假期作业5 向量的数量积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

-0022 富一数) 图即刻扫码 假期作业5向量的数量积 AI伴学助手 又答案速查手册 同步学习微课 新知预习宝典 【《思维整合室 3.已知向量AB=(2,0),AC=(-1,2),且满足 1.向量的数量积 (AB+AC)⊥BC,则入的值为 定义：当a与b都是非零向量时，称 ◆[考点二]利用向量数量积求向量的夹 为向量a与b的数量积（或内积）.规定：零 角和模 向量与任一向量的数量积为 4.(2023·北京卷)已知向量a、b满足a+b= 2.向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b= (2,3),a-b=(-2,1),则1a2-|b2= (2)数乘结合律：(a)·b=(a·b)=a·(b); ( (3)分配律：a·(b+c)= A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.向量数量积的坐标运算 5.(2023·全国甲卷（理）)向量|a|=|b=1, 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2）, lc=√2，且a十b+c=0,则cos(a-c,b-c》 (a,b)=0. ( 结论 几何表示 坐标表示 模 lal= lal= A.1 B.-2 c 数量积 a·b= a·b= 6.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足 夹角 cos 0- c0s0= 1a-b1=√3，|a+b|=|2a-b1,则|b= a⊥b a·b=0 4.向量在几何中的应用 ◆[考点三]平面向量的垂直及应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线 7.(多选)已知a,b为非零向量，且a=(x1, 向量定理：a∥b台a=b台x1y2一x2y1= 0(b≠0) y1),b=（x2,y2),则下列命题中与a⊥b (2)证明垂直问题，常用数量积的运算 等价的有 () 性质： A.a·b=0 B.x1x2十y1y2=0 a⊥b台a·b=0台x1x2+y1y2=0. C.a+bl=la-bl D.a2+b2=(a-b)2 《技能提升台 8.(2023·新课标I卷)已知向量a=（1, 素养提升 1),b=(1,一1)，若(a+b)⊥(a+b),则 ◆[考点一]平面向量数量积的运算 ( 1.已知向量a=(6,-8),b=(3,m),a∥b, A.λ+=1 B.λ十=-1 则a·b= ) A.14B.-14 C.50 D.-50 C.λμ=1 D.λ=-1 2.(2023·全国乙卷（文）)正方形ABCD的边长 9.已知向量a,b的夹角为5，(a-b)⊥b,则 是2，E是AB的中点，则EC·ED=( a+b A.5 B.3 C.2√5D.5 a-b 11 飞曼快乐隧 S0M-= ◆[考点四]平面向量数量积的综合应用 新题快递 10.(多选)若向量a=(3,3),b=(n,3), 1.已知向量a,b是非零向量，设甲：向量a, 下列结论正确的有 b共线；乙：关于x的方程a2x2+2a·bx A.若a,b同向，则n=1 十b2=0有实数根；则 ( B.与a垂直的单位向量一定 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.若b在a上的投影向量为3e(e是与 C.甲是乙的充要条件 向量a同向的单位向量)，则n=3 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 D.若a与b的夹角为钝角，则n的取值 2.(多选)如图，以AB为直 范围是（一3，十∞） 径在正方形内部作半圆 11.如图所示，ABCD是 O,P为半圆上与A,B不 正方形，M是BC的 重合的一动点，下面关于 中点，将正方形折起使 0 点A与M重合，设折 PA+PB+PC+PD|的说法正确的是 痕为EF,若正方形面 积为64，求△AEM的面积 A.无最大值，但有最小值 B.既有最大值，又有最小值 C.有最大值，但无最小值 D.既无最大值，又无最小值 《益智欢乐谷 诺贝尔奖不设数学奖，但国际数学界 有一个代表数学界最高成就的大奖—菲 尔兹奖， 12.在△ABC中，AB·AC=0,|AB1=12, 菲尔兹奖于1932年在第九届国际数 1BC1=15,l为线段BC的垂直平分线，l 学家大会上设立，1936年首次颁奖.该奖以 与BC交于点D,E为l上异于D的任意一 加拿大数学家约翰·菲尔兹的名字命名， 点. 