数学（新题型，湖南省卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】根据绝对值的几何意义，离原点越远的点表示的数的绝对值越大，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点M到原点的距离最远， ∴所表示的数的绝对值最大的点是点M． 2．某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键． 通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项． 【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． 故选：C． 3．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式运算，分式乘方，二次根式化简的相关法则，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． 选项B：==-，计算正确，∴B正确． 选项C：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，==≠，∴C错误． 选项D：∵==，仅当时结果等于，∴D错误． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．若，则 C．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断命题真假，等边三角形的判定，角平分线的性质，反证法中的假设，根据等边三角形的判定定理可判断A；根据时，满足，但不满足可判断B；根据角平分线的性质可判断C；反证法中第一步应假设结论不成立，即假设，据此可判断D． 【详解】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题，不符合题意； B、由，不能得到，例如时，满足，但不满足，原命题是假命题，不符合题意； C、角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，原命题是真命题，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在同一平面内，一束光线经过镜面1和镜面2两次反射，已知，，则两条光线的夹角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据光的反射定律（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角），结合三角形的外角性质或内角和定理，求出两条光线的夹角． 【详解】解：设入射光线为，经过镜面1反射后的光线为，经过镜面2反射后的光线为， ∵光线经过镜面1反射，， ∴入射光线与镜面1的夹角为， ∴与的夹角为， ∵光线经过镜面2反射，， ∴反射光线与镜面2的夹角为， ∴与的夹角为， 在由光线、光线、光线构成的三角形中， 由三角形外角的性质得：． 6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系求出m和n，得到点坐标，再计算该点关于原点对称的点的坐标即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程，两根之和为，两根之积为， 在方程中，，，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴关于原点对称的点为． 7．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【分析】由题意可得，垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，再结合的周长为，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 8．为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 【答案】A 【分析】根据折线统计图读出这10台机器人的分拣数量，分别计算出众数、中位数、平均数和方差，然后对各选项进行判断即可 【详解】解：由折线统计图可知，这10台机器人每周分拣快递数量（单位：万件）分别为： ， 数据共有10个，排序后第5个和第6个数据均为15 中位数为，故选项A正确； 14和16均出现了3次，出现次数最多 众数是14和16，故选项B错误； 平均数 平均数是15万件，故选项C错误； 方差，故选项D错误． 9．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 10．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：①；②关于的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，的取值范围为；④若点，均在二次函数图象上，则；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再逐个判断结论即可． 【详解】解：选取表格中三点代入， 得， 解得， ，抛物线开口向下，对称轴为， ①判断： ，，， ，①正确； ②判断方程的根： 方程化为，整理得， ， 方程有两个相等的实数根，②正确； ③判断时的范围： 抛物线顶点为，开口向下， 时，取得最大值， 当时，当时， 当时，，故③错误； ④判断与的关系： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 两点到对称轴距离相等， ，④正确； 综上，正确的结论共3个． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．化简：__________． 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再对各多项式因式分解，约分后即可得到化简结果. 【详解】解： ． 12．如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的周长为 _______．（结果保留） 【答案】 【分析】利用正多边形内角和定理以及弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴的长度为， ∴阴影部分的周长为． 13．化学课上，小红学到将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．实验室制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： 若小红从四个实验中任意选两个实验，则两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为____． 【答案】 【分析】先确定四个实验中，产生可使澄清石灰水变浑浊气体的实验数量，再列举出从四个实验中任取两个的所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可得到答案. 【详解】解：由题意可知，四个实验中，A产生氧气，C产生氢气和氧气，均不能使澄清石灰水变浑浊，B产生二氧化碳，D产生二氧化碳，均能使澄清石灰水变浑浊，共2个实验符合条件. 