假期作业15 空间中的垂直关系-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

快乐假期 000-= 吾生也有涯，而知也无涯。 假期作业15空间中的垂直关系 完成日期： 月」 日 〈《思维整合室 4.直线与平面所成的角 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 A 0 文字语言 图形语言 符号语言 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的 叫做这条直线和 如果一条直线与 a:bCa 这个平面所成的角，如图， 就 一个平面内的 定 a∩b=0 是斜线AP与平面α所成的角， 都垂 la b →l⊥a 理 ILa 直，则这条直线 (2)线面角0的范围：0∈ 11b 与这个平面垂直 5.二面角 (1)定义：从一条直线出发 如果两条直线垂 的两个 所组成 直于同一个平 质定 a 的图形称为二面角，这 面，那么这两条 条直线称为二面角的 ,这两个 直线 半平面称为二面角的面. (2)二面角的平面角的取值范围： 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 平面角是直角的二面角称为直二面角， (3)平面与平面所成的角范围为 文字语言 图形语言 符号语言 《技能提升台 如果一个平面经 素养提升 过另一个平面的 ◆[考点一]直线与平面垂直的判定与性质 定 ,则这 1.直线n⊥平面a,n∥l,直线mCa,则1、m 理 l⊥a 两个平面互相 的位置关系是 ( 垂直 A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 如果两个平面互 2.给出下列4个命题，其中正确的命题是 相垂直，那么在 alB 性 ( ) 一个平面内垂直 ICB →l⊥ ①垂直于同一直线的两条直线平行； 于 的直线 理 aNB-a ②垂直于同一平面的两条直线平行； 垂直于另一个 l⊥a 平面 ③垂直于同一直线的两平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行. 3.直线与直线所成角 A.①②B.③④C.②③D.①④ (1)定义：如果a,b是空间中的两条异面直线， 3.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面， 过空间中任意一点，分别作与a,b平行或 那么MA与BD的位置关系是 ( 重合的直线a',b,则a与b所成的 称为异面直线a与b所成角的 大小 2范周：0，引 A.平行 B.不垂直 C.垂直 D.相交 34 三0022 高一数学) ◆[考点二]平面与平面垂直的判定与性质 在的平面与平面ABCD的夹角的正切值 4.若平面a⊥平面B,平面3⊥平面Y,则 ( 均为，则该五面体的所有校长之和为 A.a∥y () B.a⊥Y A.102mB.112mC.117mD.125m C.a与y相交但不垂直 9.(2023·全国乙卷（理）)已知△ABC为等 D.以上都有可能 腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等 5.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面 边三角形，若二面角C-AB-D为150°， BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是 则直线CD与平面ABC所成角的正切 ( 值为 ( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 A片B号C9 D. 6.PA垂直于正方形ABCD ◆[考点四]垂直的综合问题 所在平面，连接PB,PC, 10.已知点P是正四棱锥V-ABCD的侧棱 PD,AC,BD,则下列垂直 VA上异于点V的一动点，则点P在面 关系正确的是 () VBC上的射影落在 ) ①平面PAB⊥平面PAD: A.△VBC的外部 B.△VBC的内部 ②平面PAB⊥平面PBC; C.△VBC的一边上D.以上皆有可能 ③平面PAB⊥平面PCD; 11.已知直三棱柱ABC一4 D B ④平面PAB⊥平面PAC. AB1C1中，侧面AA1B1B A.①②B.①③C.②③D.②④ 为正方形，AB=BC=2, ◆[考点三]空间的角 E,F分别为AC和CC 7.(多选)下列说法中正确的是 ) 的中点，BF⊥AB. A.两个相交平面组成的图形叫做二面角 (1)求三棱锥F一EBC的体积； B.异面直线a,b分别和一个二面角的两 (2)已知D为棱A1B1上的点， 个面垂直，则a,b所成的角与这个二 证明：BF⊥DE. 面角相等或互补 C.