新知预览1 空间向量及其线性运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

-0022 富含一数学 第二部分 青春须早为一 新知预览 新知预览1空间向量及其线性运算 学不可以已。 完成日期： 月 ★[学习目标]1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历 由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算法则. 知识梳理—一自学教材，素养奠基 1.空间向量的有关概念 2.空间向量的线性运算 (1)定义：在空间中，把具有 和 名称 代数形式 几何形式 运算律 的量叫做空间向量 (2)长度：向量的 叫做向量的长度 OB= 或 加法 交换律：a十b ①字母表示法：空间向量用字 =a+b =b+a: 母a,b,c,…表示 结合律：a十 ②有向线段表示法：向量a的 CA- (b+c)=(a+ (3)表示法 起点是A,终点是B,则向量a 减法 b)+c 也可以记作 ,其模记 -a-b 为 或 (4)几类特殊向量 当入>0时， 结合律： Aa=入OA λ(ua) 特殊向量 定义 表示法 -PQ: =(u)a; /M 长度为 的 零向量 0 当入<0时， 从 数乘 入a 分配律：（入 向量 >0) ka A OA (入<0) +)a=a 0 N |a=1或 =MN; +a,λ(a 单位向量 模为 的向量 当入=0时， |AB=1 +b)=a Aa=0 +λb 与a长度 3.空间向量的共线与共面 而方向 的 相反向量 -a (1)共线、共面向量 向量，称为a的 相反向量 共线（平行）向量 共面向量 方向 且模 a=b或 如果表示若干空间 相等向量 的向量 AB-CD 向量的有向线段所 平行于 在的直线 的向 表示若干空间向 定义 共线向 ,那么这些向 量，叫做共面 量的有向线段所 a∥b或 量或平 量叫做 或 向量 在的直线互相平 AB∥CD 行向量 平行向量 行或重合 37 曼快乐职 0M-= 续表 (2)直线1的方向向量 如图，O是直线1上一点，在 若两个向量a,b不 对于空间任意两 直线1上取非零向量a,则 a 共线，则向量p与 个向量a,b(b≠ 对于直线1上任意一点P, 充要 向量a,b共面的充 0),a∥b的充要 由数乘向量的定义及向量共线的充要 条件 要条件是存在唯一 条件是存在实数 的有序实数对(x, 条件可知，存在实数入，使得OP=a.我 入，使 y),使 们把与向量a平行的非零向量称为直 线l的 典例探究—探究学习，素养形成 ◆「题型一 空间向量的概念 (1)试写出与AB相等的所有向量； 例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确 (2)试写出AA的相反向量； 的是 ( (3)若AB=AD=2,AA,=1,求向量AC A.若向量a,b平行，则a,b所在的直线 的模. 平行 B.若a|=b|,则a,b的长度相等而方 向相同或相反 C.若向量AB,CD满足|AB|>|CD1,则 AB>CD D.相等向量其方向必相同 (2)(多选)下列命题为真命题的是 ( ◆[题型二]空间向量的线性运算 A.若空间向量a,b满足a=b,则a=b 例2 如图所示，在三棱柱 A B.在正方体ABCD一AB,C,D1中，必有 ABC-A1B,C1中，M是 AC-A,Ci BB,的中点，化简下列各 式，并在图中标出化简得 C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p, 到的向量： 则m=p D.空间中任意两个单位向量必相等 (1)CB+BA1; 规律方法空间向量的概念与平面 (2)AC+CB+号AA: 向量的概念相类似，平面向量的其他 (3)AA-AC-CB. 相关概念，如向量的模、相等向量、平 行向量、相反向量、单位向量等都可以 拓展为空间向量的相关概念， [变式训练] 1.如图所示，以长方体ABCD D 一AB,C,D1的八个顶点 A 的两点为起点和终点的向 量中， 38 三-0022 高一教学 规律方法空间向量加法、减法运算 规律方法判定向量共线就是充分 的两个技巧 利用已知条件找到实数入，使a=b成 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则 立，或充分利用空间向量的运算法则， 是解决空间向量加、减法的关键， 结合具体图形通过化简，计算得出a 灵活运用相反向量可使向量首尾 =b,从而得到a∥b. 相接. [变式训练] (2)巧用平移：利用三角形法则和平行 3.