从四个实验中任意选取两个，所有等可能的结果为：，共种等可能的结果，其中两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果只有，共种． 根据概率公式可得所求概率为． 故答案为． 14．如图，在矩形中，，，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点E，与相交于点F，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】观察作图过程得出是的垂直平分线，运用矩形的性质得，再证明四边形是矩形，结合勾股定理得，然后证明，得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得出是的垂直平分线， 即 ∵四边形是矩形， ∴， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， 则． 15．若关于的分式方程无解，则的值是________． 【答案】或 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原分式方程的分母为零，即产生增根，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：原分式方程为 ， 方程变形为 ， 方程两边同乘最简公分母，得： 整理得整式方程：， 分两种情况讨论： ①当整式方程无解 对于一元一次方程，当时方程无解， 因此令，解得， 此时，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． ②整式方程有解，但解为原分式方程的增根 原分式方程的增根满足分母，因此增根为， 将代入整式方程，得： ，解得， 此时使原分式方程分母为零，原方程无解，符合题意． 综上，的值为或． 16．我们把按一定规律排列的一列数称为数列，对于一组有序数列2，4，第1次变换得到有序数列2，6，4，该数列所有数字之和；第2次变换得到有序数列2，8，6，10，4，该数列所有数字之和；第3次变换得到有序数列2，10，8，14，6，16，10，14，4，该数列所有数字之和；以此类推．设第n次变换得到有序数列2，，，…，，4，该数列所有数字之和． （1）______； （2）当时，令，则______（用含m的式子表示）． 【答案】 162 / 【分析】（1）根据题意进行第4次变换，确定增加的所有数字，求和即可； （2）设第次变换得到有序数列为，，，…，，其中，，该数列所有数字之和，，变形为，将，，，代入求解即可． 【详解】解：（1）第4次变换得到有序数列2，12，10，18，8，22，14，20，6，22，16，26，10，24，14，18，4，该数列增加的所有数字为12，18，22，20，22，26，24，18，其和为； （2）设第次变换得到有序数列为，，，…，，其中，，该数列所有数字之和， 则， 即 ， 其中，，， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 【答案】 0 【详解】解：原式. 18．（本题6分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，并在数轴上表示，即可得出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示不等式组的解集为： 所以不等式组的解集是． 19．（本题8分）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1) __________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； (4)学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)喜欢“篮球”运动的学生约有人 (4) 【分析】（1）结合两个统计图确定喜欢“羽毛球”的人数和占比，相除即可得出调查的人数，再作差求出喜欢“乒乓球”的人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据喜欢“足球”的学生的占比，乘以即可； （3）由喜欢“篮球”在样本中的占比，乘以全校的学生人数即可； （4）画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】（1）解：根据统计图可知，喜欢 “羽毛球”的学生数为人，占比为， ∴调查人数（人）， ∴喜欢 “乒乓球”的学生数为（人）， 条形统计图补全如下： （2）解：， ∴“足球”所对应扇形的圆心角度数为； （3）解：(人)， 答：喜欢“篮球”运动的学生约有人； （4）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B两名同学的结果有2种， ∴恰好选中A和B两名同学的概率为． 20．（本题8分）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】连接，先证明，再证明是等边三角形，求出，，可得，由平行四边形的性质推出，可得，即可证明； （2）由（1）知，，易证四边形是菱形，求出，得到，过点作交延长线于点，易求，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵中，， ∴， ∵对角线经过圆心O，即是的直径， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：由（1）知， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， 过点作交延长线于点， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴的面积为． 21．（本题10分）2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据“买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元”列方程组求解即可； （2）设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元，根据“B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍”列不等式求出，列出的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人m台，则B型机器人台，总采购费用为万元， 根据题意得， 解得：， 根据题意可得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值， 此时万元， 答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元． 22．（本题10分）如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． (1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； (2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)A点上升的高度 (2)的长为 【分析】（1）过点A作于G，作于N，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）证明四边形为矩形，得，．