假期作业14 空间中的平行关系-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

三✉022 富一数学 图即刻扫码 假期作业14空间中的平行关系 AI伴学助手 整安凌王 步学习微 新知预习宝典 〈《思维整合室 〈《技能提升台 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 素养提升 文字语言 图形语言 符号语言 ◆[考点一]直线与平面平行的判定与性质 1.设AB,BC,CD是不在同一平面内的三 如果平面外的一 条线段，则经过它们的中点的平面和直 条直线与 因为1∥ 线AC的位置关系是 () 的一条直线 m:mCa, A.平行 B.相交 平行，那么这条直 l￠a,所 C.平行或相交 D.AC在此平面内 线与这个平面平 以l∥a 2.在五棱台ABCDE A1B1C1D1E1中，F,G 行（线线平行→线 面平行) 分别是AA,和BB,上的点，且AF FA ，则FG与￥面ABCDE的位置关 BG 如果一条直线与 一个平面平行，且 系是 () 经过这条直线的 A.平行 因为1∥ 性 平面与这个平面 B.相交 步 a.ICB.a ,那么 C.FGC平面ABCDE 理 ∩3=b, 这条直线就与两 D.无法判断 所以1∥b 平面的交线平行 3.已知L是过正方体ABCD一A1BC,D (简记为“线面平 的顶点的平面AB,D,与下底面ABCD 行→线线平行”) 所在平面的交线，下列结论错误的是 ( 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 A.D1B,∥平面ABCD 文字语言 图形语言 符号语言 B.BD∥平面ADB C.l∥平面A,C1 如果一个平面内 有两条 因为a∥B, D.l⊥BC 另一个平面， -d 判 b∥B, 4.在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为 Q b 舞 那么这两个平面 a∩b=P, 平行四边形，E,F分别为侧棱PC,PB的 平行（简记为“线 aCa:bCa, /B 中点，则EF与平面PAD的位置关系为 面平行→面面 所以a∥B ,平面AEF与平面ABCD 平行”) 的交线是 ◆[考点二]平面与平面平行的判定与性质 如果两个平行平 因为a∥B, 5.平面α内有不共线的三点到平面3的距 性 面同时与第三个 anNy=a, 离相等且不为零，则α与阝的位置关系为 定 平面 那 3∩y=b, () 么它们的 所以a∥b 平行 A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能重合 31 火空快乐假期 6.(多选)已知a,b表示两条直线，a,β，Y表 10.(答案不唯一型)如图所 D 示三个不重合的平面，给出下列命题，正 示，在正四棱柱ABCD-A 确的是 ( A1B1C1D1中，E,F,G, A.若a∩y=a,β∩y=b,且a∥b,则a∥B H分别是棱CC1,CD1, B.若a,b相交，且都在a,3外，a∥a,b∥ D1D,DC的中点，N是 a,a∥B,b∥B,则a∥3 BC的中点，点M在四边形EFGH及其 C.若a∥a,b∥B,且a∥b,则a∥3 内部运动，则M只需满足条件 D.若aCa,a∥B,a∩B=b,则a∥b 时，就有MN∥平面BBDD.(注：请填 7.如图，在三棱柱ABC一 上你认为正确的一个条件即可，不必考 AB,C,中，已知点G,H 虑全部可能情况) 分别在A1B1,A1C1上，且 11.如图，在平行六面体 GH经过△A,B,C,的重 ABCD -A BC D 心，点E,F分别是AB,AC的中点，且平 中，E,M,N,G,H分 面A,EF∥平面BCHG,给出下列结论： 别是AA1,CD,CB, CC1,BB,的中点， ①EF/GH:@GH/平面A,EF:S部 求证： =专：④平面A,EF∥平面BCCB (1)MN∥B,D1; (2)AC1∥平面EB1D1: 其中正确的是 (3)平面EB1D1∥平面BDG. A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④ 8.如图，在正方体AB D CDA1B,CD1中，与 平面AA1D1D平行的 D 平面是 ;与 平面AB,C,D,平行的平面是 与平面BDDB,平行的棱有 ◆[考点三]平行的综合问题 9.如图，在棱长均为1的正 三棱柱ABCA,B,C1 中，M,N分别为线段 AB,B,C上的动点，且 MN∥平面ACC1A,,则 这样的MN有 A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 32 三0022 含一数学 12.如图，ABCD与 2.如图，四棱锥P-ABCD ADEF均为平行四 的底面为平行四边形. 边形，M,N,G分别 设平面PAD与平面 是AB,AD,EF的 PBC的交线为L,M、N、 中点求证： Q分别为PC、CD、AB (1)BE∥平面DMF; 的中点。 (1)求证：平面MNQ∥平面PAD: (2)平面BDE∥平面MNG. (2)求证：BC∥u. 新题快递 1.给出下列命题： (1)若平面a内有两条直线分别平行于平面 《益智欢乐谷 B,则a∥B; 1.不要向这个世界 (2)若平面α内任意一条直线与平面B平行， 认输，因为你还有牛逼的 则a∥B: 梦想！ (3)过已知平面外一条直线，必能作出一个平 2.即使梦想不能实 面与已知平面平行； 现，我们也不会放弃努力！ (4)不重合的平面a,B,Y,若a∥y,B∥Y,则有a 3.所有的伤害只会 ∥R. 让我变强，用更强大的自己守护我的梦想！ 其中正确的命题是 (填写序号》 4.我若不努力，那谁来替我完成梦想！ 33三0022 3.D[对于A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直 线两两都相交，比如棱柱共点三条棱，这三条直线就不 共面，也不一定能确定一个平面，故A、B错，对于C,若 三条直线相互平行，其中两条可以确定一个平面，另一 条可以与已知平面平行，故C错误，对于D,一条直线与 两条平行直线都相交，这三条直线能确定一个平面.门 4.解析：当一个点在平面一侧，另三个点在平面另一侧时， 这种平面有4个：当平面两侧各有两个点时，这种平面有 3个.故共有7个 答案：7 5.C[由于a∥b, a 0 a,c异面，此时，b 和c可能相交，也 c 即共面，如图所示 b与c相交；b和c 也可能异面，如图所示b与c异面.综上所述，b与c不可 能是平行直线，] 6.CD LAM与C1C异面，故A错；AM与BN异面，故 B错.易知C、D正确.] 7.B[对于A,当P是A1C的中点时，BP与DD1是相交 直线；对于B,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面 直线；对于C,当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直 线：对于D,当点P与C1重合时，BP与BC是相交 直线，门 8.解析：①中HG∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所 以直线HG与MN必相交 答案：②④ 9.C[取BC的中点为E,连接DE,AE,则DE∥PB, 所以∠ADE为AD与PB所成的角（或其补角）. 设正四面体的棱长为2a, 则DE=a,AD=√3a,AE=√3a, 所以在△ADE中，cos∠ADE=5a)'+a-3a) 2X√3a·a = 6· 10.A[连接AD1,D1M(图略).：AB=CD1,AB ∥CD, ∴四边形ABCD1为平行四边形，则AD1∥BC1,则 ∠D1AM(或其补角)为异面直线AM与BC1所成的 角，设正方体的棱长为2，则AD,=2√2，AM=D,M =√5， cos∠D,AM=22+5)_⑤=，即并 2×2√2×W5 5 面直线AM与BC,所成角的余孩值是四.故选A.] 5 11.解析：在正方体ABCD D A,BC1D1中，E,F分别为 CD,A1B,的中点， A 设正方体ABCDA,BC,D 中棱长为2，EF中点为O, 取AB,BB1中点G,M,侧面 D BB1C1C的中心为N, 连接FG,EG,OM,ON, MN,如图， 由题意得O为球心，在正方体ABCD-A,B,C,D1中， EF=√FG+EG=√4+4=2√2， .R=√2， 则球心O到BB,的距离为OM=√OW+MN= √1+1=√2， ∴球O与棱BB,相切，球面与棱BB,只有一个交点， 同理，根据正方体ABCD-A1B,CD1的对称性可知，其 余各棱和球面也只有一个交点， ∴以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数 为12. 答案：12 6 高一数类恐) 12.解：(1)6条棱中，PC,AB成异 面直线，PB,AC成异面直线， PA,BC成异面直线，共3对， (2)如图，取AB的中，点Z,连 接MZ,NZ,因为M是PBC 中，点， Z是AB中点， 所以Z/PA.Z-PA=2 同里，NZ/BC,NZ=2BC=3. 所以异面直线PA与BC所成角为∠MZN(或其补角)， 在△MZN中，由余弦定理可得cos∠MZN 22+32-4 2×2×3 =-子，故并面直线PA与BC所成角的余 弦位为 新题快递 l.D[当a∥m,B∥m时，a,B可以相交，故选项A不正确； 当m∥a,n二a时，m,n可以是异面直线，因此选项B不 正确；当m∥n,n∥a时，存在m二a这一情况，所以选项 C不正确；根据面面平行的性质可知选项D正确.] 2.D[连接AD1,则AD1∥EF,连 接FD,则平面AEF截正方体所 得截面多边形为梯形AD,FE, ,正方体棱长为2，故AD= 22,EF=√2， 又AE=D,F=√2+1=5， ∴等腰梯形ADFE的高为 、六梯形AD,EE的面积为二222×豆一号] 2 假期作业14 思维整合室 1.这个平面内交线2.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.A[五棱台中，AB∥A1B1,.四边形AA1B1B是梯形， 、AF=SFG∥AB,而FG立平面ABCDE,ABC 平面ABCDE.∴.FG∥平面ABCDE.] 3.D[A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确， B,C可由线面平行的判定定理判定正确性，D错在D,B ∥l,1与B,C1所成角是45°.] 4.解析：由题易知EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,故 EF∥平面PAD,因为EF∥AD,所以E,F,A,D四，点共 面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线. 答案：平行AD 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,3∩Y=b,且a∥b,则a,B可能相交、 平行，错误；B:若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥a,a ∥B,b∥B,由面面平行的判定可得a∥B,正确：C:若a∥ a,b∥B,且a∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aC a,a∥B,a∩B=b,由线面平行的性质定理得a∥b,正确.] 7.C[由，F分别是AB,AC的中点可知EF/BC,既 分在三校桂ABC-AB,C中，平面ABC∥平面 ABC,由两个平面平行的性质可得GH∥BC,而GH经 过△ABC的重心，所以能=子所以=专且 EF∥GH,GH中平面AEF,EFC平面AEF,所以GH ∥平面A1EF.因为AB1∥BE且BEA1B,所以直线 AE与BB1有交点，所以平面AEF与平面BCC,B1相 交.故①②③正确，④错误.故选C.门 飞空快乐假期 8.解析：由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱 柱知：平面AA1D1D∥平面BBCC,平面ABCD∥平面 A1BCD1::正方体的侧棱相互平行，AA1∥BB1∥ CC1.CC1∥平面BDDB,AA1∥平面BDDB. 答案：平面BB,C1C;平面ABCD;AA1,CC 9.D[如图，任取线段AB上一，点 A C M,过M作MH∥AA1,交AB于 H,过H作HG∥AC交BC于G, 过G作CC1的平行线，与CB,一 M 定有交，点N,连接MN, 可证平面MVGH∥平面ACC1A, 所以MN∥平面ACC,A1,则这样 的MN有无数条.] 10.解析：连接HN,FH,FN(图略)， 则FH∥DD,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN C平面FHN,.MN∥平面B,BDD. 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 11.证明：(1)因为M,N分别是CD,CB D 的中点， B 所以MN∥BD.文因为BB业DD1, 所以四边形BB,DD是平行四边形， 所以BD∥BD,从而MN∥B,D1. (2)连接AC1,交BD1于点O,连 接OE. 因为四边形ABCD1为平行四边形，则O,点是AC 的中点，因为E是AA1的中点，所以EO是△AA1C1的 中位线，所以EO∥AC1: 又AC庄平面EBD,EOC平面EBD, 所以AC1∥平面EBD. (3)连接GH,因为EALB1H,则四边形EAHB,是平 行四边形，所以EB1∥AH.因为ADHG,则四边形 ADGH是平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG 又因为BBDD,,所以四边形BB1DD是平行四边形， 所以BD∥BD.因为BD∩DG=D, 所以平面EB1D1∥平面BDG 12.证明：(1)连接AE,则AE必过DF与 GN的交点O,连接MO,则MO为 △ABE的中位线，所以BE∥MO. 又BE丈平面。DMF,MOC平 面DMF, 所以BE∥平面DMF (2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF 的中，点，所以DE∥GN, 又DE庄平面MNG,GNC平面MNG. 所以DE∥平面MNG. 