假期作业10 复数-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

快乐假期 工欲善其事，必先利其器。 假期作业10复数 完成日期： 月 日 《思维整合室 ③乘法：之1·之2=(a十bi)·(c十di)= 1.复数的有关概念 (1)复数的定义 除法：兰=a十i=（a十6i)c二 c+di (c+di)(c-di) 形如a十bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中实 部是 ,虚部是 (c+di≠0). (2)复数的分类 (2)复数加法的运算律 复数x=a+bi(a,b∈R) 复数的加法满足交换律、结合律，即对 实数(b 0), 任何之1,22，之3∈C,有之1十z2= 纯虚数(a 0,b 0), (x1十之2)十23= 虚数(b 0) 非纯虚数(a≠0，b≠0). 《技能提升台 (3)复数相等 素养提升 a+bi=c+di台 (a,b,c,d∈ ◆[考点一]复数的概念及其几何意义 R). 1.(2023·全国甲卷（理）)若复数(a+i)(1 (4)共轭复数 一ai)=2,a∈R,则a= a+bi与c十di共轭台 (a,b, A.-1 B.0 C.1 D.2 c,d∈R). 2.(2023·北京卷)在复平面内，复数之对应 (5)复数的模 的点的坐标是（一1，√3）.则之的共轭复 向量OZ的模叫做复数之=a+bi的模，记 数= ( 作 或 ,即|x|=|a+bi=r A.1+√i B.1-√5i =√a+b(r≥0，a、b∈R). C.-1+3i D.-1-3i 2.复数的几何意义 2 一一对应 (1)复数之=a+bi 复平面内的点 3.(多选)下面是关于复数x=二的四个 Z(a,b)(a,b∈R). 命题，其中真命题为 A.|x|=2 (2)复数之=a+bi(a,b∈R) 一一对应，平面 B.2=2i 向量0z. C.之的共轭复数为一1+i 3.复数的运算 D.之的虚部为1 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 4.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1+ 设之1=a+bi,x2=c+di(a,b,c,d∈ 3i)(3一i)对应的点位于 R),则 A.第一象限 B.第二象限 ①加法：x1+z2=(a十bi)十(c+di)= C.第三象限 D.第四象限 5.已知i为虚数单位，x,y为实数，若(x+ ②减法：x1一x2=(a十bi)(c+di) yi)+2=(3-4i)+2yi,则x+y=( A.2 B.3 C.4 D.5 22 三00p2 富一数类) 6.(多选)已知1,2为复数，则下列说法不 12.已知复数之满足|之=√2，之2的虚部 正确的是 为2. A.若x1=x2,则|z1|=|z2 (1)求复数z; B.若1≠之2，则之1|≠|之2 (2)设之，之2，x一之2在复平面内对应的点 C.若x1>之2，则x1|>|z2 分别为A,B,C,求△ABC的面积. D.若|之11>z21,则x1>2 ◆[考点二]复数的代数运算 7.(2022·新高考I卷)若i(1一z)=1,则十之 ( A.-2 B.-1 C.1 D.2 8.(2023·全国乙卷（理）)设之1+平十 2+i 则乏= ( ) 新题快递 A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 1.(多选)已知复数x1对应的向量为OZ, 复数2对应的向量为OZ2,则下列说法 0.(2023·新课标卷)已知x十2则之 正确的是 () 一文= ( A.若1OZ1|=1,则x1=士1或士i A.-i B.i C.0 D.1 B.若x=4十3i,2=3十4i,则Z,乙=(1，-1) 10.(2023·天津卷)已知i是虚数单位，化 C.若|x1十x2=|x1-x2,则OZ1⊥OZ2 简计的结果为 D.若(OZ,+OZ2)⊥(OZ-Oz,),则 11.已知复数满足|之|=1+3i一之，求 1x11=|z2 1+i)(3+4)的值. 2.(多选)对于实系数一元二次方程ax2十 bx十c=0(a,b,c∈R),在复数范围内的 解是x1,x2,下列结论中正确的是( A.若b-4ac=0,则x1,x2∈R且x1 =x2 B.若b2一4ac<0,则x1庄R,x2庄R,且 x1=x2 C.一定有x1十x2=- a= D.一定有(x1-)2=1B-4ac 23 《益智欢乐谷 世上没有坐享其成的好事，要幸福就 要奋斗！ 幸福是奋斗出来的，不是等出来的！ 向着目标，我们一起努力吧！ 23飞坠快乐度期 (2)由(1)可得： [f(0)]=(√5+4cos0+√5-4cos0) =10+2√5+4c0s0·√5-4cos日=10+ 2√25-16cos0, 因为，θ∈[0，π]，所以0≤cos0≤1， [f(θ)]=10+2√25-16cos9≤10+2√25=20（百 米) 当且仅当cos0=0,即0=乏时取等号， 因为f(0)=/5+4cos0+√/5-4cos0>0,.∴.f(0)= 20=2W5(百米). .管道总长的最大值为2√5百米， 假期作业10 思维整合室 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d(4)a =c且b=-d(5)|x|a+bil 3.(1)(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+ (ad+bc)i 是+2+十(+ 技能提升台素养提升 1.C[(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2, 所以2a=?,。