解求出，，解，得，由可得结论． 【详解】（1）解：过点A作于G，作于N， 在中，，， 由题意得，． 答：A点上升的高度． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：的长为． 23．（本题12分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 (1)如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为 ，直线与形成的锐角度数为 ． 【拓展探究】 (2)如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系及夹角大小是否发生变化？请利用图进行证明． 【解决问题】 (3)如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 【答案】(1)； (2)不发生变化，理由见解析 (3)或 【分析】（1）延长交于点，根据矩形的性质以及含角的直角三角形的性质求解； （2）延长交于点，根据旋转和矩形的性质证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解； （3）连接、，根据点的位置分两种情况进行讨论，根据正方形的判定和性质证明三角形相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， 即直线与形成的锐角度数为； （2）解：不发生变化，理由如下： 如图所示，延长交于点， ∵四边形和四边形为矩形，且由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴， ∴， ∴， 即直线与形成的锐角度数为； （3）解：当矩形的边时，四边形为正方形， ①如图3，当点在线段上时，连接、， ∵四边形和四边形为正方形，且点为正方形的对称中心， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图，当点在线段延长线上时，连接、， ∵四边形和四边形为正方形，且点为正方形的对称中心， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长为或． 24．（本题12分）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①0或3或或；②存在，理由见解析；③ 【分析】（1）根据，是方程的两个根求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①分情况讨论：当为平行四边形的对角线、为对角线、为对角线时，根据两条对角线的中点相同，进行列方程组求解即可； ②求出角的之间的关系，再用三角函数求解即可； ③运用轴对称求两条线段和最短即可． 【详解】（1）解：，是的两个根， ，， ，， 抛物线与x轴相交于A、B两点， ， 解得， 抛物线函数表达式为； （2）①解：0或3或或，理由如下： 令得：，解得， 令得：， 则点、， 抛物线与y轴相交于点C， 则点， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ， 解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为、点的坐标为， 当为平行四边形的对角线时， 的中点为、的中点为， 则 解得或， 令时，，点的坐标为、点的坐标为， 令时，，点的坐标为、点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 解得； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 整理得， 判别式， 则没有实数解， 综上所述，点的横坐标为，，，； ②解：存在，理由如下： 直线与x、y轴分别交于点D、E， 时，， 当时，，， ∴点、， ，， ， 由抛物线可知：当时，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 设，则，， ， （舍去）或， ； ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N， 设，，设直线MN的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为； 联立方程组， 得， ， 将代入，得： ， ， 解得：， 将代入，得： ， ， ， 解得：， 联立方程组， 得出， 点Q在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点E关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 则， 由轴对称性质可得， 的最小值， 由两点之间线段最短可得：线段的最小值为， ， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、轴对称—最短路径问题、解直角三角形的应用，数形结合思想方法的运用是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 6 7 B A B 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 2 11. x-1 12. x+12 14.2vf3 15.1或-2 16.162 3m-6/-6+3m 3 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 【详解】解：原式=-1+2+√6-1-√6=0…6分 18.(6分) 3x-2>x① 【详解】解： x-2≤x-1②' 3 4 解不等式①，得x>1: 解不等式②，得x≤5，…2分 在数轴上表示不等式组的解集为： …4分 -3-2-101 2345 所以不等式组的解集是1<x≤5，…6分 19.(8分) 【详解】(1)解：根据统计图可知，喜欢“羽毛球”的学生数为88人，占比为44%， :.调查人数m=88÷44%=200(人)， .喜欢“乒乓球”的学生数为200-44-16-88=52（人)，…2分 条形统计图补全如下： 1/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 喜爱四项球类运动人数条形统计图 人数 90 88 80 52 50 44 3分 16 10 篮球 足球乒兵球羽毛球类型 (2)解： 16 ×360°=28.8°， 200 .“足球”所对应扇形的圆心角度数为28.8°；…4分 44 (3)解： ×1500=330(人)， 200 答：喜欢“篮球”运动的学生约有330人；…6分 (4)解：画树状图如下： 开始 B C 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B两名同学的结果有2种， :恰好选中A和B两名同学的概率为2=！ …8分 126 20.(8分) 【详解】(1)证明：连接0D, D O 夕 :口ABCD中，AD=BC,AD‖BC, ∠DAE=∠BCO, :对角线AC经过圆心O,即AE是⊙O的直径， .