二面角的平面角是从棱上一点出发， 分别在两个面内作射线所成角的最 小角 D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱 上的位置没有关系 8.(2023·北京卷)坡 屋顶是我国传统建 筑造型之一，蕴含 着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒 出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡 屋顶可视为一个五面体，其中两个面是 全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰 三角形.若AB=25m,BC=AD=10m, 且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所 35 飞曼快乐假期 S00= 12.如图，四棱锥P一ABCD 新题快递 的底面是矩形，PD⊥底 面ABCD,M为BC的中 1.已知平面α与平面3所成二面角的平面 点，且PB⊥AM. 角为110°，球O与平面a,3相切于点A, (1)证明：平面PAM⊥平面PBD: (2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的 B,则过球心O与平面a,B均成30°角的 体积. 直线有 () A.2条B.3条C.4条D.5条 2.已知正方体ABCD-A,B,CD1的棱长为 1,E,F,G分别是AB,BC,BC1的中点. 下列命题正确的是 (写出所 有正确命题的编号). ①以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四 个面最多只有三个面是直角三角形； ②P在直线FG上运动时，AP⊥DE; ③Q在直线BC1上运动时，三棱锥 AD,QC的体积不变； ④M是正方体的平面A,B,C,D1内到点 D和C,距离相等的点，则M点的轨迹是 一条线段. 【《益智欢乐谷 青春里，我们都 在摸索着成长，会被 无斗，清者 绊倒，会流泪，会茫 然，会想要放弃，但是我们都能坚持到最 后.尽管我们一路走来跌跌撞撞，但是我们 写下了属于我们的青春励志文章，鼓励着 正在走向未来的自己，也鼓励那些在黑暗 中挣扎的青少年不要轻言放弃，辜负青春， 36飞空快乐假期 8.解析：由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱 柱知：平面AA1D1D∥平面BBCC,平面ABCD∥平面 A1BCD1::正方体的侧棱相互平行，AA1∥BB1∥ CC1.CC1∥平面BDDB,AA1∥平面BDDB. 答案：平面BB,C1C;平面ABCD;AA1,CC 9.D[如图，任取线段AB上一，点 A C M,过M作MH∥AA1,交AB于 H,过H作HG∥AC交BC于G, 过G作CC1的平行线，与CB,一 M 定有交，点N,连接MN, 可证平面MVGH∥平面ACC1A, 所以MN∥平面ACC,A1,则这样 的MN有无数条.] 10.解析：连接HN,FH,FN(图略)， 则FH∥DD,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN C平面FHN,.MN∥平面B,BDD. 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 11.证明：(1)因为M,N分别是CD,CB D 的中点， B 所以MN∥BD.文因为BB业DD1, 所以四边形BB,DD是平行四边形， 所以BD∥BD,从而MN∥B,D1. (2)连接AC1,交BD1于点O,连 接OE. 因为四边形ABCD1为平行四边形，则O,点是AC 的中点，因为E是AA1的中点，所以EO是△AA1C1的 中位线，所以EO∥AC1: 又AC庄平面EBD,EOC平面EBD, 所以AC1∥平面EBD. (3)连接GH,因为EALB1H,则四边形EAHB,是平 行四边形，所以EB1∥AH.因为ADHG,则四边形 ADGH是平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG 又因为BBDD,,所以四边形BB1DD是平行四边形， 所以BD∥BD.因为BD∩DG=D, 所以平面EB1D1∥平面BDG 12.证明：(1)连接AE,则AE必过DF与 GN的交点O,连接MO,则MO为 △ABE的中位线，所以BE∥MO. 又BE丈平面。DMF,MOC平 面DMF, 所以BE∥平面DMF (2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF 的中，点，所以DE∥GN, 又DE庄平面MNG,GNC平面MNG. 所以DE∥平面MNG. 