授予世界上在数学领域做出重大贡献且年 (1)求AD·CB的值； 龄在40岁以下的数学家.该奖由国际数学 (2)判断AE·CB的值是否为一个常 联盟（简称IMU)主持评定，每4年颁发一 数，并说明理由. 次，每次获奖者不超过4人，每人可获得一 枚纯金制作的奖章和一笔奖金.奖章上刻 有希腊数学家阿基米德的头像，还有用拉 丁文镌刻的“超越人类极限，做宇宙主人” 的格言. 1982年，美籍华人数学家丘成桐荣获 菲尔兹奖，成为获此殊荣的第一位华人 12人曼快系假阴 12.解：(1)对于函数y=Asin(wz十g),由图像可知，A= 8。-==#入y 当x平时(）-m受=1y=合×项- 4 2 7g>1:所以由图可知)与y=号-的变点个 8 8s如（信+）中，可得如（倍+p)1,g+y 数为3.] 假期作业5 =2x+受（∈，g=2x-吾（∈》.因为1g<受 思维整合室 所以g=吾故y=8(倍吾）小e[48 1.abcos602.(1)b·a(3)a·b+a·c 3.a·a√+y|al lblcos6z1z+y1y a·b ab 2在y8n(告一吾）中，令=4，得y=4,故N4 zIz:+yiy2 4),从而得OD对应的函数为y=2√瓦(0≤x≤4).设点 +y+ 1x+y1y2=0 P(作t)0<1≤4)，则矩形PMFE的面积S 技能提升台素养提升 1.C[因为向量a=(6,-8),b=(3,m),a∥b,所以6m+ 24=0,解得：m=-4,a·b=18-8m=18-8×(-4) (4-)r0≤<0.因为s=4- 4 -,由S=0,得t =50.] ,当1(，时，s>0,5单增：当1 2.B[以{AB,AD}为基底向量，可知AB=|AD=2, AB·AD=0 4时S<0S道减所以当=时S 3 则EC-EB+BC-之AB+AD,ED=EA+AD 大，此时点P的坐标为 -店+A 新题快递 所以式·BD=(合A店+AD)·(A店+AD) 1.D[因为f(x)=sin(w.x+p)在区间 (，)单调 A+A市=-1+4=3.] 递增， 所以号---且>0，T= 2π 3.解析：因为BC-AC-A店=(-3,2)，所以(aA店+AC) =2, ⊥BC→(AAB+AC)·BC=0→AAB·BC+AC·BC 当2=否时，f(x)取得最小值，则2·吾十9=2kx-空， 0,即-6似十7=0，解得A=名 k∈，则p=2张x-晋k∈， 答案：6 不持取=0，则代x)=sm(2x-爱) 4.B[向量a,b满足a十b=(2,3), a-b=(-2,1), 别()如() 所以|a|2-1b=(a+b)·(a-b)=2×(-2)+3×1= -1. 2.C[因为y=c0(?x+看)向左平移吾个单位所得函 5.D[由a+b+c=0得a+b=-c,所以(a+b)2=(-c)2, 即a+2a·b+b=c,又|a=|bl=1,lcl=2, 数为y=o[(+)+若] 所以a·b=0,所以a⊥b. 如图所示：a-c=CA,b-c=CB, cos(2z+）-n2z,所以fx)=-in2, 由余弦定理得|CA=|CB=√5 而y= 2- 里然过(0，-号)与1,0)两点， 所以cos∠ACB=5+5-2 2√5×5 作出f(x)与y= 的大致像如下， 1 号即cosa-cb-e)=台 x 6,解析：由a+b=2a-b,得a =2a·b: 由a-b1=√3，得a2-2a·b+b=3,即b=3, |b=√3 f(x) 答案：√ 7.ABCD [la+bl=la-bla+bl2=la-bl'a2+2a 考虑2x= 经2x=经2x=受，即x=-=3 ·b+b°=a-2a·b+b2←台→a·b=0,a2+b=(a-b)台 2 a2+b2=a°-2a·b+b台a·b=0.] x=经处f)与y=-号的大小关系， 8.D[(a+b)·(a+b)=a+(a+)(a·b)+b =2(1+入)=0，所以=-1.] 9.解析：由向量a,b的夫角为号，且(a-b)Lb, =×(）=-4<-1： 8 得(a-b)·b=ab-b=之ab1-b=0, 所以1a=2b1,合-2 3m-4<1: 因为a+bl=√(a+b)=√a+2a·b+b =4b+2b+1b平=√71b1, 54 三0022 富一教学 |a-b=√(a-b)=√a-2a·b+b 假期作业 =√4b-2b+b=3b1, 思维整合室 所以a+b=2I l,sin acos B士cos asin B cos acos3±sin asin B 1a-b=3 tana士tan3 2.2sin acos a cos'a-sin'a 2cos'a-1 答案：2 ②1 1干tan atan B 3 1-2sina 技能提升台 素养提升 10.AC[设a=b(>0),所以{知=3，解得{=B 1.A2.B 1N3k=3, n=1, 