∠ADE=90°， 2/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :BC与O0相切于点B, ∠CB0=90, ∠ADE=∠CB0=90°， :.△ADE≌aCB0ASA, OB=DE,…2分 0D=0B=0E, ..OD=DE =0E, .△OED是等边三角形， .∴.∠0DE=∠0ED=60°， :0A=0D,∠D0E=∠DAE+∠AD0=60°， .∠DAE=∠AD0=30°， ·∠BC0=∠DAE=30°， :0A=0B, ∠OAB=∠OBA, :△ADE≌△CBO, .LB0C=∠AED=60°， .∠0AB+∠OBA=∠B0C=60°，即∠0AB=∠0BA=30°， :ABCD中，CDI AB, ∴∠DCA=∠OAB=30°， :∠DCA+∠CDE=∠0ED=60°， .∠CDE=30°， ∴.∠CD0=∠CDE+∠0DE=90°， .CD是00的切线；…4分 (2)解：由(1)知LDAC=∠DCA=30°，∠CD0=90° :AD =CD, :.四边形ABCD是菱形， 0D=4, ∴CD= OD 4=45, tan∠DCA tan30° 3/12 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AB=BC=45,…6分 过点C作CG⊥AB交AB延长线于点G, D O :CDI川AB, .∠CBG=∠DCB, 由(1)知∠DCA=∠BCA=30°， ∴.∠CBG=∠DCB=LDCA+LBCD=60°， .CG=BC[sin∠CBG=43sin60°=6， 口ABCD的面积为ABCG=4V5×6=245.…8分 21.(10分) 【详解】(1)解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得： x+3y=260 3x+2y=360 x=80 解得： y=60 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；…4分 (2)解：设购买A型机器人m台，则B型机器人15-m台，总采购费用为w万元， 根据题意得15-m≤4m, 解得：m≥3,6分 根据题意可得w=80m+60(15-m)=20m+900, :20>0, ∴.w随m的增大而增大， …8分 当m=3时，w取最小值， 此时w=20×3+900=960万元， 答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元.…10分 22.(10分) 【详解】(1)解：过点A作AG⊥EH于G,作MN⊥AG于N, 4/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 470 D B 60° EG 在RtAMN中，LANM=90°，sin∠AMN= AM 由题意得∠AMN=47°，AN=AM.sin∠AMN=10×sin47°≈10×0.73=7.3(cm). 答：A点上升的高度7.3cm.…4分 (2)解：：AG⊥GC,MN⊥AG, .∠EGN=∠MNG=90°， :∠DEG=90°， ∴∠EGN=∠MNG=∠DEG=90°， :.四边形EGNM为矩形， EG=MN,EM=NG.…6分 在RtsAMN中，LANM=90°，cos∠AMN AM :.MN=AM.cos∠AMN=10cos47°≈10×0.68=6.8(cm, :.EG=MN=6.8(cm), AG=AN+NG=AN+ME=7.3+28=35.3cm,…8分 在Rt△AGC中，∠AGC=90°，tan∠4CG=4C CG .CG= AG35.335.3 tan∠4CG tan60°-√3 ≈20.40(cm, .EC=EG+CG=6.8+20.40=27.20≈27.2(cm）. 答：EC的长为27.2cm.…10分 23.(12分) 【详解】(I)解：如图所示，延长EF交CD于点H, 5/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A G D H 图1 :FE⊥AB,FG⊥AD, :.∠BEF=∠AEF=90°，∠AGF=∠CGF=90°， :四边形ABCD为矩形， AB∥CD,∠D=90°， .LFHD=∠BEF=90°， .四边形DGFH为矩形， .FH =DG, ∠ACD=30°， :CF =2GD; :∠ACD=30°，∠D=90°， :∠CAD=90°-∠ACD=90°-30°=60°， 即直线CF与DG形成的锐角度数为60°；3分 (2)解：不发生变化，理由如下： 如图所示，延长CF交DG于点K, B 图2 :四边形ABCD和四边形AEFG为矩形，且由(1)可得∠AFG=∠ACD=30°， .LADC=LAGF=∠EAG=LBAD=90°， :.∠CAF=∠DAG=Oa, AD AG 1 AC AF 2' △ACF∽△ADG, DG 1 CF2' 即CF=2GD; 6/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :△ACF∽△ADG, ∠ACF=LADG, ∴∠DCK+∠ACF=∠DCK+ADG=30°， .∠CKD=180°-∠DCK+ADG)-∠ADC=60°， 即直线CF与DG形成的锐角度数为60°；…6分 (3)解：当矩形ABCD的边AD=AB时，四边形ABCD为正方形， ①如图3，当点E在线段CD上时，连接AC、AH, G D 图3 :四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，且点H为正方形AEFG的对称中心， 040=E:,S折-5， ·LCAE=LDAH, △ACEn△ADH, DHAD√2 CE AC 2 AD=CD=4,DE=2, CE=4-2=2, DH= CE=√2； …9分 ②如图4，当点E在线段CD延长线上时，连接AC、AH, G B D 图4 :四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，且点H为正方形AEFG的对称中心， 7/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 LCAD=∠EAH=45°， AC_AE=, AD AH LCAE=∠DAH, :△ACE∽△ADH, DH AD CE AC 2 AD=CD=4,DE=2, .CE=4+2=6, :DH=5cE=32: 2 综上所述，DH的长为√2或3√2.…l2分 24.(12分) 【详解】(1)解：x1,x2是x2-2x-3=0的两个根， x=-1,x2=3, ÷A(-1,0),B(3,0), :抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点， [a-b+3=0 9a+3b+3=0 a=-1 解得 b=2, 抛物线函数表达式为y=-x2+2x+3;3分 (2)①解：0或3或3+57或3-57 理由如下： 2 2 令y=0得：3x+9=0,解得x=-3, 令x=0得：y=3×0+9=9, 则点D-3,0)、E(0,9), 抛物线与y轴相交于点C, 则点C(0,3), 设直线BC的解析式为y=+b, 将点B3,0)、C(0,3代入y=K+b'得： 8/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 [3k'+b=0 b=0 K'=-1 解得 b=3’ 则直线BC的解析式为y=-x+3, 设点N的坐标为n,-n2+2n+3、点0的坐标为(9，-9+3)， 当DE为平行四边形的对角线时， 39 DE的中点为2 2 则 2 -n2+2n+3-q+3_9 2 解得n=0或n=3, 令n=0时，9=-3，点N的坐标为(0,3)、点0的坐标为-3,6)， 令n=3时，9=6，点N的坐标为(3,0)、点Q的坐标为-6,9 当DQ为平行四边形的对角线时， DQ的中点为 -3+9-9+3 2 2 NE的中点为 n-n2+2n+3+9 2 2 [-3+9=n 则 22 -9+3_-n2+2n+3+9 2 2 解得n=3±57 2 2 当DN为平行四边形的对角线时， -3+n-n2+2n+3 DN的中点为 2 2 E2的中点为 99-9+3 22 9/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -3+n_9 则 22 -n2+2n+3_9-9+3 2 2 整理得n2-3n+12=0, 判别式△=(-32-4×1x12=-39<0, 则没有实数解， 综上所述，点N的横坐标为0,3,3+57,3-V57 6分 2 2 ②解：存在，理由如下： :直线y=3x+9与x、y轴分别交于点D、E, x=0时，y=9, 当y=0时，3x+9=0,x=-3, 点D(-3,0)、E(0,9), 0D=3,0E=9, tan Z0ED=OD_1 0E3' 由抛物线可知：当x=0时，y=3, C(0,3), 0B=0C=3, .∠0BC=∠0CB=45°， ∠FCE=∠0CB=45°， ·∠DFB是△CEF的外角， LDFB=LFCE+LFEC=45°+∠FEC, ∠DFB=∠PBF=∠CBO+∠PBQ=45°+∠PBQ, .∠PBQ=∠FEC, :tan∠PB0= PO 1 BO 3' 设P(m,-m2+2m+3,则BQ=3-m,PQ=m2-2m-3, :m2-2m-31 3-m 3 m=3(舍去)或-3， 10/12 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 413 P39 F …9分 B ③：过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N, 设M(x,y,),N(x2,y2),设直线MN的解析式为：y=-x+n, 设直线BM的解析式为y=kx+m, 将B3,0)代入y=kx+m得3k+m=0, 解得m=-3k, ·直线BM的解析式为y=飞x-3k, 设直线CN的解析式为y=k2x+m, 将C(0,3)代入y=k2x+m1得m1=3, ·直线CN的解析式为y=k,x+3; 联立方程组 y=-x+n y=-x2+2x+3 得x2-3x+n-3=0, +x3=3, 将M(x,)代入y=kx-3k,y=-x2+2x+3得： y=kx-3k y=-x2+2x+3 x2+(k,-2)x-3k+1)=0, (x-3)[x+(k+1]=0, 解得：k=-1-x, 将N(x2,2)代入y=k2x+3,y=-x2+2x+3得： 11112 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y2=k2x2+3 =-x2+2x+3’ x22+(k2-2x2=0, x2x2+k2-2)=0, 解得：k2=2-x2, y=k,x+3 联立方程组 y=kx-3k’ 得出xg= 31+k)3[1+(-1-x)]_-3x1-3x3 ky-k2 -1-无-(2-)-3+x2-x-3+3-x-无2’ 点9在直线x=上运动 在y=3x+9中，令x=0,则y=9,即E(0,9), 知图，作成E关于直线x的对称点E,连接E交直线：于口，连接0， 则E3,9), 由轴对称性质可得EQ'=EQ', :QD+QE的最小值=DQ'+EQ'=DQ'+EQ'=DE', 由两点之间线段最短可得：线段QD+QE的最小值为DE', :DE=[3-(-3]+(9-02=313, 线段QD+QE的最小值为3√13.…12分 12/122026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题2分，共16分) 1[A][B][C1[D] 5 [A][B][c][D] 2[A][BJ[C][D] 6 [A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 11 12. 13. 14. 15 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) 喜爱四项球类运动人数条形统计图喜爱四项球类运动 0人数 人数扇形统计图 88 80 70 6 羽毛球 04 4 44% 0H 乒乓球 0 篮球 16 促球 0 篮球足球乒乓球羽毛球类型 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ :壬影品朗海☒马的到：鲜毋盖阳避‘易，海☒酷易目瑶号平 8 δ ☑ (马8)07 :￥苦易佣海☒马的到丝鲜毋盖阳群‘易4每☒踞最佣目鳐艺安巢 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 60°2 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) E D B B 4阿 (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 10. ________________ 11. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 喜爱四项球类运动人数条形统计图喜爱四项球类运动 人数 人数扇形统计图 90 88 羽毛球 50 44 44% 乒乓球 0300 篮球 16 促球 篮球 足球乒乓球羽毛球类型 图1 图2 20(8分) D C E 0 的 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) D 60° E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 图1 图2 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) F D B D (备用图)………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A．M B．N C．P D．Q 2．某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A． B． C． D． 3．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．若，则 C．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 5．如图，在同一平面内，一束光线经过镜面1和镜面2两次反射，已知，，则两条光线的夹角（   ） A． B． C． D． （第5题） （第7题） （第8题） 6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 8．为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 9．