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN, 又MNC平面MNG,BD吨平面MVG, 所以BD∥平面MNG, 又DE,BDC平面BDE,DE∩BD=D, 所以平面BDE∥平面MNG. 新题快递 1.解析：(1)由平面与平面平行的判定可知，若平面a内有 两条相交直线分别平行于平面B,则a∥B,故(1)错误； (2)由平面与平面平行的定义可知，若平面α内任意一条 直线与平面3平行，则a∥B,故(2)正确； (3)当平面外的一条直线与平面相交时，过已知平面外 一条直线，不能作出一个平面与已知平面平行，故(3) 错误； (4)不重合的平面a,B,y,若a∥Y,B∥y,由平面与平面平 行的传递性可得a∥B,故(4)正确. 答案：(2)(4) 2.解：(1)证明：因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中，点， 底面ABCD为平行四边形，所以MN∥PD,NQ∥AD, 文MN庄平面PAD,PDC平面PAD, 则MN∥平面PAD, 6 0M= 同理可得VQ∥平面PAD, 又MN∩VQ=N,MN,NQC平面MNQ 所以平面MNQ∥平面PAD. (2)证明：因为BC∥AD,BC庄平面PAD,ADC平 面PAD, 所以BC∥平面PAD, 又BCC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l, 所以BC∥L, 假期作业15 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线交线3.(1)锐角（或 直角)4.(1)锐角∠PAO 5.(1)半平面棱(2)0°≤180°(3)0°<0≤90 技能提升台素养提升 1.D 2.C「对于①，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或 异面，故①错误：对于②，垂直于同一平面的两条直线平 行，故②正确：对于③，垂直于同一直线的两个平面平 行，故③正确；对于④，垂直于同一平面的两个平面平行 或相交，故④错误.故选C. 3.C[连接AC,因为ABCD是菱 形，所以AC⊥BD, 又MC⊥菱形ABCD所在的平 面，BDC平面ABCD,所以MC ⊥BD, 又MC∩AC=C,MC,ACC平面 A MAC,所以BD⊥平面MAC,MAC平面MAC, 所以MA⊥BD.] 4.D 5.A[过点A作AH⊥BD于点H(图略)，由平面ABD⊥ 平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平 面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A.] 6.A[,PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥ BC.又正方形ABCD中，BC⊥AB,PA∩AB=A,.BC ⊥平面PAB,BCC平面PBC,∴.平面PAB⊥平面PBC, ②正确； 同理AD平面PAB,ADC平面PAD,∴.平面PAD⊥ 平面PAB,①正确； 设平面PAB∩平面PCD=I,,·AB∥CD,ABC平面 PAB,CD寸平面PAB,.CD∥平面PAB,.CD∥l. :CDL平面PAD,∴l⊥平面PAD,P为垂足，∴∠APD 为二面角A一I一D的平面角，若平面PAB⊥平面PCD, 则AP⊥PD,在Rt△PAD中不可能存在AP⊥PD,③错 误；AB⊥PA,AC⊥PA,∴∠BAC为二面角B-PA-C 的平面角，若平面PAB⊥平面PAC,则AB⊥AC,在 Rt△ABC中不可能存在AB⊥AC,④错误.故选A.] 7.BD[对于A,显然混淆了平面与半平面的概念，故A错 误；对于B,因为a,b分别垂直于二面角的两个面，所以 也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角 或直角，所以与这个二面角相等或互补，故B正确；对于 C,因为所作射线不一定垂直于棱，故C错误；由定义知 D正确.故选BD. 8.C[如图，过E做EO⊥平面ABCD,垂足为O,过E分 别做EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为G,M,连接 OG.OM, D MR 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底 面夹角分别为∠EMO和∠EGO, 所以tan∠EMO=ian∠EGO=4 5 因为EO⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO ⊥BC, 因为EG⊥BC,EO,EGC平面EOG,EO∩EG=E, 三0022 所以BC⊥平面EOG,因为OG二平面EOG,所以BC ⊥OG. 