7.3.2 离散型随机变量的方差-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的方差及标准差，前承分布列与期望知识，通过甲、乙工人加工零件次品数案例引入，构建从平均水平到数据波动程度的认知支架，涵盖概念定义、性质及计算应用。 以射击选拔、钟表误差等真实情境为载体，通过问题链设计培养数学抽象、数学运算与数学建模素养，题型分层且配套练习，课中助力教师高效教学，课后便于学生自主巩固查漏补缺。

7．3.2　离散型随机变量的方差 学业标准 素养目标 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质．(重点) 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点) 1．通过离散型随机变量方差概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过随机变量方差的应用，提升数学运算、数学建模等核心素养． [对应学生用书P45] 导学　离散型随机变量的方差 　甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下： X 0 1 2 P Y 0 1 2 P (1)试求E(X)，E(Y). [提示]　E(X)＝0×＋1×＋2×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＝. (2)能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？ [提示]　不能，因为E(X)＝E(Y). (3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？ [提示]　方差． ◎结论形成 1．离散型随机变量的方差 (1)方差和标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). (2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的__偏离程度__，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差__越小__，随机变量的取值越集中；方差或标准差__越大__，随机变量的取值越分散． 2．离散型随机变量的方差的性质： D(aX＋b)＝__a2D(X)__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定.(　　) (2)若a是常数， 则D(a)＝0.(　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　) (4)若a，b为常数，则＝a.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析　D(X甲)＞D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐． 答案　B 3．(多选题)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则下列式子正确的是(　　) A．E(X)＝－　　 B．D(X)＝ C．P(X＝0)＝ D．P(X≥0)＝ 解析　由分布列可知，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故A正确； D(X)＝×＋×＋×＝，故B不正确，CD显然正确． 答案　ACD 4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝_______，b＝______． X －1 0 1 2 P a b c 解析　由题意知解得 答案　　 [对应学生用书P46] 题型一　求离散型随机变量的方差 　(1)设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D(X)等于(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． [解析]　由题意知，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， 故D(X)＝×＋×＋×＋×＝. [答案]　C 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值． (2)求X取各个值的概率，写出分布列． (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X). (4)根据公式计算方差． [触类旁通] 1．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 且E(X)＝1.1，则D(X)＝________． 解析　由随机变量分布列的性质可得p＝1－－＝.又E(X)＝0×＋1×＋x×＝1.1，解得x＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49. 答案　0.49 题型二　方差的性质　(一题多变) 　已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E(X)＝，则 (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求的值． [解析]　由分布列的性质，得＋＋p＝1，解得p＝， ∵E(X)＝0×＋1×＋x＝， ∴x＝2. (1)D(X)＝×＋×＋×＝＝. (2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，∴＝. [母题变式] (变条件)若本例(2)中“Y＝3X－2”改为“Y＝2X＋1”，求的值． 解析　因为Y＝2X＋1，所以D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝，所以＝. 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X). [触类旁通] 2．(多选题)(2025·长春高二期末)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是(　　) A．E(X)＝1 B．E(2X＋2)＝2 C．D(X)＝0.6 D．D(2X＋2)＝3.2 解析　由m＋0.4＋m＝1，得m＝0.3， 所以E(X)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1， E(2X＋2)＝2E(X)＋2＝4， 所以D(X)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，D(2X＋2)＝4D(X)＝2.4， 故选AC. 答案　AC 题型三　方差的实际应用 　[教材例6·迁移]为选拔某运动会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的分布列； (2)求X，Y的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． [解析]　(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1. ∵乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴X，Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又∵D(X)<D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． ∴甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会． [素养聚焦]　解决此类实际应用问题的关键是准确地计算随机变量的均值和方差，在求解过程提升数学运算、数学建模等核心素养． 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平， 因此， 在实际决策问题中， 需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论． [触类旁通] 3．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下： X1 －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． 解析　∵由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0， ∴E(X1)＝E(X2). D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05 ＝0.5， D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. ∴D(X1)<D(X2). 综上可知，A大钟的质量较好． 知识落实 技法强化 1．离散型随机变量的方差、标准差． 2．离散型随机变量的方差的性质． 解题时方差公式常套用错误． [必备知识·基础巩固] 1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3，6，9.则D(X)等于(　　) A．6　　　 B．9　　　 C．3　　　 D．4 解析　 E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6. 答案　A 2．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为(　　) X 1 3 5 P 0.4 0.1 x A．3.56 B． C．3.2 D． 解析　依题意：0.4＋0.1＋x＝1，∴x＝0.5， ∴E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2 D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴σ(X)＝＝. 答案　D 3．(多选题)已知X的分布列如下表所示，则(　　) X 1 2 3 4 P A．E(X)＝ B．D(X)＝ C．D(X)＝ D．E(X)＝ 解析　∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， ∴D(X)＝×＋×＋×＋×＝. 答案　AC 4．设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，随机变量X1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量X2取值，，，，的概率也均为0.2，若记D(X1)，D(X2)分别为X1，X2的方差，则(　　) A．D(X1)>D(X2) B．D(X1)＝D(X2) C．D(X1)<D(X2) D．D(X1)与D(X2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关 解析　由题意可知E(X1)＝E(X2)，又由题意可知，X1的波动性较大，从而有D(X1)>D(X2). 答案　A 5．随机变量X的取值为0，1，2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________． 解析　由题意设P(X＝1)＝p，则X的分布列如下： X 0 1 2 P p －p 由E(X)＝1，可得p＝， 所以D(X)＝12×＋02×＋12×＝. 答案　 6．已知X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)＝________，D(X1)＝________． 解析　由期望和方差的运算性质知，E(X1)＝E(2X－5)＝2E(X)－5＝7，D(X1)＝D(2X－5)＝22D(X)＝2. 答案　7　2 7．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为________，此时p＝________． 解析　随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p. 从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p， D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2 ＝－＋. ∵0<p<1，∴当p＝时，D(X)取最大值，最大值是. 答案　　 8．已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 解析　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1， 故a＝， 从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)法一　由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝. 法二　由(1)知a＝，所以X的均值 E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝， 所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝. (3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2， D(Y)＝42D(X)＝11. [关键能力·综合提升] 9．若X离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　) A． B． C．3 D． 解析　x1，x2满足 解得或 ∵x1＜x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3. 答案　C 10．已知随机变量ξ的分布列为 ξ m n P a 若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．无法计算 解析　由题意得a＝1－＝， 所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6. 又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，当n＝2时，D(ξ)取得最小值，此时m＝2，不符合题意，故D(ξ)无法取得最小值． 答案　D 11．设投掷一枚骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________． 解析　依题意X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝， D(X)＝×＋×＋×＋×＋×＋×＝. 答案　 12．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝________． 解析　由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12. P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝， 则E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8， D(X)＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36. 答案　3.36 13．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 解析　E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125， D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50， D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165， 由于E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，故甲厂的材料稳定性较好． [核心价值·探索创新] 14．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝______，D(ξ)＝________． 解析　ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生， 则P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1. D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1. 答案　1　1 15．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为： 甲保护区 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平． 解析　甲保护区违规次数X的数学期望和方差分别为 E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3， D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为 E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3， D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定，所以乙保护区的管理水平较高． 学科网（北京）股份有限公司 $