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 10．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：①；②关于的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，的取值范围为；④若点，均在二次函数图象上，则；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．化简：__________． 12．如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的周长为 _______．（结果保留） 13．化学课上，小红学到将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．实验室制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： 若小红从四个实验中任意选两个实验，则两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为____． 14．如图，在矩形中，，，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点E，与相交于点F，则的长为__________． 15．若关于的分式方程无解，则的值是________． 16．我们把按一定规律排列的一列数称为数列，对于一组有序数列2，4，第1次变换得到有序数列2，6，4，该数列所有数字之和；第2次变换得到有序数列2，8，6，10，4，该数列所有数字之和；第3次变换得到有序数列2，10，8，14，6，16，10，14，4，该数列所有数字之和；以此类推．设第n次变换得到有序数列2，，，…，，4，该数列所有数字之和． （1）______； （2）当时，令，则______（用含m的式子表示）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 19．（本题8分）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1) __________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； (4)学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 20．（本题8分）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求的面积． 21．（本题10分）2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 22．（本题10分）如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． (1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； (2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 23．（本题12分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 (1)如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为 ，直线与形成的锐角度数为 ． 【拓展探究】 (2)如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系及夹角大小是否发生变化？请利用图进行证明． 【解决问题】 (3)如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 24．（本题12分）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $null2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][CJ[D] 9.[AJ[B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[AJ[B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 12 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. (8分) 喜爱四项球类运动人数条形统计图 喜爱四项球类运动 人数扇形统计图 人数 90 88 9007 羽毛球 44 44% 乒乓球 2020 篮球 16 足球 0 篮球 足球乒乓球羽毛球类型 图1 图2 20(8分) D 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) A D 60° 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 图1 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) D B D B (备用图)2026年中考考前最后一卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 .: 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 : : 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.点M,N,P,Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是() MN P 0 -5-4-3-2-1012345 : A.M B.N C.P D.O 2.某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是() : : : : 3.下列式子正确的是( O ab2 A.6m2+=6 : C.a.a=d 0 a+2ab+b2=a+b 4.下列命题是真命题的是() K A.有一个角是60°的三角形是等边三角形 B.若a2>b2,则a>b : C.角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D.用反证法证明：“已知△ABC,AB=AC,求证：∠B<90°.”第一步应先假设∠B>90° : 试题第1页（共6页） .: 可学科网·学易金卷做好餐：就限彩是” 5.如图，在同一平面内，一束光线经过镜面1和镜面2两次反射，己知∠1=50°，∠2=80°，则两条光线 的夹角∠3=() A.100° B.105° C.110° D.115° 花纯 个台数/台 光线 B 31 RAITT 米V 可1314151617分拣数量万件 镜面1 (第5题) (第7题) (第8题) 6.若一元二次方程x2+3x-4=0的两根之和与两根之积分别为，n,则点(m,m)在平面直角坐标系中关 于原点对称的点是() A.(-3,-4) B.(3,4) c.(3,-4) D.(-3,4) 7.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC边于点D,再分别以点B,D为圆心， 大于二BD的长为半径作弧，两孤交于M,N两点，作直线MN,交AB于点E.