假期作业12 空间几何体的表面积与体积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

三0022 所以AC∥OB,OA⊥OB,AC=1,OB=2,AO=2A'O'=2 ×2=22,所以梯形A0BC的面积S=2×1+2)X2 √2=3√2.故选C.] 8.解析：在直观图中，四边形为OA'B'C'菱形且边长为 2 cm, ∴.由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形AB CO是矩形， 其中OA=2cm,OC=4cm, ∴.四边形ABCO的周长为：2×(2+4)=12(cm), 面积为S=2×4=8(cm). y B 答案：128 9.A[依题意可得圆柱的底面半径r=1, 高h=4 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形AB CD, 0 其中AB=x,AD=4, 问题转化为在CD上找一点Q,使AQ十 PQ最短， 作P关于CD的对称点E,连接AE,令 B AE与CD交于点Q, 则得AQ+PQ的最小值就是为AE=√π+(4+2) =√元+36.] 10.解析：圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则它的侧 面展开图扇形的圆心角所对的孤长为2πX1=2π(cm): 所以扇形的国心角为=受=元 答案：r 11.解：圆台的轴截面题图所示，设圆台上、下底面半径分 别为xcm,3.xcm,延长AA1交OO的延长线于S,在 Rt△SOA中，∠ASO=45°，则∠SAO=45°， 所以SO=AO=3x,SO1=A,O1=x,所以OO1=2x. 又5=2(6x+2x)·2x=392,所以x=7. 所以圆台的高OO1=14(cm),母线长l=√2OO= 14√2(cm), 两底面半径分别为7cm,21cm. 12.解：把长方体的部分面展开，如图所示 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC,的长分 别为√90、/74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲 壳虫可以先在长方形ABBA1内由A到E,再在长方 形BCCB:内由E到C1,也可以先在长方形AADD 内由A到F,再在长方形DCCD1内由F到C1,其最 短路程为74. D 乙 新题快递 1.解析：正三棱柱ABCA'B'C'如图① 所示 当按照图②所示展开，过P作PP'⊥ A'C于P',可知PP'=1,A'P=3, 由勾股定理可得AP= √Pp+A'pF=√I0: C 图① R 图② 当按照图③所示展开，连接A'P交B'C'于点O,可知OP =1,A'0=√3， 所以A'P=√3+1. B' A C 图③ 因为√3+1<√10，点A'到点P的路程最小值为√3+1. 答案：W3+1 2.解析：不妨设原棱雏为四 棱锥 设棱台的高为h,截得棱台的 原棱锥的高为h1, 如图所示，即MN=h,PN =h EA7-M 因为四边形ABCD与四边形 EFGH相似， D 且上下底面面积分别为4和 N 兴号 由△PEM∽△PAN, 兴兴台祭-片-1-号=号 33 这个棱台的高和藏得棱台的原棱维的高的比为3 答案：号 假期作业12 思维整合室 1.2xrl xrl (r+r2)1 1 2.Sg·h3Sg·h4xR 技能提升台 素养提升 1.C 2.C 3.A[依题意，圆柱的母线长1=2πr,故S=2xrl=4xr2 =4π.] 4.B[圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4， 设圆台的母线长为！，扇环所在的小圆的半径为x, 1 4 X2π·(l十x)=2πX4 由题意可得： 解得∫=8 X2π·x=2πX2 1=81 04 所以圆台的侧面积元×(2十4)X8=48元.] 5.A[由题意知⊙0的半径r为2，由正孩定理知AB sin C 2r,则OO,=AB=2rsin60°=2√5，所以球O的半径R= √P十OO=4,所以球O的表面积为4xR=64π，故 选A. 6.AC[如图，由∠APB= 120°，AP=2可知，底面直径 AB=2√3，高PO=1,故该圆 锥的体积为π，故A对；该圆 锥的侧面积为23π，故B错： 连接CB,取AC中点为Q, 飞壁快乐假阴 连接QO,PQ,易证二面角P一AC一O的平面角为 ∠PQ0=45°，所以QO=PO=1,PQ=2,所以BC=2, 所以AC=2√2，故C对；S△PAe= 7AC·PQ=2,故 D错.] 7.B[由题意可知：三棱锥PABC的高为PA=3,所以该 四面体的体积为号×3X分×2×2=2.] 