解得a=1.] 11-a2=0. 2.D[~在复平面对应的，点是（一1，√3），根据复数的几何意 义，=一1十√3i,由共轭复数的定义可知，=一1一√3i] 2 2(1+i) 3.BD 1(1(=1+i. .|z=√2，=2i,之的共軛复数为1一i,之的虚部为1， 故A,C错，B,D正确.] 4.A[由题知(1+3i)(3一i)=3-i+9i-3i=6+8i,所以 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限，门■ 5.D[由题意(x+yi)+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2yi= 3+20i,所以{，3解释1y=4,所议 +y=5.] 6.BCD[若之1>，则1为实数，当1=1，=-2 时，满足之>2，但心|<2，故C项不正确：因为两个 虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正 确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1一 ≠1+i,但1一i=|1十i,所以B项不正确；因为当两个 复数相等时，模一定相等，所以A项正确.故选BCD.] 7.D[对原式两边同时乘以i得：之一1=i,即之=1+i,所 以义=1一i即之十义=2，故选D.] 8.B[由题意可得之= 2+i 2+i=i(2+边= 1++=1中= 2i-1=1-2i,则=1+2i.] -1 0.A[因为=计云=-2，所以8=子，所以-8 1一i -i.] 10解折：由题意可得票-器-2 (2+3i)(2-3i) 13 =4十i. 答案：4十i 11.解：设之=a+bi(a,b∈R),由x=1+3i-心， 得√0+b-1-3i+a+bi=0, 则{+6+Q-1=0,所以a二。4'所以之=一4 1b-3=0, 1b=3, +3i. 则1+i)3+4D2=2i(3+4D2 =2(-4+3D 2(-4+3i)(3+4=3+4i 2(-4+3i) 12.解：(1)设之=a+bi(a,b∈R), 由已知条件得：a+b=2,g=a-b+2abi,所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=一1，即之=1十i或之=一1一i. 6 900-= (2)当=1+i时，x2=(1+i)2=2i,x-x2=1-i, 所以点A(1,1),B(0,2),C(1,一1)， 所以Sae=号1ACX1=合×2X1=1: 当x=-1-i时，x2=(-1-i)2=2i,x-2=-1-3i 所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ =号1ACX1=号×2X1=1.即△ABC的面积为1. 2 新题快递 1.CD[自=之+时满足10配=1，放A Z1Z,=0Z,-0Z=(3,4)-(4,3)=(-1,1),B错误： 设1=a+bi,2=c+di,a,b,c,d∈R 若|≈1十2|=|x1-心21，则(a十c)2+(b十d)=(a-c) +(b-d)2,化简得：ac+bc=0,故OZ1·OZ,=ac+bd= 0,所以OZ1⊥OZ2,C正确； 设之1=a+bi,2=c十di,a,b,c,d∈R, OZI+OZ:=(a+c,6+d),OZ-OZ:=(a-c,6-d), 若(OZ1+OZ,)⊥(OZ-OZ,),则(a+c)(a-c)+(b+ d)(b-d)=a2+6-2-d=0, 所以a+6=c2十d,则|1|=|21，D正确.] 2,AC对于A,当6一4ac=0时，x三x=一2名∈R,故 正确；对于B,当b一4ac<0时，则x1= 二6-i二6+4ac,:=-b+i+4ac,则x1E 2a 2a R,x2任R,且x1≠x2,故错误；对于C,由一元二次方程根 与系数的关系可得十：=一名西=名，故正确： 对于D,(z,一，)=二4@c,故错误.故选AC.] 假期作业11 思维整合室 3.(2)45°（或135°）变为原来的一半 技能提升台 素养提升 1.B2.C 3.BCD[当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆， 故A错；B正确；C正确；根据球的半径的定义可知D正确.] 4.C[选项A,四棱台的上下底面平行，其余各面也均为 四边形，但不是棱柱，即A错误；选项B,若这三点共线， 则可以确定无数个平面，即B错误：选项C,棱锥的底面 为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，即C 正确；选项D,只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面 与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，即D错误.门 5.ABD[由直观图的画法规则，可知A,B,D正确，C中 ∠x'O'y'可以是45°或135°，故C错误.故选ABD.] 6.D「根据斜二测画法的原则可知OC=2,OA=1, 0 C x 所以对应直观图的面积为S=2×号×0 AX OCx sim45=2X2×1X2X 2 =√2.] 7.C[因为A'C'∥OB', y A'C'⊥BC',A'C=1,O1 A B=2,所以由斜二测画 法的直观图可知OA'= √2，所以由斜二测画法的 规则还原原图形AOBC, ⊙ 如图.