假期作业11 空间几何体的结构特征、直观图-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

快乐假期 假期作业11空间几何体的 思维整合室 1.多面体的结构特征 图形 结构特征 有两个面相互平 D' C 行，且该多面体的 棱柱侧面 底面 顶点都在这两个面 侧棱 C 上，其余各面都是 顶点 平行四边形 S 顶点 一个面是多边形， 侧棱 斜高 棱锥 侧面 且其余各面都是有 高 个公共顶点的三 0-- B 底面 角形 上、下底面平行且 棱台 B 相似，侧棱的延长 侧棱 D 底面 B顶点 线交于一点 2.旋转体的结构特征 图形 结构特征 两个底面互相平 0 B' 行，有无数条母线， 轴 圆柱 侧面 且长度相等，都与 母线 轴平行，过轴的截 0 底面 B 面是全等的矩形 底面是圆面，有无 数条母线，长度相 翻 等且交于一点，平 母线 侧面 行于底面的截面是 圆锥 与底面大小不相等 A 0 的圆，过轴的截面 B 底面 是全等的等腰三 角形 900- 积土而为山，积水而为海。 结构特征、直观图 完成日期： 月 夕 图形 结构特征 上、下底面平行且 不相等，母线的延 上底面 长线交于一点，平 轴 母线 行于底面的截面是 圆台 侧面 与两底面大小都不 相等的圆，过轴的 下底面 截面是全等的等腰 梯形 半径 过球心的截面是大 球 球心 小相等的圆 3.空间几何体的斜二测画法 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则：①原图形中x轴、y轴、之轴两两 垂直，直观图中，x'轴，y轴的夹角为 ,z轴与x'轴和y'轴所在平 面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观 图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和之 轴的线段在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段长度在直观图中 〈《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]空间几何体的结构特征 1.观察如图所示的四个几何体，其中判断 不正确的是 ) ④ A.①是棱柱 B.②不是棱锥 C.③不是棱锥 D.④是棱台 24 三0022 2.下列说法中，正确的是 A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱 的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 3.(多选)下列命题正确的是 ) A.过球面上任意两点只能作一个经过球 心的圆 B.球的任意两个经过球心的圆的交点的 连线是球的直径 C.用不过球心的截面截球，球心和截面 圆心的连线垂直于截面 D.球的半径是球面上任意一点和球心的连 线段 4.下列说法正确的是 A.有两个面平行，其余各面都是四边形 的几何体叫棱柱 B.过空间内不同的三点，有且只有一个 平面 C.棱锥的所有侧面都是三角形 D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之 间的部分组成的几何体叫棱台 ◆[考点二]空间几何体的直观图 5.(多选)下列关于直观图的斜二测画法的 说法，正确的是 ( A.原图形中平行于x轴的线段，其对应 线段平行于x'轴，长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段，其对应 线段平行于y轴，长度变为原来的 C.画与直角坐标系xOy对应的x'O'y 时，∠x'O'y'必须是45° D.在画直观图时，由于选的轴不同，所得 直观图可能不同 2 6.用斜二测画法作一个边长为2的正方 形，则其直观图的面积为 A.② B.2 C.4 D.√2 4 7.若水平放置的四边 形AOBC按“斜二测 A C 画法”得到如图所示 的直观图，其中A'C” /01 B' ∥OB',A'C'⊥B'C',A'C'=1,OB'=2, 则原四边形AOBC的面积为 A.12 B.6 C.3√2 D.3② 8.在直观图（如图）中，四 边形为OA'B'C'菱形 -B 且边长为2cm,则在 0 A' xOy坐标系中，四边形 ABCO周长为 cm,面积为 cm2. ◆[考点三]几何体的有关计算 9.如图，一个矩形边长为1和 4,绕它的长为4的边旋转二 周后所得如图的一开口容器 (下表面密封)，P是BC中点，现有一只 妈蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒， 若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点 P处取得米粒，则它所需经过的最短路 程为 ( ) A.√π2+36 B.√x2+16 C.√/4π2+36 D.√/4π2+1 10.圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm, 则其侧面展开图扇形的圆心角= 蜜快乐医期 11.圆台的一个底面周长是另 一个底面周长的3倍，轴截 面的面积等于392cm,母 线与轴的夹角是45°，求这 母线长和两底面半径. S0Me 12.长方体ABCD-A,B,C1D D (如图所示)中，AB=3, A BC=4,A1A=5,现有一 D 个圆台的高、 甲壳虫从A出发沿长方 体表面爬行到C1来获取食物，试画出它 的最短爬行路线，并求其路程的最小值， 新题快递 1.