由题意得，，，，，， 根据全概率公式有. （2）设事件为“甲同学答对语文题”，事件为“甲同学答对数学题”，事件为“甲同学答对英语题”， 则由题意得，则答错语文题的概率是， ，则答错数学题的概率是， ，则答错英语题的概率是， 由于答对的题数可能是，因此的可能取值为， 当时，即语文题、数学题、英语题全答错，则； 当时，即语文题、数学题、英语题只答对一个，则 ； 当时，即语文题、数学题、英语题答对两个，则 ； 当时，即语文题、数学题、英语题全答对，则； 因此，的分布列为 数学期望. 36．（2026·陕西榆林·模拟预测）随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. (1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； (2)经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)，55 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1可以计算出的值，再利用相应公式计算出相应组中抽取的人数. （2）根据题意的可能取值为，利用超几何分布列的计算公式及数学期望公式即可求解. 【详解】（1）因为直方图中各个小矩形的面积之和为1，所以， 解得. 所以估计这100人中年龄不低于40岁的人数为. （2）的可能取值为， 则. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 37．（2026·河南·模拟预测）某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”.文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第次猜中得（）分（），若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数的均值为. (1)求乙猜2次的概率； (2)记乙猜谜语的次数的均值为，若，求的取值范围； (3)已知，且甲最终的得分为，若，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？ 【答案】(1) (2) (3)有理由认定甲是猜谜语高手 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式计算即可； （2）先分别求出甲，乙两人猜谜语次数的期望，再根据列不等式求解即可； （3）根据求出，再求出甲最终得分的期望，验证是否满足即可判断. 【详解】（1）记“乙猜2次”为事件，则， 所以乙猜2次的概率为； （2）甲猜谜语的次数的可能值为1，2，3 ，， 所以， 乙猜谜语的次数的可能值为1，2，3因为乙每次猜中的概率为， 所以，，， ， 因为，所以，解得或， 因为，所以； （3）因为，则由（2）知， 解得或，因为，所以， 甲最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以， 所以，所以有理由认定甲是猜谜语高手. 38．（2026高二·吉林·期中）2024年被业界公认为“具身智能元年”得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.某中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为、、，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至少有2人通过第一轮的概率； (2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）根据题意，分为恰有两人通过和三人都通过，结合相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）分别求得三人通过第二轮的概率分别为，，，根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为， 若恰有两人通过的概率为， 若三人都通过的概率为， 所以求这3人中至少有2人通过第一轮的概率. （2）解：根据题意，小明通过第二轮的概率为， 小华通过第二轮的概率为，小方通过第二轮的概率为， 则这3人中通过第二轮的人数为的可能取值为， 当时，即3人都未通过第二轮，其概率为， 当时，即3人仅有1人通过第二轮， 其概率为， 当时，即3人仅有2人通过第二轮， 其概率为， 当时，即3人都通过第二轮，其概率为， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $