19.1.2 二次根式的性质 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：郑老师 19.1 二次根式及其性质 19.1.2 二次根式的性质 1 学习目标 1. 理解并掌握二次根式的三个性质，能准确表述三条性质的条件和结论. 2. 会运用二次根式的性质进行简单的计算与化简，提升运算能力和分类讨论意识，体会数学符号的严谨性. 3. 经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的快乐. 2 3 旧知回顾 练一练： (1)当 时， 在实数范围内有意义； (2)当 时， 在实数范围内有意义； (3)已知，则2x+y = . x ≤ x ＜ -1 -1 4 新知探究 思考 二次根式 中被开方数a的取值范围是a ≥0，那么 的取值范围是什么？ 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0； 当a=0时，表示0的算术平方根，因此 =0. 这就是说， ≥ 0 (a ≥ 0). 5 新知探究 二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道： (1) a为被开方数或式，为保证其有意义，可知a ≥ 0； (2) 表示一个数或式的算术平方根，可知≥ 0. 二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数或式非负 二次根式的值非负 6 新知探究 根据算术平方根的意义填空： ()2= ；()2= ；()2= ； ()2= . 探究 是3的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于3的非负数. 因此有()2=3. 同理， ， ， 分别是0.5，，0的算术平方根， 因此， ()2=0.5， ()2 = ， ()2= 0. 3 0.5 0 7 新知探究 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件. 这是使二次根式有意义的前提条件. a可以是数，也可以是式. 一般地，()2 = a (a ≥0). 8 典例解析 例1 计算： (1) ()2； (2) (2)2. 解： (1) ()2 = 1.5； (2) (2)2 = 22 ×()2 = 4 ×5=20. 积的乘方：(ab)2=a2b2 9 针对练习 计算： (1) ()2； (2) (3)2. 解： (1) ()2 = 3； (2) (3)2 = 32 ×()2 = 9 ×2=18. 10 新知探究 根据算术平方根的意义填空： = ； = ； = ； = . 探究 2 0.1 0 根据算术平方根的意义，可以得到 =2； =0.1； = ； =0. 一般地，() = a (a ≥0). 11 新知探究 思考 当a为任意实数时，( ) 都有意义. 如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 对于 a2​，无论 a 是正数、负数还是 0： 一个实数的平方一定是非负数，即 a2 ≥0 恒成立. 因此，被开方数 a2 始终满足二次根式的要求， a2对任意实数a都有意义. 12 新知探究 思考 当a为任意实数时，( ) 都有意义. 如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 根据算术平方根的意义，可以得到 一般地，() = －a (a ＜0). 13 新知探究 () = a (a ≥0). () = －a (a ＜0). 一般地，根据算术平方根的意义， 即：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. = |a| = a (a ≥ 0) -a (a ＜0) 因为当a ≥0时，|a|=a，当a ＜0时，|a|= -a. 所以 14 典例解析 例3 化简： (1) ； (2) ； (3) . 解： (1) = = 4 ； (2) = = 5 ； (3) = |3.14-π| = π-3.14. 15 针对练习 化简： (1) ； (2) ； (3) - ； (4) ； 解： (1) = 0.3； (2) = = ； (3) - = - = -π ； (4) = = = . 16 小结归纳 对比维度 ()2 成立条件 a≥0（被开方数非负，二次根式才有意义） a 为任意实数（任何实数的平方都是非负数） 运算结果 a |a| 反例验证(易错点) 若 a=−3，无意义，因此 ()2不存在 若 a=−3， ​=​=3=∣−3∣，有意义 核心区别 运算顺序：先开方，后平方 运算顺序：先平方，后开方 意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 ()2 与对比辨析表 17 典例解析 例4 已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简． 解：由数轴可得：，，， 原式 ． 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a，b的大小讨论绝对值内式子的符号. b a 0 18 针对练习 如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简． 解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ． b c 0 a B C A 19 典例解析 例5 已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： +++. 解：∵a，b，c为△ABC的三边长， ∴ ∴+++ 20 课程小结 二次根式的性质 21 随堂演练 1.以下各式不是代数式的是( ) A.2x+1 B.2x-3=5 C. D. 2.如果|a|-a=0，那么 等于( ) A.-a B.0 C.a D.±a 3.如图为实数a在数轴上的位置，则化简后的结果为( ) A.7 B.-7 C.2a-13 D.无法确定 B C A 0 8 a 4 22 随堂演练 4.下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5.成立的条件是（　 ） A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3 6.若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D．1 D C A 23 随堂演练 7.填空： (1)______；(2)_______；(3)_______． 8在第三象限，那么 . 9.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简 =_________. 13 2- b+2c-a 1 a c 0 b 24 随堂演练 10.计算与化简：(1) (-2)2； (2)； (3)(x>0)； (4)(x≥3)； (5)()2+ 解：(1)原式=(-2)2×()2=4×5=20； (2)原式= = = ； (3)原式==2x； (4)原式==x-3； (5)原式=11+13=24. 25 随堂演练 11.若，化简：. 解：∵， ∴，，， ． 26 随堂演练 12.已知a、b满足，求ab的值. 解：∵， ∴ ∴ ∴当时， 则 解得：， 27 随堂演练 ∵， ∴或 解得：或   ∴或 当时，则无解，舍去， 综上：或 28 第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.1 二次根式及其性质 19.1.2 二次根式的性质 29 $