4.4利用全等三角形测高同步练习题 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

4.4利用全等三角形测高同步练习题北师大新版七年级下册 一．选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 2．如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长．则其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 4．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（　　） A． SAS B．ASA C．AAS D．HL 5．如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　） A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 6．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置CD垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A．15cm B．30cm C．40cm D．45cm 7．如图，小马用高度都是2cm的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙AD与BE，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知AC＝BC，∠ACB＝90°，则两面木墙之间的距离为（　　） A．30cm B．24cm C．20cm D．18cm 8．为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即得AB＝BC．根据的原理是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 第6题图 第7题图 第8题图 9．要测量池塘两端点A，B间的距离，现有如下两种测量方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） 方案Ⅰ：如图1． ①在平地上取一点O； ②连接AO，BO，并延长到C，D两点，使OD＝OA，OC＝OB； ③连接CD，测量CD的长即可． 方案Ⅱ：如图2． ①在平地上取一点O； ②连接AO，BO，在AB的延长线上取一点C，使∠COB＝∠AOB； ③测量BC的长即可． A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 10．一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，小亮现在要带其中的一块去配成与原来一样大小的三角形玻璃，小亮去时应该带（　　） A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块 11．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接图1BO，并延长到点D，使OD＝OB；③连接DC，测量DC的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA；③连接EF，测量EF的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 12．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　） A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS 13．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB'的中点．只要量出A′B′的长度．就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 14．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 第12题图 第13题图 第14题图 15．如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　） A．AB，BC，AC B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 16．为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E．则测出DE的长即为A，B间的距离； 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可直接到达点A的点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，则测出BC的长即为AB间的距离，则下列判断正确的是（　　） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 二．填空题 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，延长BC至点E，使，连接DE并延长交AC边于点F，若DE＝EF，则AC＝　 　 ． 18．如图，将n个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 19．按要求解答下列各题 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：①过点A作射线AE． ②过点B作BD⊥AE于点D． ③在AD的延长线上截取DC，使得______．（只添加一个条件） ④测量BC的长即可． 乙：①在水池外过点B作AB的垂线BF，在BF上取点C、D，使得BC＝CD． ②过D作BF的垂线DE，使点E、A、C在同一条直线上． ③测量DE的长即可． 问题解决： （1）乙的方案是否可行，请说明理由； （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 20．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点C，在BC连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与AB平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出CE的长度 如图②，测量员在地面上找一点C，沿着BC向前走到点D处，使得CD＝AC，沿着AC向前走到点E处，使得CE＝BC，测出D、E两点之间的距离 测量结果 CE＝20m，BD＝CD，CE∥AB AC＝CD，BC＝CE，DE＝20m （1）经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①SSS；②ASA或AAS；③SAS，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答：方案一：　 　 .方案二：　 　 ． （2）请写出方案一计算水潭的宽度AB的过程． 21．