同理：OM⊥BM,又BM⊥BG,故四边形OMBG是矩形， 所以由BC=10得OM=5,所以EO=√14，所以OG= 5,所以在直角三角形EOG中，EG=/EO了十OG= √（√14）+5=√39， 在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=√EG+BG =√J(√39)2+5=8， 又因为EF=AB-5-5=25-5-5=15, 所有棱长之和为2×25+2×10+15+4×8=117m.] 9.C[取AB的中点E,连接 D CE,DE,因为△ABC是等腰 直角三角形，且AB为斜边， 则有CE⊥AB, 又△ABD是等边三角形，则 DE⊥AB,从而∠CED为二 面角C一AB一D的平面角， 即∠CED=150°， 显然CE∩DE=E,CE,DEC 平面CDE,于是AB⊥平面 C CDE,又ABC平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC =CE, 直线CDC平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影 为直线CE, 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB= 2,则CE=1,DE=√3，在△CDE中，由余弦定理得： CD=√CE+DE-2CE·DEcos.∠CED 1+3-2x1×× 2 =√7， 由正弦定理 DE CD sin∠DCE sin∠CEDI 得sin∠DCE=3sin150°5 √7 271 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=√I-sin∠DCE= /1 3） 、5 2√7 2√万1 所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为 10.A[把正四棱锥放在正四棱柱 中，V是上底面的中心， 如图，连接AB,与C1D的中点 A EF, 由图可知，过A作AA'⊥EB,连 接A'V, 因为平面EFCB⊥平面AABB,, 所以AA'⊥平面EFCB, 因为AA'C平面VAA', 所以平面VAA'⊥平面EFCB 所以点P在平面VBC上的射影落在A'V上， 即在△VBC外部，] 11.解：(1)因为AB=BC=2,所以BE⊥AC,又因为是直三 棱锥ABC-AB1C1,不妨设AC=2a, 因为BF⊥A1B,所以BF⊥AB,连接AF, E,F分别为AC和CC,的中点，则 AF2=BF+AB →4a2+1=5+4→a2=2→a=W2, 所以BE=√BC-EC=√2， 所以V,c=号Sam·FC=子×号×万XEX】 =1 6 (2)连接A1E,取BC中点为H,连A D 接EH,BH, 因为E,H分别为AC,BC的中点， 所以EH∥AB, 又因为A1B1∥AB,所以AB1∥ EH,所以A,EHB,共面， 易知DEC平面A1EHB, 易知△FCB≌△HBB,, 所以BF⊥HB1, 又因为BF⊥A1B,且A1B,∩HB,=B, 所以BF⊥平面A,EHB,所以BF⊥DE. 12.解：(1)证明：，PD⊥平面ABCD,AMG平面ABCD, ∴.PD⊥AM. PD⊥AM,PB⊥AM,PB∩PD=D,PBC平面PBD, PDC平面PBD,.AM⊥平面PBD. 又.·AMC平面PAM ∴.平面PAM⊥平面PBD (2)M为BC的中点， ÷BM=2AD,且AB=DC=1D. 'AM⊥平面PBD,BDC平面PBD,∴.AM⊥BD 则有∠BAM+∠MAD=90°，∠MAD+∠ADB=90°， 即∠BAM=∠ADB, 则有△BAM△ADB,别有器-识@， 将①式代入②，解得AD=√2. 所以SoA8D=AD·DC=√2X1=√2. V,aw=言50m·PD=子×Ex1=号 3 3 新题快递 1.C[如图， 0 因为球O与平面a,3相切于点A,B,所以OA⊥a,OB⊥B. 所以球心O与平面a,B均成30°的直线有几条转化为 “过空间一点O与OA,OB(OA,OB成角70°)所成角均 为60°的直线有几条”。 图1 图2 如图（图1中∠BOP=∠AOP=60°，图2中∠BOP= ∠AOP=120°)可知， 当点P在平面OAB上方时，有2条； 根据对称性可知当点P在平面OAB下方时，也有2条. 所以过空间一，点O与OA,OB所成角均为60°的直线有 4条，即过球心O与平面a,B均成30°的直线有4条.] 2.解析：以三棱锥A1ABC为例（如图(1）)，则此三棱锥的 4个面均为直角三角形，故①错误； A (1) 飞空快乐假期 FG∥D,D,过，点F、D1、G的截面为矩形FGD1D, :FG⊥DE,DE⊥AF,DE⊥平面AFG,当P在直线 FG上运动时，APC平面AFG, .DE⊥AP,故②正确； 当Q在直线BC,上运动时，△AD,Q的面积为定值（如 图(2))，C到平面AD,Q的距离为定值，.AD,QC的体 积是定值，故③正确： 连接D,C,则DC1⊥平面ABCD,.M的轨迹是线段 A,D1,故④正确. 