8.B[如图，分别过M,C作MM'⊥ PA,CC'⊥PA,垂足分别为M, M M C'.过B作BB'⊥平面PAC,垂足 为B',连接PB,过N作NN'⊥ PB',垂足为N' 因为BB'⊥平面PAC,BBC平A R 面PBB', 所以平面PBB'⊥平面PAC. 又因为平面PBB'∩平面PAC=PB',VN'⊥PB',NN C平面PBB',所以NN'⊥平面PAC, 且BB'∥NN'. 在△PCC'中，因为MM⊥PA,CC'⊥PA, 所以MM/cC,所以0-=白 =3 在△PBB中，周方BB∥NN,所以器沿=号 , 所以巡=型=子SAw·NV VP-AB VB-PAC 3S△PAc·BB 号×（合PAMM)·Nw 3X(2PA·CC）·BB 1 9.B[在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√3，取 AB中，点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图， )A ∠AB0=30°，0C三，AB=2BC3,由△PAB的面报 为9得×8x0C-9, 4 解得PC= .于是p0=Pc=OC =√6， 所以圆锥的体积V= xX0m×P0=3X5×6 1 =√6π.] 10.解析：由题意易求正四棱维的高为6，V被台=V大四骏 V。=号X4X4X6-吉×2X2X3 =28. 答案：28 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交 E- AD延长线于E,则所求几何体的体积 可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一 周所得的圆台的体积，减去△EDC绕 A包 DE旋转一周所得的圆锥的体积.所以 所求几何体的体积V=V台一V属钟= 3πX(5+5X2 +22)×4- 子x×gx2=148 6 12.解：如图所示，作出轴截面，O是球心， 与边BC,AC相切于，点D,E.连接 AD.OE. 因为△ABC是正三角形， 所以CD=AC 因为Rt△AOER△ACD,所以OE-CD. AO AC 因为CD=1cm,所以AC=2cm,AD=√3cm, 设OE=r,则A0=3-r,所以”=} 3-r2' 所以= cm, 3 4 =4 V=3r3= 27x(cm),即球的体积等 .cn. 新题快递 1.C[如图将正方体还原可得如 下图形： N M B 1 则VAAw=3×2X1X1×2 =子Vam4,= =×号×1×2 2 &2三号VpAB99=2三8 所以该几何体的体积V=8一 1 3 2=7.] 2.解析：四面体的体积最大时 即面SAB⊥面ABC, SA=SB=2,且SA⊥SB, BC=√5，AC=√3，所以 ∠ACB=90°， 取AB的中点H,连接 CH,SH, A 、H SH⊥AB,平面SAB∩平面 ABC=AB,SH在平面 SAB内西SH=合2： SA=√2 所以SH⊥平面ABC,所以VsA= 3·S△ABC·SH= 号5=， 6 则外接球的球心在SH上，设球心为O,连接OC,CH= 名·AB=E·SM=E.因为SH=号E·SM= 2,所以O与H重合，所以R=CH=SH=√2， 所以四面体的外接球的表面积S=4πR=8元. 答案：30 6 8K 假期作业13 思维整合室 1.不在一条直线上两点有且只有一条 3.平行相交任何4.10无数0无数 技能提升台素养提升 1.D 2.C[在①中，因为P,Q,R三点既在平面ABC上，又在 平面a上，所以这三点必在平面ABC与a的交线上，即 P,Q,R三，点共线，故①正确；在②中，因为a∥b,所以a 与b确定一个平面a,而1上有A,B两点在该平面上，所 以l二a,即a,b,l三线共面于a;同理a,c,l三线也共面， 不妨设为B,而a,B有两条公共的直线a,l,所以a与B重 合，故这些直线共面，故②正确：在③中，不妨设其中四 点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错.]