流经官渡古镇的宝象河两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量宝象河平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点出发，沿着南偏西80°的方向走到点C，此时恰好测得∠ACB＝40° 观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点向东走到O点，在O点插上一面标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点D，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组测得BC＝8米，则河宽AB为 　 　 米； （2）第二小组认为只要测得CD就能得到河宽AB．你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明：如果不可行，请说明理由； （3）除上述方法外，请你运用所学知识再设计种方案对河宽进行测量． 22．麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝100m，BF＝30m，求池塘FC的长． 23．（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　 　 ； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由． 24．综合与实践：八年级的数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量教学楼高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在旗杆CD与教学楼AB之间选定一点P； ②测量旗杆顶C的视线PC与楼顶A的视线PA的夹角∠APC； ③测量点P到楼底的距离PB的长度； ④测量旗杆CD的高度； ⑤测量旗杆与教学楼之间的距离DB的长度． 测量数据 ∠APC＝90°，PB＝CD＝9米，DB＝27米 （1）根据兴趣小组测量方案及数据，教学楼高度为　 　 米； （2）请你证明以上测量方案的正确性． 25．某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使_____，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． （1）请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　 　 ；丙：　 　 ． （2） 请你选择其中一种方案进行说明理由． 26．根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.1m和1.7m，∠BOC＝90°． 问题解决 任务1 △OBD与△COE全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 27．【问题背景】 在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 　 　 ． 【探索延伸】 在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 参考答案与试题解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B A D D C A A D D 题号 12 13 14 15 16 答案 C B B C A 二．填空题（共2小题） 17【答案】12． 【分析】过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G，分别利用AAS证明出△ABC≌△BDG和△CFE≌△GDE，然后利用线段和差即可得解． 【解答】解：如图，过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G， ∵BD⊥AB， ∴∠ABC＝90°﹣∠DBC＝∠BDG， ∵AB＝BD，∠ACB＝90°＝∠G， ∴△ABC≌△BDG（AAS）， ∴DG＝BC＝6，BG＝AC， 在△CFE和△GDE中， ， ∴△CFE≌△GDE（AAS）， ∴， ∴CG＝CE+EG＝3+3＝6， ∴AC＝BG＝BC+CG＝6+6＝12， 故答案为：12． 18．【答案】506． 【分析】连接A1A2，A1D，根据正方形性质可得∠A1A2B＝∠A1DC＝45°，A1A2＝A1D，∠BA1A2+∠CA1A2＝∠CA1D+∠CA1A2＝90°，即可得到∠BA1A2＝∠CA1D，即可得到△BA1A2≌△∠CA1D，即可得到一个图形重叠的面积，即可得到答案． 【解答】解：连接A1A2，A1D， ∵正方形的边长为1， ∴∠A1A2B＝∠A1DC＝45°，A1A2＝A1D，∠BA1A2+∠CA1A2＝∠CA1D+∠CA1A2＝90°， ∴∠BA1A2＝∠CA1D， ∴△BA1A2≌△∠CA1D（ASA）， ∴2个正方形重叠形成的重叠部分的面积为， ∴3个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， ∴4个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， ∴5个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， … ∴2025个正方形重叠形成的重叠部分的面积和＝（2025﹣1）506， 故答案为：506． 三．解答题（共9小题） 19． 【答案】（1）乙的方案可行，理由如下， ∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE， ∴测量DE的长即可； （2）添加AD＝CD，理由， ∵BD⊥AE， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， 在△ADB和△CDB中， ， ∴△ADB≌△CDB（SAS）， ∴AB＝BC， ∴测量BC的长即可； 或添加∠DAB＝∠DCB，理由， 在△ADB和△CDB中， ， ∴△ADB≌△CDB（AAS）， ∴AB＝BC， ∴测量BC的长即可； 或添加∠ABD＝∠CBD，理由， 在△ADB和△CDB中， ， ∴△ADB≌△CDB（ASA）， ∴AB＝BC， ∴测量BC的长即可． 20． 【答案】（1）②．③； （2）20m． 【解答】解：（1）方案一：根据平行线的性质可得两组相等的角，再加上已知的一组相等边，由“AAS”可证△BDA≌△CDE，根据全等三角形的性质可测量水潭的宽度； 方案二：有两组相等的边，以及它们对应的夹角相等，由“SAS”可证出△CAB≌△CDE，根据全等三角形的性质可测量水潭的宽度； 所以两种方案都能测量水潭的宽度． 故答案为：②．③； （2）方案一：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠C，∠A＝∠E， 在△CDE和△BDA中， ， ∴△CDE≌△BDA（AAS）， ∴CE＝BA＝20m． 方案二：在△CDE和△CAB中， ， ∴△CDE≌△CAB（SAS）， ∴DE＝AB＝20m． 21．【答案】（1）8； （2）可行，证明见解析； （3）见解析． 