答案：②③④ [第二部分] 新知预览1 知识梳理 1.(1)大小方向(2)大小模(3)AB lal AB (4)01相等相反相同相等 2.OA+AB OA-OC 3.(1)互相平行或重合 共线向量同一个平面a=b p=xa十3b (2)方向向量 典例探究 [例1][解析](1)A中，向量a,b平行，则a,b所在的 直线平行或重合；B中，a=|b只能说明a,b的长度相 等而方向不确定：C中，向量不能比较大小，故选D. (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等， 不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b 的方向不一定相同：B为真命题，AC与AC的方向相同， 模也相等，故AC=A,C:C为真命题，向量的相等满足传 递性：D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为 1,但方向不一定相同故不一定相等，所以选BC. [答案](1)D(2)BC 变式训练 1.解：(1)与向量AB相等的所有向量（除它自身之外）有 A1B1,DC及D,C共3个. (2)向量AA1的相反向量为A1A,B1B,CC,D1D, (3)1AC1=3. [例2][解]a)CB+BA=CA. (2)因为M是BB1的中点， 所以B=BE。 又AA1=BB1,所以AC+CB+ A不=店+成=A成 (3)AA -AC-CB CA-CB =BA1· 向量CA,AM,BA如图所示 变式训练 2.解析：D[A中，AD-A1A-AB=AD-AB=BD: B中，BC+BB,-DC=BC+CD=BD1:C中，DD -AB+AD=AD+DD1-AB=AD1-AB=BD:D中， B D-AA+DD BD+AA +DD =BD +AA BD,,故选D.] [例3][解]法一，M,N分别是AC, BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四 边形， ∴.MN=MA+AF+FN =Ci+A+2成 ① 又：MN=MC+CE+EB+BN =- 2Ci+c正-A-}FB, ② ①+②得2MN=CE ∴.CE∥MN,即CE与MN共线. 6 00-= 法二，M,N分别是AC,BF的中点，且四边形ABCD 和ABEF都是平行四边形， “N-AN-AM=2(A店+A产)-2AC =合+脑-2（店+0 (A萨-AD)=B酝-BO)= = .MN∥CE,即MN与CE共线. 变式训练 3.证明：设AB=a,AD=b,AA1=c. 因为AE=2ED,AF=名F花. 所以正=号0AF-号C. 所以A正-号办-号6， AF-号C-AA)=号+a市-A) 所以丽=下-A正=号a-是b-号 (a-号-c）片月 = 又房=B+Ai+不店=-号6-e+a=a-号b-c 3 所以京=号成。 又因为E下与EB有公共点E,所以E,F,B三点共线。 [例4幻[解](1)：OA+OB+OC=3OM, ..0A-OM=(OM-OB)+(OM-OC), ∴.MA=BM+CM=-MB-MC, ∴.向量MA,MB,MC共面. (2)由(1)知向量MA,MB,M心共面，而它们有共同的起 点M,且A,B,C三点不共线，M,A,B,C共面，即M 在平面ABC内. 变式训练 4.证明：易得AC,AD不共线.令AB=xAC+yAD(x,y∈ R),则e1+e=x(2e1+8e,)+y(3e1一3e) =(2x+3y)e1+(8.x-3y)e2. x= 1 和6不兵负一信+引解得 51 1 y= 51 A店=号A花+号A方AB,C.D四点共面. 检测评价 1,C[OA+AB-CB=OA+AB+B元-=O元.故选C.] 2,D[根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，AD与 CB,OA与OC为相反向量，AC与DB方向不同，DO与OB 是相等向量.」 3.A[对于选项B,其终点构成一个球面，对于选项C,空 间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说 向量就是有向线段：对于选项D,向量a与向量b不相 等，有可能它们的模相等，但方向不同，故选A.] 4,C[根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判 断可知A,B,D的运算结果都为AC1,而C中，(BA BC)-CC,=CA-CC=C,A,故选C.] 5.D[因为A正=AA+AE=AA+AC=AA+ 子店+A》,所以x=1y=子]