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN, 又MNC平面MNG,BD吨平面MVG, 所以BD∥平面MNG, 又DE,BDC平面BDE,DE∩BD=D, 所以平面BDE∥平面MNG. 新题快递 1.解析：(1)由平面与平面平行的判定可知，若平面a内有 两条相交直线分别平行于平面B,则a∥B,故(1)错误； (2)由平面与平面平行的定义可知，若平面α内任意一条 直线与平面3平行，则a∥B,故(2)正确； (3)当平面外的一条直线与平面相交时，过已知平面外 一条直线，不能作出一个平面与已知平面平行，故(3) 错误； (4)不重合的平面a,B,y,若a∥Y,B∥y,由平面与平面平 行的传递性可得a∥B,故(4)正确. 答案：(2)(4) 2.解：(1)证明：因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中，点， 底面ABCD为平行四边形，所以MN∥PD,NQ∥AD, 文MN庄平面PAD,PDC平面PAD, 则MN∥平面PAD, 6 0M= 同理可得VQ∥平面PAD, 又MN∩VQ=N,MN,NQC平面MNQ 所以平面MNQ∥平面PAD. (2)证明：因为BC∥AD,BC庄平面PAD,ADC平 面PAD, 所以BC∥平面PAD, 又BCC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l, 所以BC∥L, 假期作业15 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线交线3.(1)锐角（或 直角)4.(1)锐角∠PAO 5.(1)半平面棱(2)0°≤180°(3)0°<0≤90 技能提升台素养提升 1.D 2.C「对于①，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或 异面，故①错误：对于②，垂直于同一平面的两条直线平 行，故②正确：对于③，垂直于同一直线的两个平面平 行，故③正确；对于④，垂直于同一平面的两个平面平行 或相交，故④错误.故选C. 3.C[连接AC,因为ABCD是菱 形，所以AC⊥BD, 又MC⊥菱形ABCD所在的平 面，BDC平面ABCD,所以MC ⊥BD, 又MC∩AC=C,MC,ACC平面 A MAC,所以BD⊥平面MAC,MAC平面MAC, 所以MA⊥BD.] 4.D 5.A[过点A作AH⊥BD于点H(图略)，由平面ABD⊥ 平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平 面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A.] 6.A[,PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥ BC.又正方形ABCD中，BC⊥AB,PA∩AB=A,.BC ⊥平面PAB,BCC平面PBC,∴.平面PAB⊥平面PBC, ②正确； 同理AD平面PAB,ADC平面PAD,∴.平面PAD⊥ 平面PAB,①正确； 设平面PAB∩平面PCD=I,,·AB∥CD,ABC平面 PAB,CD寸平面PAB,.CD∥平面PAB,.CD∥l. :CDL平面PAD,∴l⊥平面PAD,P为垂足，∴∠APD 为二面角A一I一D的平面角，若平面PAB⊥平面PCD, 则AP⊥PD,在Rt△PAD中不可能存在AP⊥PD,③错 误；AB⊥PA,AC⊥PA,∴∠BAC为二面角B-PA-C 的平面角，若平面PAB⊥平面PAC,则AB⊥AC,在 Rt△ABC中不可能存在AB⊥AC,④错误.故选A.] 7.BD[对于A,显然混淆了平面与半平面的概念，故A错 误；对于B,因为a,b分别垂直于二面角的两个面，所以 也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角 或直角，所以与这个二面角相等或互补，故B正确；对于 C,因为所作射线不一定垂直于棱，故C错误；由定义知 D正确.故选BD. 8.C[如图，过E做EO⊥平面ABCD,垂足为O,过E分 别做EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为G,M,连接 OG.OM, D MR 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底 面夹角分别为∠EMO和∠EGO, 所以tan∠EMO=ian∠EGO=4 5 因为EO⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO ⊥BC, 因为EG⊥BC,EO,EGC平面EOG,EO∩EG=E,