已知正三棱柱ABCA'B'C'的各棱长均 为2，P是线段BC'的中点，沿正三棱柱 的表面从点A'到点P的路程最小值 为 2.棱台的上下底面面积分别为4和9，则这 个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的 比是 【《益智欢乐谷 某学生本科读的重 大，硕士读的浙大，博士读 的北大，毕业证上校长栏 统统盖的林建华的章， 找工作的时候，面试 官：“同学，造假也要专业一点，你就不能多 刻几个章？”（林建华先后任重大、浙大、北 大的校长) 26飞坠快乐度期 (2)由(1)可得： [f(0)]=(√5+4cos0+√5-4cos0) =10+2√5+4c0s0·√5-4cos日=10+ 2√25-16cos0, 因为，θ∈[0，π]，所以0≤cos0≤1， [f(θ)]=10+2√25-16cos9≤10+2√25=20（百 米) 当且仅当cos0=0,即0=乏时取等号， 因为f(0)=/5+4cos0+√/5-4cos0>0,.∴.f(0)= 20=2W5(百米). .管道总长的最大值为2√5百米， 假期作业10 思维整合室 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d(4)a =c且b=-d(5)|x|a+bil 3.(1)(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+ (ad+bc)i 是+2+十(+ 技能提升台素养提升 1.C[(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2, 所以2a=?,。解得a=1.] 11-a2=0. 2.D[~在复平面对应的，点是（一1，√3），根据复数的几何意 义，=一1十√3i,由共轭复数的定义可知，=一1一√3i] 2 2(1+i) 3.BD 1(1(=1+i. .|z=√2，=2i,之的共軛复数为1一i,之的虚部为1， 故A,C错，B,D正确.] 4.A[由题知(1+3i)(3一i)=3-i+9i-3i=6+8i,所以 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限，门■ 5.D[由题意(x+yi)+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2yi= 3+20i,所以{，3解释1y=4,所议 +y=5.] 6.BCD[若之1>，则1为实数，当1=1，=-2 时，满足之>2，但心|<2，故C项不正确：因为两个 虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正 确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1一 ≠1+i,但1一i=|1十i,所以B项不正确；因为当两个 复数相等时，模一定相等，所以A项正确.故选BCD.] 7.D[对原式两边同时乘以i得：之一1=i,即之=1+i,所 以义=1一i即之十义=2，故选D.] 8.B[由题意可得之= 2+i 2+i=i(2+边= 1++=1中= 2i-1=1-2i,则=1+2i.] -1 0.A[因为=计云=-2，所以8=子，所以-8 1一i -i.] 10解折：由题意可得票-器-2 (2+3i)(2-3i) 13 =4十i. 答案：4十i 11.解：设之=a+bi(a,b∈R),由x=1+3i-心， 得√0+b-1-3i+a+bi=0, 则{+6+Q-1=0,所以a二。4'所以之=一4 1b-3=0, 1b=3, +3i. 则1+i)3+4D2=2i(3+4D2 =2(-4+3D 2(-4+3i)(3+4=3+4i 2(-4+3i) 12.解：(1)设之=a+bi(a,b∈R), 由已知条件得：a+b=2,g=a-b+2abi,所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=一1，即之=1十i或之=一1一i. 6 900-= (2)当=1+i时，x2=(1+i)2=2i,x-x2=1-i, 所以点A(1,1),B(0,2),C(1,一1)， 所以Sae=号1ACX1=合×2X1=1: 当x=-1-i时，x2=(-1-i)2=2i,x-2=-1-3i 所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ =号1ACX1=号×2X1=1.即△ABC的面积为1. 2 新题快递 1.CD[自=之+时满足10配=1，放A Z1Z,=0Z,-0Z=(3,4)-(4,3)=(-1,1),B错误： 设1=a+bi,2=c+di,a,b,c,d∈R 若|≈1十2|=|x1-心21，则(a十c)2+(b十d)=(a-c) +(b-d)2,化简得：ac+bc=0,故OZ1·OZ,=ac+bd= 0,所以OZ1⊥OZ2,C正确； 设之1=a+bi,2=c十di,a,b,c,d∈R, OZI+OZ:=(a+c,6+d),OZ-OZ:=(a-c,6-d), 若(OZ1+OZ,)⊥(OZ-OZ,),则(a+c)(a-c)+(b+ d)(b-d)=a2+6-2-d=0, 所以a+6=c2十d,则|1|=|21，D正确.] 2,AC对于A,当6一4ac=0时，x三x=一2名∈R,故 正确；对于B,当b一4ac<0时，则x1= 二6-i二6+4ac,:=-b+i+4ac,则x1E 2a 2a R,x2任R,且x1≠x2,故错误；对于C,由一元二次方程根 与系数的关系可得十：=一名西=名，故正确： 对于D,(z,一，)=二4@c,故错误.故选AC.] 假期作业11 思维整合室 3.(2)45°（或135°）变为原来的一半 技能提升台 素养提升 1.B2.C 3.BCD[当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆， 故A错；B正确；C正确；根据球的半径的定义可知D正确.] 4.C[选项A,四棱台的上下底面平行，其余各面也均为 四边形，但不是棱柱，即A错误；选项B,若这三点共线， 则可以确定无数个平面，即B错误：选项C,棱锥的底面 为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，即C 正确；选项D,只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面 与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，即D错误.门 5.ABD[由直观图的画法规则，可知A,B,D正确，C中 ∠x'O'y'可以是45°或135°，故C错误.故选ABD.] 6.D「根据斜二测画法的原则可知OC=2,OA=1, 0 C x 所以对应直观图的面积为S=2×号×0 AX OCx sim45=2X2×1X2X 2 =√2.] 7.C[因为A'C'∥OB', y A'C'⊥BC',A'C=1,O1 A B=2,所以由斜二测画 法的直观图可知OA'= √2，所以由斜二测画法的 规则还原原图形AOBC, ⊙ 如图. 三0022 所以AC∥OB,OA⊥OB,AC=1,OB=2,AO=2A'O'=2 ×2=22,所以梯形A0BC的面积S=2×1+2)X2 √2=3√2.故选C.] 8.解析：在直观图中，四边形为OA'B'C'菱形且边长为 2 cm, ∴.由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形AB CO是矩形， 其中OA=2cm,OC=4cm, ∴.四边形ABCO的周长为：2×(2+4)=12(cm), 面积为S=2×4=8(cm). y B 答案：128 9.A[依题意可得圆柱的底面半径r=1, 高h=4 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形AB CD, 0 其中AB=x,AD=4, 问题转化为在CD上找一点Q,使AQ十 PQ最短， 作P关于CD的对称点E,连接AE,令 B AE与CD交于点Q, 则得AQ+PQ的最小值就是为AE=√π+(4+2) =√元+36.] 10.解析：圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则它的侧 面展开图扇形的圆心角所对的孤长为2πX1=2π(cm): 所以扇形的国心角为=受=元 答案：r 11.解：圆台的轴截面题图所示，设圆台上、下底面半径分 别为xcm,3.xcm,延长AA1交OO的延长线于S,在 Rt△SOA中，∠ASO=45°，则∠SAO=45°， 所以SO=AO=3x,SO1=A,O1=x,所以OO1=2x. 又5=2(6x+2x)·2x=392,所以x=7. 所以圆台的高OO1=14(cm),母线长l=√2OO= 14√2(cm), 两底面半径分别为7cm,21cm. 12.解：把长方体的部分面展开，如图所示 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC,的长分 别为√90、/74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲 壳虫可以先在长方形ABBA1内由A到E,再在长方 形BCCB:内由E到C1,也可以先在长方形AADD 内由A到F,再在长方形DCCD1内由F到C1,其最 短路程为74. D 乙 新题快递 1.解析：正三棱柱ABCA'B'C'如图① 所示 当按照图②所示展开，过P作PP'⊥ A'C于P',可知PP'=1,A'P=3, 由勾股定理可得AP= √Pp+A'pF=√I0: C 图① R 图② 当按照图③所示展开，连接A'P交B'C'于点O,可知OP =1,A'0=√3， 所以A'P=√3+1. B' A C 图③ 因为√3+1<√10，点A'到点P的路程最小值为√3+1. 答案：W3+1 2.解析：不妨设原棱雏为四 棱锥 设棱台的高为h,截得棱台的 原棱锥的高为h1, 如图所示，即MN=h,PN =h EA7-M 因为四边形ABCD与四边形 EFGH相似， D 且上下底面面积分别为4和 N 兴号 由△PEM∽△PAN, 兴兴台祭-片-1-号=号 33 这个棱台的高和藏得棱台的原棱维的高的比为3 答案：号 假期作业12 思维整合室 1.2xrl xrl (r+r2)1 1 2.Sg·h3Sg·h4xR 技能提升台 素养提升 1.C 2.C 3.A[依题意，圆柱的母线长1=2πr,故S=2xrl=4xr2 =4π.] 4.B[圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4， 设圆台的母线长为！，扇环所在的小圆的半径为x, 1 4 X2π·(l十x)=2πX4 由题意可得： 解得∫=8 X2π·x=2πX2 1=81 04 所以圆台的侧面积元×(2十4)X8=48元.] 5.A[由题意知⊙0的半径r为2，由正孩定理知AB sin C 2r,则OO,=AB=2rsin60°=2√5，所以球O的半径R= √P十OO=4,所以球O的表面积为4xR=64π，故 选A. 6.AC[如图，由∠APB= 120°，AP=2可知，底面直径 AB=2√3，高PO=1,故该圆 锥的体积为π，故A对；该圆 锥的侧面积为23π，故B错： 连接CB,取AC中点为Q,