数学活动 19.4.2 纸张规格的奥秘 课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

§19.4.2 纸张规格的奥秘 第十九章 人教版八年级数学下册 学习目标及重难点 学习目标 学习重难点 1.了解纸张的规格； 2.经历计算，验证，求证纸张的规格，感受二次根式的应用； 学习重点：经历计算，验证，求证纸张的规格，感受二次根式的应用. 学习难点：求证纸张的规格. 3.了解纸张规格设定的优势与中国古建筑的关系. 活动1 测量并计算纸张的长宽比 课本P18 A型 宽×长 A5 148×210 A4 210×297 A3 297×420 A2 420×594 A1 594×841 1.观察表中数据，你能发现什么？ B型 宽×长 B5 182×257 B4 257×364 B3 364×515 B2 515×728 B1 728×1030 书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，表1和表2给出了两种常用纸张的格(单位:mm×mm): A型的A1的长是A2的宽的2倍，A1的宽等于A2的长，以此类推，B型号也同理. 课本P18 A型 宽×长 A5 148×210 A4 210×297 A3 297×420 A2 420×594 A1 594×841 1.观察表中数据，你能发现什么？ 书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，表1和表2给出了两种常用纸张的格(单位:mm×mm): A型的A1的长是A2的宽的2倍，A1的宽等于A2的长，以此类推，B型号也同理. A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 1189mm 841mm 1189×841 ＝999949(mm²) ＝0.999949(m²) ≈1(m²). 活动1 测量并计算纸张的长宽比 课本P18 A型 宽×长 长与宽比值 A5 148×210 A4 210×297 A3 297×420 A2 420×594 A1 594×841 2.使用计算器求出各规格纸张长与宽的比值（精确到0.001） 3.你有什么发现？各规格纸张的长与宽的比有什么关系？ B型 宽×长 长与宽比值 B5 182×257 B4 257×364 B3 364×515 B2 515×728 B1 728×1030 书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，表1和表2给出了两种常用纸张的格(单位:mm×mm): 1.419 1.414 1.414 1.414 1.416 1.412 1.416 1.415 1.414 1.415 活动1 测量并计算纸张的长宽比 课本P18 2.使用计算器求出各规格纸张长与宽的比值（精确到0.001） 3.你有什么发现？各规格纸张的长与宽的比有什么关系？ 4.测量教科书与课外读物的长与宽，看一看它们的长与宽的比是否也有类似确定的关系. 长与宽的比≈1.414. 185mm 260mm 长与宽的比＝ 因此，长与宽的比接近 . 因此，长与宽的比也接近 . 活动1 测量并计算纸张的长宽比 活动2 通过折纸验证纸张——折叠中的“变”与“不变” A D C B 思考2：AE与AD相等吗？如何验证？ 思考1：能否通过折叠构造出一条长度是AB的 倍的线段？ A D C B E A D C B E 沿着∠EAD的角平分线对折，看AE与AD是否重合. 课本P18 活动3 推理证明 问题：如图1，长方形纸片ABCD的长宽比值为 ， ①如图2，若E，F分别是长边AD，BC的中点，将纸片ABCD沿直线EF对折，到的长方形ABFE是否仍为“长与宽的比值为 的长方形”?为什么? A D C B A D C B E F 图1 图2 解：设AB＝a，则AD＝ a. ∵E，F分别是长边 AD，BC的中点， ∴AE＝BF＝ a. ∴ ∴长方形ABFE是长与宽的比值为 的长方形. 课本P18 问题：如图1，长方形纸片ABCD的长宽比值为 ， ②若按图3所示的方式折叠纸片ABCD，长方形GHID是否仍为“长与宽的比值为 的长方形”?为什么? 图3 A D C B G H I 解：设AB＝CD＝b，则AD＝BC＝ b. ∴长方形GHID是长与宽的比值为 的长方形. 由折叠的性质，得 AG＝AB＝b. ∴GD＝AD－BF＝ b－b. ∴IC＝GD＝ b－b. ∴DI＝CD－IC＝b－( b－b) ＝2b－ b. ∴ 活动3 推理证明 探究新知 问题：为什么纸片的长宽比值为 ？ 分析：如图，设纸张的长为a，宽为b，将纸张沿长边对折后，得到的新纸张的长为原纸张的宽b，宽为原纸张长的一半，即 . 由于对折后的新纸张与原纸张的长宽的比相等. a b 历史溯源 课本P18 规格奥秘 课本P18 无缝缩放，极致高效：正因为对折后比例不变，出版社和设计师的工作变得异常轻松.一本A4尺寸的宣传册，可以直接无损地缩小到A5尺寸印刷，所有内容排版完美适配，无需重新设计.从大幅海报（A0）到小小便签（A7），整个A系列纸张构成了一个完美衔接的“几何家族”. 纸张规格这样设计的优势： 规格奥秘 课本P18 减少浪费，降低成本：在A系列纸张的体系中，最大的A0纸面积被定义为1平方米.将A0对折得到2张A1，A1对折得4张A2，以此类推.这种设计使得在裁切纸张时几乎没有任何浪费，最大化地利用了原材料.对于大批量生产和采购来说，这种标准化带来了巨大的成本节约. 纸张规格这样设计的优势： 拓展资料 A系列纸张的设计特点在于，当一张纸将长边对折后，新形成的纸张面积恰好是原面积的一半，同时长宽比保持恒定，大约为 :1.这种比例亦被称为“白银比例”，我国的许多古建筑的设计都符合这一比例，白银比例又称为“东方分割率”. 溯源——标准诞生与黄金对比 黄金比例适用于美学分割，而白银比例适用于纸张设计，不同的比例在不同的场景中发挥着各自的作用，体现了数学的多样性和实用性. 拓展资料 巩固练习 背景：根据国际准，A 系列纸均为长方形，且长与宽的比相同．如图 1，将 A0 纸沿长边对折、裁开，得到两张 A1 纸；将 A1 纸沿长边对折、裁开，得到两张 A2 纸；按照这样的方式依次操作，得到 A3，A4 等型号的纸张． 【操作探究】 （1）如图 2，将两个面积为 1dm² 的小正方形分别沿对角线剪开，所得的 4 个直角三角形拼成一个大正方形． ①拼成的大正方形的边长为______dm； ②原小正方形的对角线与边长的比为 ； （图1） （图2） 巩固练习 【知识归纳】 （2）将一张 A 系列纸按图 3 所示的方式折叠，发现折出的正方形的对角线与该型号纸长边重合． ①若该型号纸的宽为 3dm，则折出的正方形的对角线的长为______dm； ②A 系列纸的长与宽的比为 ； 【拓展应用】 （3）若 A4 纸的宽为n，请你用（2）的知识求A0纸的面积．（用含 n 的式子表示） 课堂小结 课本P18 拓展资料 课本P18 拓展资料 课本P18 拓展资料 课本P18 拓展资料 Lavf58.29.100 #[1080x1920][30.00fps][12525k][127k][T][tv=9229_atlas-6.0.2][audioGain=0.0000][uploadSource=APP][p=/mXPJth3FLxaNjk64YNqGA==] $