7.3.2 离散型随机变量的方差-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

7．3.2　离散型随机变量的方差

 

[对应学生用书P45]

导学　离散型随机变量的方差

　甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下：

 

 

(1)试求E(X)，E(Y).

[提示]　E(X)＝0×＋1×＋2×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.

(2)能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？

[提示]　不能，因为E(X)＝E(Y).

(3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？

[提示]　方差．

◎结论形成

1．离散型随机变量的方差

(1)方差和标准差的定义

设离散型随机变量X的分布列为

称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X).

(2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的__偏离程度__，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差__越小__，随机变量的取值越集中；方差或标准差__越大__，随机变量的取值越分散．

2．离散型随机变量的方差的性质： D(aX＋b)＝__a2D(X)__．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定.(　　)

(2)若a是常数， 则D(a)＝0.(　　)

(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　)

(4)若a，b为常数，则＝a.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)

A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较

解析　D(X甲)＞D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．

答案　B

3．(多选题)已知随机变量X的分布列为

则下列式子正确的是(　　)

A．E(X)＝－　　 B．D(X)＝

C．P(X＝0)＝    D．P(X≥0)＝

解析　由分布列可知，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故A正确；

D(X)＝×＋×＋×＝，故B不正确，CD显然正确．

答案　ACD

4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝_______，b＝______．

 

解析　由题意知解得

答案　　

[对应学生用书P46]

题型一　求离散型随机变量的方差

　(1)设随机变量X的分布列为

 

则D(X)等于(　　)

A．　　　　　　　 B．

C．    D．

[解析]　由题意知，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，

故D(X)＝×＋×＋×＋×＝.

[答案]　C