若△ADE的周长为21，AC=9, 则AB的长为() A.8 B.10 C.12 D.18 8.为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每 台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图.下列有关智能机器人每台每周可分拣快递 数量的描述，正确的是() A.中位数是15万件 B.众数是15万件C.平均数是14万件D.方差是0 9.如图，己知四边形ABCD中，R、P分别为BC、CD上的点，E、F分别为APRP的中点.当点P在CD 上从点C向点D移动，同时点R在BC上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成 立的是（) D A.线段EF的长先变大再变小 B.线段EF的长先变小再变大 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 10.已知二次函数y=2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： -3 B R y 0 5 9 -27 下列结论：①abc>0;②关于x的一元二次方程x2+bx+c=9有两个相等的实数根；③当-4<x<1时， y的取值范围为0<y<5:④若点(，y）),（--2,)均在二次函数图象上，则为=y2:其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做就卷：就限是普 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 化0： 12.如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部 分的周长为 ·（结果保留π) E D 13.化学课上，小红学到将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实 验： A.高锰酸钾制取氧气：2KMi1O,兰K,Mi1O4+M1O,+O,个 B.实验室制取二氧化碳：CaCO,+2HCl=CaCL,+H2O+CO,个 C.电解水：2H,0=2H2↑+0，个 D.一氧化碳还原氧化铜：CuO+COCu+CO,个 若小红从四个实验中任意选两个实验，则两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为 4,如图，在矩形ABCD中，B=2,BC=3,分别以点B,C为圆心，大于)BC A E D F 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,直线N与AD相交于点E,CE与BD相 XM 交于点F,则BF的长为 15.若关于x的分式方程=3-X无解，则m的值是】 B 1-xx-1 16.我们把按一定规律排列的一列数称为数列，对于一组有序数列2,4，第1次变换得到有序数列2,6， 4,该数列所有数字之和c1=12;第2次变换得到有序数列2,8,6,10,4，该数列所有数字之和℃2=30； 第3次变换得到有序数列2,10,8,14,6,16,10,14,4，该数列所有数字之和c3=84;以此类推.设 第n次变换得到有序数列2,41,4，，4,4，该数列所有数字之和Cn=2+4+4+…+4+4. （1)C4-C3=_: （(2)当n之2时，令C-1=m,则cm= (用含m的式子表示). 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题6分)计算：-1226+8+√6-1-√2×√5 3x-2>x① 18.(本题6分)解不等式组x-2≤-1®并将解集在数轴上表示出来. 3 4 试题第3页（共6页） 19.(本题8分)为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机 抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷.将调查结果绘制成如下两幅不完 : 整的统计图， 喜爱四项球类运动人数条形统计图 喜爱四项球类运动 人数 人数扇形统计图 90 88 0 70 0 羽毛球 50 44% 44 乒乓球 兵 3 04 篮球 16 促球 0 篮球足球乒乓球羽毛球类型 涨 图1 图2 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)m= 一，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数： 游 (3)若该校共有1500名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数： 游 (4)学校乒乓球队计划从表现突出的A,B,C,D四名同学中随机选取两名同学加入球队.请用画树状图或 列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率. S 20.(本题8分)如图，口ABCD的顶点A,B,D在OO上，边BC与OO相切于点B,对角线AC经过圆 心O,与OO交于点E,连接DE,BO. (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为4，求口ABCD的面积. 世 D B 试题第4页（共6页) : 21.(本题10分)2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯 全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作.随着人工智能与物联网等技术的快速发展， 人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快 递分拣.若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人， 共需360万元. (1)求A、B两种型号智能机器人的单价. (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍：当购 买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ % 22.(本题10分)如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头.洗手盆及水龙头示意图如图2， 舒 O 开启前把手AM与水平线平行，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为47°，此时把手端点A、出水口点 B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底EH的夹角（∠ACE)为60°，AM=10cm,M=28cm. D 60°x 图1 图2 (1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度： (2)求EC的长.（结果精确到0.1cm,参考数据：sin47°≈0.73，c0s47°≈0.68，tan47°≈1.07，√5≈1.73） : : 试题第5页（共6页） ⊙学科网·学易金卷做赶德：就限是 23.