三-0022 富一数学 图即刻扫码 假期作业12空间几何体的表面积与体积 A伴学助手 可答案速查手册 同步学习微 新知预习宝典 〈《（思维整合室 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 2已知△AC是面积为9的等边三角形， 公式 且其顶点都在球O的球面上.若球O的表 面积为16π，则O到平面ABC的距离为 圆柱 圆锥 圆台 ( 侧面展开 A.3 C.1 D③ 2 2Tr .2mr.. 2m2 3.若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是 0 一个正方形，则这个圆柱的侧面积是 侧 ( A.4π2 B.3π2C.2π2D.x2 积公式 S圆柱侧=】 S闲锥侧一 S圆台侧= 4.已知一个圆台的上、下底面半径分别为 2,4,它的侧面展开图扇环的圆心角为 2. 空间几何体的表面积与体积公式 90°，则这个圆台的侧面积为() 名称 A.32元B.48元C.64πD.80π 表面积 体积 几何体 5.已知A,B,C为球O的球面上的三个点， ⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面 S表面积= 柱体（棱柱和圆柱） V= 积为4π，AB=BC=AC=OO1,则球O的 S侧十2S底 表面积为 S表面积= A.64π B.48πC.36π V= D.32π 锥体（棱锥和圆锥） S侧十S底 6.(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥 S表面积= v=3· 的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面 直径，∠APB=120°，PA=2,点C在底 台体（棱台和圆台） S侧十S上+S下 (S上+S下+ 面圆周上，且二面角PACO为45°，则 WS上S下)h () A.该圆锥的体积为π 球 S= B.该圆锥的侧面积为4√3π 技能提升台 C.AC=2√2 素养提升 D.△PAC的面积为√3 ◆[考点一] 空间几何体的表面积与侧 ◆[考点二]空间几何体的体积 7.《九章算术》中记载，四个 面积 面都为直角三角形的四面 1.如图所示，圆锥的底面半 体称之为鳖臑.现有一个 径为1，高为3，则该圆锥 √3 “鳖臑”，PA⊥底面ABC, 的表面积为 ) AC⊥BC,且PA=3,AC A.元 B.2π =BC=2,则该四面体的体积为( C.3π D.4π A.1 B.2 C.4 D.8 27 火壁快乐假期 900= 8.(2023·天津卷)在三棱锥P一ABC中， 12.轴截面是正三角形的圆锥内有一个内 线段PC上的点M满足PM=PC,线 切球，若圆锥的底面半径为1cm,求球 的体积. 段PB上的点N满足PN=号PB,则三棱 锥P一AMN和三棱锥P一ABC的体积 之比为 ( A号 B号 c号 D 9.(2023·全国乙卷（理）)已知圆锥PO的 底面半径为√3，O为底面圆心，PA,PB 为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB 的面积等于后，则该圆锥的体积为 ( A.πB.√6πC.3π D.3√6π 10.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的 正四棱锥被平行于其底面的平面所截， 截去一个底面边长为2，高为3的正四 新题快递 棱锥，所得棱台的体积为 11.如图，在四边形AB 1.如图是一个棱长为2 M B CD中，∠DAB=90°，D 的正方体被过棱 ∠ADC=135°，AB= A1B1、A1D1的中点 D 5,CD=22,AD=2, M、N,顶点A和过点 求四边形ABCD绕AD旋转一周所成 N顶点D、C,的两个 几何体的体积. 截面截去两个角后所得的几何体，则该 几何体的体积为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.在四面体SABC中，SA=SB=2,且SA ⊥SB,BC=√5，AC=√3，则该四面体体 积的最大值为 ,该四面体外 接球的表面积为 《益智欢乐谷 今天做数学题.十个 人排队，甲不能站中间， 不能站两端，还得和乙挨 着，还得和丙隔两个人， 还得站丁后面.经过激烈 的讨论，大家一致认为，让甲滚… 28