【解答】解：（1）由题意得： ∴∠DBC＝80°， ∵∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝∠DBC﹣∠ACB＝40°， ∴∠ACB＝∠BAC＝40°， ∴AB＝BC＝8米， ∴河宽AB为8米； （2）我认为第二小组的方案可行， 证明：由题意得： ∠ABO＝∠DCO＝90°，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC， ∴△ABO≌△DCO（ASA）， ∴AB＝CD， ∴只要测得CD就能得到河宽AB； （3）如图，观察者从B点向东走到C点，此时恰好测得∠ACB＝45°； 由题意得：∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝45°， ∴AB＝BC， 即要知道河宽AB，只需要知道线段BC的长度． 22．【答案】（1）见解析； （2）40m． 【分析】（1）先由平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，再利用ASA证明△ABC≌△DEF即可； （2）利用全等三角形的性质证明BF＝EC，再结合已知条件即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌DEF（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BF＝EC， ∵BE＝100m，BF＝30m， ∴FC＝100﹣30﹣30＝40m． 答：FC的长是40m． 23．【答案】（1）三角形具有稳定性． （2）BC＝38cm，理由见解答． 【分析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可； （2）证明△AOD≌△BOC（SAS），得BC＝AD，结合已知条件则可知BC的长度 【解答】解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性． （2）CB＝38cm． 理由如下：∵O是AB和CD的中点， ∴AO＝BO，CO＝DO， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， 又∵AD＝38cm， ∴BC＝AD＝38cm． 24．【答案】（1）18； （2）CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠CDB＝∠ABP＝90°， ∴∠DCP+∠CPD＝90°， ∵∠APC＝90°， ∴∠CPD+∠APB＝90°， ∴∠DCP＝∠APB， ∵PB＝CD， ∴△CDP≌△PBA（ASA）， ∴PD＝AB． 【分析】（1）根据题意可得：CD⊥BD，AB⊥BD，从而可得∠CDB＝∠ABP＝90°，进而可得∠DCP+∠CPD＝90°，再根据平角定义可得：∠CPD+∠APB＝90°，从而可得：∠DCP＝∠APB，然后利用ASA证明△CDP≌△PBA，从而可得PD＝AB，即可解答； （2）同（1）的证明步骤解答． 【解答】（1）解：∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠CDB＝∠ABP＝90°， ∴∠DCP+∠CPD＝90°， ∵∠APC＝90°， ∴∠CPD+∠APB＝90°， ∴∠DCP＝∠APB， ∵PB＝CD， ∴△CDP≌△PBA（ASA）， ∴PD＝AB， ∵BD＝27米， ∴AB＝PD＝BD﹣PB＝27﹣9＝18（米）， 故答案为：18； （2）证明：由题意得：CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠CDB＝∠ABP＝90°， ∴∠DCP+∠CPD＝90°， ∵∠APC＝90°， ∴∠CPD+∠APB＝90°， ∴∠DCP＝∠APB， ∵PB＝CD， ∴△CDP≌△PBA（ASA）， ∴PD＝AB． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【解答】解：（1）乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离； 丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． 故答案为：BC＝CD；∠BDC＝∠BDA； （2）答案不唯一． 选甲：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝ED； 选乙：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠B＝∠CDE＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； 选丙： 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（ASA）， ∴AB＝BC． 26．【答案】任务1：见解析； 任务2：1.6m． 【分析】任务1：由垂直的定义得到∠ODB＝∠OEC＝90°，由余角的性质推出∠BOD＝∠OCE，即可证明△OBD≌△COE（AAS）． 任务2：由全等三角形的性质推出OD＝EC＝1.7m，OE＝BD＝1.1m，求出DE＝OD﹣OE＝0.6m，即可求出EM的长． 【解答】解：任务1：△OBD与△COE全等，理由如下： ∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°， ∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝∠OCE+∠COE＝90°， ∴∠BOD＝∠OCE（等量代换）， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）． 任务2：如图：∵由（1）可知，△OBD≌△COE（AAS）， ∵BD＝1.1m，CE＝1.7m， ∴OD＝EC＝1.7m，OE＝BD＝1.1m， ∴DE＝OD﹣OE＝1.7﹣1.1＝0.6（m）， ∴EM＝DE+DM＝0.6+1＝1.6（m）． 所以小丽距离地面的高度为1.6m． 27．【分析】探索延伸：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，得到答案； 结论运用：连接EF，延长AE、BF交于点C，得到EF＝AE+BF，根据距离、速度和时间的关系计算即可． 【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD， 故答案为：EF＝BE+FD， 探索延伸：结论仍然成立， 证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180° ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF＝FG， ∴FG＝DG+FD＝BE+DF； 结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C， ∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°， ∠EOF＝70°， ∴∠EOF∠AOB， ∵OA＝OB， ∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件 ∴结论EF＝AE+BF成立， 即EF＝1.5×（60+80）＝210海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 学科网（北京）股份有限公司 $