(本题12分)综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动. 图1 图2 备用图 【问题发现】 (1)如图1，在矩形ABCD中，∠ACD=30°，点F在对角线AC上，过F点分别作AB和AD的垂线，垂足为 E,G,则四边形AEFG为矩形.请问线段CF与DG的数量关系为_，直线CF与DG形成的锐角度数为_. 【拓展探究】 (2)如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为，当0°<o<180°时，连接CF,DG, 在旋转的过程中，CF与DG的数量关系及夹角大小是否发生变化？请利用图2进行证明. 【解决问题】 (3)如图3，当矩形ABCD的边AD=AB时，点E为直线CD上异于D,C的一点，以AE为边在AE右侧作 正方形AEFG,点H为正方形AEFG的对称中心，连接DH,若AD=4,DE=2,求出DH的长。 24.（本题12分)综合与探究 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A(x,0),B(x2,0)两点（点A在点B的左侧），其中x,x2是方 程x2-2x-3=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C. AO (备用图) (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)已知直线y=3x+9与x,y轴分别相交于点D,E. ①抛物线上是否存在点N,直线BC上是否存在点Q,使以D,N,E,Q为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由. ②设直线BC与I相交于点F,问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得∠PBF=∠DFB？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，说明理由： ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相交于点Q.连接 OD,QE.求线段QD+QE的最小值. 试题第6页（共6页） 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A．M B．N C．P D．Q 2．某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A． B． C． D． 3．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．若，则 C．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 5．如图，在同一平面内，一束光线经过镜面1和镜面2两次反射，已知，，则两条光线的夹角（   ） A． B． C． D． 6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 8．为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 9．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 10．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：①；②关于的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，的取值范围为；④若点，均在二次函数图象上，则；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．化简：__________． 12．如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的周长为 _______．（结果保留） 13．化学课上，小红学到将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．实验室制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： 若小红从四个实验中任意选两个实验，则两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为____． 14．如图，在矩形中，，，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点E，与相交于点F，则的长为__________． 15．若关于的分式方程无解，则的值是________． 16．我们把按一定规律排列的一列数称为数列，对于一组有序数列2，4，第1次变换得到有序数列2，6，4，该数列所有数字之和；第2次变换得到有序数列2，8，6，10，4，该数列所有数字之和；第3次变换得到有序数列2，10，8，14，6，16，10，14，4，该数列所有数字之和；以此类推．设第n次变换得到有序数列2，，，…，，4，该数列所有数字之和． （1）______； （2）当时，令，则______（用含m的式子表示）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 19．（本题8分）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1) __________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； (4)学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 20．（本题8分）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求的面积． 21．（本题10分）2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 22．（本题10分）如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． (1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； (2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 23．（本题12分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 (1)如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为 ，直线与形成的锐角度数为 ． 【拓展探究】 (2)如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系及夹角大小是否发生变化？请利用图进行证明． 【解决问题】 (3)如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 24．（本题12分）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $