第19章 二次根式 《数学活动》课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.4 数学活动 -----纸张规格的奥秘 1 学习目标 1. 通过计算A型、B型纸张长与宽的比值，观察并归纳出纸张规格中长与宽的数量关系，发展数据分析和归纳推理能力. 2. 经历折叠长方形纸片的实践过程，验证长与宽比值为的长方形在特定折叠方式下的性质，提升动手操作和逻辑推理能力，体会数形结合思想. 3. 测量生活中书籍、课外读物的长与宽，感受数学在实际生活中的广泛应用，增强应用意识和合作探究精神，培养严谨的科学态度. 2 情境导入 同学们每天都在使用各种纸张，有没有想过这些纸张的长和宽是随意确定的吗？它们之间是否隐藏着某种数学规律呢？ 今天我们就来探索“纸张规格的奥秘”，看看这些看似普通的纸张中蕴含着怎样的数学知识. 3 新知探究 书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，下表给出了两种常用纸张的规格(单位：mm)： A型 宽×长 A5 148×210 A4 210×297 A3 297×420 A2 420×594 A1 594×841 B型 宽×长 B5 182×257 B4 257×364 B3 364×515 B2 515×728 B1 728×1 030 这些数据有什么特点？我们可以通过什么方法找到它们之间的关系？ 4 新知探究 A型 宽×长 长与宽的比值 A5 148×210 1.4189 A4 210×297 1.4143 A3 297×420 1.4141 A2 420×594 1.4143 A1 594×841 1.4158 B型 宽×长 长与宽的比值 B5 182×257 1.4121 B4 257×364 1.4163 B3 364×515 1.4148 B2 515×728 1.4136 B1 728×1 030 1.4148 1. (1) 使用计算器计算各规格纸张长与宽的比值(精确到 0.0001)，并将结果记录在表格中（如下表）： 5 新知探究 (2) 你有什么发现？各规格纸张的长与宽的比有什么关系？ A型 宽×长 长与宽的比值 A5 148×210 1.4189 A4 210×297 1.4143 A3 297×420 1.4141 A2 420×594 1.4143 A1 594×841 1.4158 B型 宽×长 长与宽的比值 B5 182×257 1.4121 B4 257×364 1.4163 B3 364×515 1.4148 B2 515×728 1.4136 B1 728×1 030 1.4148 发现：各规格纸张的长与宽的比值都非常接近(约 1.414). 6 新知探究 试一试：实验验证A4纸与的关系 提示：①利用手上的A4纸，通过动手折叠的办法验证纸张长宽的比值； ②展示你的折叠过程. A5 A4 297 148 210 7 新知探究 顺次两个型号的纸张，小号的纸张的长是大号纸张的宽. 长和宽的比近似 . A1 594 ×841 A2 420 ×594 A3 297 ×420 A4 210 ×297 A5 148 ×210 8 新知探究 (3) 测量教科书和课外读物的长与宽比值，验证是否也接近. 我们可以得到结论：常用纸张的长与宽比值约为. 9 新知探究 为什么偏偏是 10 新知探究 2. 如图1，长方形纸片ABCD的长与宽的比值为. ① 如图 2. 若 E，F 分别是长边 AD，BC 的中点，将纸片 ABCD 沿直线 EF 对折，得到的长方形 ABFE 是否仍为“长与宽的比值为的长方形”？为什么？ A D B C A D B C 图 1 图 2 F E 11 新知探究 A D B C A D B C 图 1 图 2 F E 证明：设原长方形宽AB = a，长AD = a， ∵ E、F为中点， ∴ AE = ，折叠后长方形ABFE的长为AB = a，宽为AE = ， ∴ . 12 新知探究 2. 如图1，长方形纸片ABCD的长与宽的比值为. ② 若按图 3 所示的方式折叠纸片ABCD，长方形 GHID 是否仍为“长与宽的比值为的长方形”？为什么？ A D B C A D B C 图 1 图 3 G H I 13 新知探究 A D B C A D B C 图 1 图 3 G H I 解：设 x 由折叠可知，△ABG 是等腰直角三角形，因此 AG=AB=x. ∴ x－x， DI = x－(x) = 2x－ . 14 新知探究 A D B C A D B C 图 1 图 3 G H I = = = . 15 随堂演练 1.一块长为、宽为 的木板，采用如图的方式在这块木板上截出两个面积分别是 和 的正方形木板.甲同学说：想要截出来的两个正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学的说法判断正确的是( ) A.甲同学的说法正确 B.乙同学的说法正确 C.甲、乙两名同学的说法都不正确 D.无法判断 B 16 随堂演练 【解析】 ， ， ， 想要截出来的两个正方形的边长之和大于木板的长， 不能截出. 故乙同学的说法正确，甲同学的说法不正确．故选B. 思路分析：根据两个正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长，比较两个正方形的边长的和与 的大小即可. 17 随堂演练 2.如果一张长方形纸的长宽 ，那么称这样的纸为标准纸．如图是一张长为 的标准纸，将其对折可得标准纸 ，依次对折下去，得到的纸都是标准纸，则对折2 025次后得到的标准纸的长为_ _________．（用含 的代数式表示） 【解析】由题意可得标准纸的长为，标准纸的长为 ，标准纸的长为， ， 标准纸的长为， 标准纸的长为，故答案为 ． 18 随堂演练 3. 已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现有甲、乙两种操作方案如下所示． 甲方案：在纸板上裁出一块面积为24平方厘米，且宽为 厘米的长方形纸板①； 乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少 厘米，得到长方形纸板②； 解：由题意得，甲方案中裁出的长方形纸板①的长为 （厘米）. （1）求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； 19 随堂演练 （2）求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； 解： 原正方形纸板的面积为108平方厘米， 原正方形的边长为 （厘米） 将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米， 得到的长方形的长为厘米，宽为厘米， 长方形纸板②的面积为 （平方厘米）. 20 随堂演练 (3)小明准备在长方形纸板①，②中选出一块，剪出长2厘米、宽1.5厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪块纸板，才能使剪出的纸条数量最多. 解：选择纸板①. 纸板①的长为（厘米）， 宽为 （厘米）， 纸板②的长为（厘米）， 宽为 （厘米）， 21 随堂演练 则纸板①中最多可剪出6张长2厘米、宽1.5厘米的纸条，如图(1)； 纸板②中最多可剪出4张长2厘米、宽1.5厘米的纸条，如图(2)， 选择纸板①才能使剪出的纸条数量最多． 图（1） 图（2） (3)小明准备在长方形纸板①，②中选出一块，剪出长2厘米、宽1.5厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪块纸板，才能使剪出的纸条数量最多. 22 随堂演练 4. 快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方体包装纸箱的高相同，底面规格如表： 型号 长 宽 小号 中号 大号 23 随堂演练 型号 长 宽 小号 中号 大号 已知甲、乙两件长方体礼品的底面都是正方形，底面积分别为， ，两件礼品的高都小于包装纸箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图.从节约材料的角度考虑，应选择哪种型号的包装纸箱? 甲底面 乙底面 24 随堂演练 解： 甲、乙两件礼品的底面都是正方形，底面积分别为，， 甲礼品的底面边长为，乙礼品的底面边长为， 甲、乙两件礼品的底面边长之和为 ，， 小号包装纸箱装不下，大号包装纸箱剩余空间较大，中号包装纸箱 剩余空间较小， 从节约材料的角度考虑，应选择中号包装纸箱． 25 第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.4 数学活动 -----纸张规格的奥秘 26 $