3.ABC[对于A,tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°= 即a=√3b,故A正确： tan(25°+35)(1-tan25°tan35)+√3tan25°tan35°= 设c=(x,y)是与a垂直的单位向量，则有5.x十3y=0,.x √5-√3tan25°tan35°+√3tan25°tan35°=√5； +y=1,所以c= -5,号}或c=5,-1},故B错 对于B,2(sin35°cos25°+cos35cos65)=2(sin35°cos25°+ 221 22 cos35sin25)=2sim60°=√3； 误：因为b在a上的投影向量为3，所以a:b=3,所以 =tan45°+tan15 a 对于C,1-anl5-tan45tami5习 =tan60°=√3； Bn+35=3,解得n=3,故C正确： 2√3 1 2am 1 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a,b不共 对于D, 线，所以5n十3y5<0,解得{，3即n<-3,所以n 3一3n≠0， n≠1， 综上，式子的运算结果为√3的选项为ABC故选ABC.] ∈(-∞，-3)，故D错误.故选AC.] 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然 4,B[因为sin(a-B)=sin acosB-cos asin B=3, EF是AM的中垂线，设AM与EF 交于点N,则N是AM的中点，又正方 cos asin B-- 形边长为8，所以M(8,4),V(4,2). 石，刻in o子 设点E(e,0),则AM=(8,4),AV=(4, 效ma+=n6s计i=名+日-子 2),AE=(e,0),EN=(4-e,2), O(A) B 由AMLEN得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0, 即sa+1-ma+9-1-3x(台）-] 解得e=5,即|AE1=5. 6.D[由半角公式可知sim号=1一ose,解得sin受 2 所以Sav-2A1Bi=2×5X4=10. 12.解：(1)AB.AC=0,.ABLAC. 又|AB1=12,|BC1=15,.|AC1=9. 6解折n0=2g,8E(0受）Ps0=个=5 5 由已知可得AD=?(A店+AC,C=A店-A心， 3tan9=n9-2,.tan20= 2tan 0 4 4 cos -tan'1-4-3, ∴A市.C成=2店+A)(正-Ad =2A店-)=2144-81)-2 an(2-） an20-1an至 =tan28-1 = 1+an2am子 1+tan 20 (2)AE.CB的值为一个常数 31 4 理由：：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D, E为1上异于D的任意一点，DE·CB=0 47. 故A正.CB=(AD+DE)·CB=AD.CB+DE.CB 1 =d.C店=3（常数） 答案：7 新题快递 .B[由题高知x)=号smx十4X1十兰=号n: 2 1.C[关于x的方程ax+2a·br十b=0有实数根，则 △=4(a·b)2-4ab2≥0， 十2cosx+2=吾sinx+p)+2(共中1ang-专)又因 故(a·b)≥ab2,即|a·b≥|a|bl, 为x∈R,所以f)的最大值为号.] 又|a·b≤|albl,所以|a·b=|al|b,即向量a,b共 线，反之也成立，因此两者应为充要条件. 8.D[由题意得：：y=sinx(sinx+cosx)=sinx十 2.A[设正方形的边长为2，如图建立 平面直角坐标系. 2sin 2x-1-cos 2x+1 2 2 sin 2.-2 in(x-)+ 则A(-1,0),B(1,0),C(1,2), D-1,2),P(cos,sin)(其中0<f<x, 之，选项A:函载的最小正月期为Tm-受=，故 2 PA+PB+PC+PD=(-1-cos 0.- sin )(1-cos 0,-sin )+(1-cos A错误：选项B:由于-1≤sin(2x-）≤1，函数的最大 0,2-sin8)+(-1-cos0,2-sin0) =(-4cos 0,4-4sin 值为号+宁故B络送选项C:画数的对称勒南足2红一号 所以IPA+PB+PC+PD =m十 2 =√/(-4cos6)2+(4-4sin0)2=32-32sin8, 因为e(0,x),所以sin9∈(0,1]，所以PA+PB+P元 铅接选项：令=音，代入品旅的/（货）=号n 8 +PD∈[0,4√2)， 故PA+PB+PC+PD有最小值为0，无最大值.] (2x营-)十号-合放（管，日）为西藏的-个对 称中心，故D正确.] 55