如图所示，在正方体 D 四边形法则进行向量加、减法运算 ABCD 一 ABCD A 时，务必注意和向量、差向量的方 中，点E在A1D1上， 向，必要时可采用空间向量的自由 且A1E=2ED1,点F 平移获得运算结果 [注意](1)向量减法是加法的逆运 在体对角线A1C上，且 算，减去一个向量等于加上这个向 AF=F元.求证：E、F、B三点共线 量的相反向量. (2)首尾相连的若干向量构成封闭图 形时，它们的和向量为零向量 [变式训练] 2.如图，在长方体ABCD 一 A,B,CD1中，下列 各式运算结果不为BD 的是 ( A.AD-AA-AB B.BC+BB-DC ◆[题型四]空间向量共面问题 C.DD:-AB+AD 例4已知A,B,C三点不共线，平面ABC D.B D-A A+DD 外一点M满足Oi=专OA+专O店+ ◆[题型三]向量共线问题 例3 如图，四边形 0 ABCD和ABEF都 D(M (1)判断MA,MB,MC三个向量是否 是平行四边形，且不 共面； 共面，M,N分别是 (2)判断M是否在平面ABC内. AC,BF的中点，则CE与MN是否共线？ 39 火受快乐假期 00-= 规律方法解决向量共面的策略 [变式训练] (1)若已知点P在平面ABC内，则有 4.已知向量e1,e2,不共线，如果AB=e1十 AP=xAB+yAC或OP=xOA e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证： +yOB+xOC(x十y十之=1).然 A,B,C,D四点共面. 后利用指定向量表示出已知向量， 用待定系数法求出参数， (2)证明三个向量共面（或四点共面），需 利用共面向量定理，证明过程中要 灵活进行向量的分解与合成，将其 中一个向量用另外两个向量来表示. 检测评价一诊断落实，素养达标 、选择题 5.已知正方体ABCD-A1BC1D1中，A,E 1.在空间四边形OABC中，OA+AB-CB =AC,若A正=xAA+y(A店+ 等于 A.OA B.AB C.O0 D.AC AD),则 2.如图所示，在四棱柱的上 A.x=1y=司 B.x-z:y=1 底面ABCD中，AB B C.x-1y=月 D.x=13= DC,则下列向量相等的是 6.(多选)给出下列命题，其中正确的命 题为 A.AD与CB B.OA与OC A.若AB=CD,则必有A与C重合，B与 C.AC与DB D.DO与OB D重合，AB与CD为同一线段 3.下列命题中为真命题的是 B.若AD=号AC+号A店，则可知BC A.向量AB与BA的长度相等 B.将空间中所有的单位向量移到同一个 3 BD 起点，则它们的终点构成一个圆 C.若Q为△ABC的重心，则PQ=}PA C.空间非零向量就是空间中的一条有向 线段 +号P店+P心 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 D.非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c 4.在正方体ABCD一A,B,C,D1中，下列各 与a都是共面向量，则a,b,c必共面 式的运算结果不为向量AC,的是( 7.(多选)在以下命题中，不正确的命题是 () A.(AB+BC)+CC A.已知A,B,C,D是空间任意四点，则 B.(AA+A D)+D C AB+BC+CD+DA=0 C.(BA-BC)-CC B.|a一|b|=|a+b是a,b共线的充要 D.(AA+A B)+B C 条件 40 三022 畜一教类数 C.若a与b共线，则a与b所在直线平行 12.如图，在平行六面体 D A D.对空间任意一点O和不共线的三点 ABCD -A B C D A,B,C,OP=xOA+yOB+OC 中，M是AD1的中 (其中x,y,之∈R),则P,A,B,C四点 点，N是BD的中点， 共面 试判断MN与D,C是否共线 二、填空题 8.设M是△ABC的重心，记CA=b,AB=c, 则AM= (用b,c表示). 9化简a+必-)+司得a+号 3(a-2b+c)= 10.设e1,e2是不共线的向量，已知AB=2e +ke2,CB=e+3e2 ,CD=2e-e2,A, B,D三点共线，则实数k为 三、解答题 11.在平行六面体ABCD一 A1B1C1D1中，AB=a, AD=b,AA,=c,E为 A,D1的中点，F为 BC1与BC的交点. (1)用基底{a,b,c}表示下列向量：DB1, BE,AF; (2)在图中画出DD,+DB+CD化简后 的向量 41飞空快乐假期 FG∥D,D,过，点F、D1、G的截面为矩形FGD1D, :FG⊥DE,DE⊥AF,DE⊥平面AFG,当P在直线 FG上运动时，APC平面AFG, .DE⊥AP,故②正确； 当Q在直线BC,上运动时，△AD,Q的面积为定值（如 图(2))，C到平面AD,Q的距离为定值，.AD,QC的体 积是定值，故③正确： 连接D,C,则DC1⊥平面ABCD,.M的轨迹是线段 A,D1,故④正确. 答案：②③④ [第二部分] 新知预览1 知识梳理 1.(1)大小方向(2)大小模(3)AB lal AB (4)01相等相反相同相等 2.OA+AB OA-OC 3.(1)互相平行或重合 共线向量同一个平面a=b p=xa十3b (2)方向向量 典例探究 [例1][解析](1)A中，向量a,b平行，则a,b所在的 直线平行或重合；B中，a=|b只能说明a,b的长度相 等而方向不确定：C中，向量不能比较大小，故选D. (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等， 不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b 的方向不一定相同：B为真命题，AC与AC的方向相同， 模也相等，故AC=A,C:C为真命题，向量的相等满足传 递性：D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为 1,但方向不一定相同故不一定相等，所以选BC. [答案](1)D(2)BC 变式训练 1.解：(1)与向量AB相等的所有向量（除它自身之外）有 A1B1,DC及D,C共3个. (2)向量AA1的相反向量为A1A,B1B,CC,D1D, (3)1AC1=3. [例2][解]a)CB+BA=CA. (2)因为M是BB1的中点， 所以B=BE。 又AA1=BB1,所以AC+CB+ A不=店+成=A成 (3)AA -AC-CB CA-CB =BA1· 向量CA,AM,BA如图所示 变式训练 2.解析：D[A中，AD-A1A-AB=AD-AB=BD: B中，BC+BB,-DC=BC+CD=BD1:C中，DD -AB+AD=AD+DD1-AB=AD1-AB=BD:D中， B D-AA+DD BD+AA +DD =BD +AA BD,,故选D.] [例3][解]法一，M,N分别是AC, BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四 边形， ∴.MN=MA+AF+FN =Ci+A+2成 ① 又：MN=MC+CE+EB+BN =- 2Ci+c正-A-}FB, ② ①+②得2MN=CE ∴.CE∥MN,即CE与MN共线. 6 00-= 法二，M,N分别是AC,BF的中点，且四边形ABCD 和ABEF都是平行四边形， “N-AN-AM=2(A店+A产)-2AC =合+脑-2（店+0 (A萨-AD)=B酝-BO)= = .MN∥CE,即MN与CE共线. 变式训练 3.证明：设AB=a,AD=b,AA1=c. 因为AE=2ED,AF=名F花. 所以正=号0AF-号C. 所以A正-号办-号6， AF-号C-AA)=号+a市-A) 所以丽=下-A正=号a-是b-号 (a-号-c）片月 = 又房=B+Ai+不店=-号6-e+a=a-号b-c 3 所以京=号成。 又因为E下与EB有公共点E,所以E,F,B三点共线。 [例4幻[解](1)：OA+OB+OC=3OM, ..0A-OM=(OM-OB)+(OM-OC), ∴.MA=BM+CM=-MB-MC, ∴.向量MA,MB,MC共面. (2)由(1)知向量MA,MB,M心共面，而它们有共同的起 点M,且A,B,C三点不共线，M,A,B,C共面，即M 在平面ABC内. 变式训练 4.证明：易得AC,AD不共线.令AB=xAC+yAD(x,y∈ R),则e1+e=x(2e1+8e,)+y(3e1一3e) =(2x+3y)e1+(8.x-3y)e2. x= 1 和6不兵负一信+引解得 51 1 y= 51 A店=号A花+号A方AB,C.D四点共面. 检测评价 1,C[OA+AB-CB=OA+AB+B元-=O元.故选C.] 2,D[根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，AD与 CB,OA与OC为相反向量，AC与DB方向不同，DO与OB 是相等向量.」 3.A[对于选项B,其终点构成一个球面，对于选项C,空 间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说 向量就是有向线段：对于选项D,向量a与向量b不相 等，有可能它们的模相等，但方向不同，故选A.] 4,C[根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判 断可知A,B,D的运算结果都为AC1,而C中，(BA BC)-CC,=CA-CC=C,A,故选C.] 5.D[因为A正=AA+AE=AA+AC=AA+ 子店+A》,所以x=1y=子] 三0022 6.BC[在平行四边形ABDC中，满足AB=CD.但不满足 A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，A不 正确，周为市=子心+号A,所以3A市=心+2店。 所以2AD-2AB=AC-AD,所以2BD=DC,所以 3BD=BD+DC,即3BD=BC,B正确.若Q为△ABC 的重心，则QA+QB+QC=0.所以3PQ+QA+QB+ QC=3PQ,所以3P=PA+PB+PC,即P=1PA+ 3 号丽+元.C正，在三放挂ABC-ABC中，令 AB=a,AC=b,AA=c,满足a与b,b与c,c与a都是 共面向量，但a,b,c不共面，D不正确.故选BC.] 7.BCD [AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD+ DA=0,A正确；若a,b同向共线，则|a|一|b<|a+b, 故B不正确；由向量平行知C不正确；D中只有x十y十之 =1时，才有P,A,B,C四点共面，故D不正确，故 选BCD.] 感解析：知图，=号市=号× 2B+AC)=子(e-b. M 答案：(c-b) 9,解折：原式=（合+5×号-3列+（合×2-5x号+3x2b +(3x+5x号-3=吾a+2c 1 5 7 答案：a+号6-日e 7 10.解析：因为BD=CD-CB=e1一4e2,AB=2e1十ke2,又 AB,D三点关战，由向量共线的元要条件得弓=方 所以k=一8. 答案：一8 11.解：(1)DB,-DC+CB,=DC+BB,-BC=a-b+c, BE-BA+AA+A E--a+2b+c. AF=A店+BF=a+之+e)A+C =a+b叶7 (2)DD +DB+CD-DD,+(CD+DB)-DD,+CB =DD1十D1A1=DA1,连接DA(图略)， 由于CB1LDA1,所以DA或CB,即为所求. 12.解：由题意可知M,N分别是AD,BD的中点，四边形 ABCD为平行四边形，连接AC,则N为AC的中点（图略）， =-AM=合a花-2AD-2花-A0 =号DCD,共线. 新知预览2 知识梳理 1.乏2.(1a…blallbcos(a,b}(2)a…b)ba a·b+a·c(3)a·b=0|allalcos(a,a) 典例探究 [例1][解](1)E萨，Bi=B方·BA=号B市· 1BA·cos(Bi,BA)=号X1X1·c0s60°=， 所以成，Bi=子 6 富一数学) (2.成-成B市=之B励成· osB市.》=2×1X1os0=乞， 所以E,B品= (3)E.DC=2B成.DC-Bò1·1DC·osBò. D心=2×1X1cos120=-7, 所以萨元=大 (4B萨.C=(BD+Bi)·2C成+C -[BD.(-BC)+BA.(-BC)+BD.CA+BA.CA] =【-D.文-扇成+CD-高+A成.A剂 =×(++号） 变式训练 1,解：如图所示，设AB=a, AD=b,AA=c, B 则|a=1cl=2,|b=4, a·b=b·c=c·a=0. (1)BC.ED,=BC.(EA,+B AD) =b:2e-a)+b]=b==16 (2)BF·AB,=(BA1+AF)·(AB+AA1) =(e-a+):a+e =cl2-|a2=22-22=0. [例2][证明]由底面ABCD为平行四边形，∠DAB= 60°，AB=2AD,知DA⊥BD,则BD·DA=0, 由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD, 则BD·PD=0. 又PA=PD+DA, 所以PA·BD=(PD+DA)·BD=PD·BD+DA· BD=0, 即PA⊥BD 变式训练 2.证明：设A1B,=a,A1D1=b,AA=c, 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,a=|b=c. :A0=A京+Ad-AA+合店+D =e+2a+2b BD=AD-AB=b-a, 0=0心+元=A+A)+2cd ÷A0币=(+ga+6-a=cb-ca +76-+-6a=合6-a=号06 1 1 -a)=0. 于是A1O⊥BD,即A1OLBD. 同理可证A1OLOG,即A OLOG. 又：OG∩BD=O,OGC平面GBD,BDC平面GBD, .AO⊥平面GBD.