广东珠海市实验中学2026届高三五月测试数学试卷

**基本信息** 本试卷以龙辰塔测量、脱碳处理等真实情境为载体，通过基础题到创新题的梯度设计，考查集合、函数、几何等核心知识，落实逻辑推理、数学建模等素养，适配高三模拟预测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、向量、概率|龙辰塔测量情境考查解三角形，脱碳处理应用指数函数| |填空题|3题/15分|二项式定理、三棱锥外接球、解三角形|三棱锥外接球结合正三角形与线面垂直| |解答题|5题/77分|立体几何、概率统计、圆锥曲线、导数、创新数列|概率题设计比赛计分规则，S数列定义创新考查逻辑推理|

2026届高三五月测试题 数学试卷 说明:本试题共4页,19小题,满分150分,考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知复数,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知,则向量的夹角为( ) A. B. C. D. 4.为保护环境,某发电厂对烟气进行脱碳处理.已知初始碳排放浓度为,每经过一次环保设备处理,碳排放浓度会减少50%.国家排放标准规定碳排放浓度不得超过,若要使该发电厂烟气排放达标,则至少需要脱碳处理的次数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 5.龙辰塔,萧县“龙城”文化地标,矗立于岱湖中心,是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔.某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度,开展了一次实地测量的活动,他们在塔底B所在的水平地面上选取C,D两点, 测得米,, ,在点处测得塔顶的仰角为,则龙辰塔的高度约为( )(参考数据:取,) A.46米 B.48米 C.50米 D. 52米 6.如图,函数的图象与直线相交,A、B、C是相邻的三个交点,且,则( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.若事件满足,则( ) A. B. C. D. 8.已知直线与函数的图象相切,若,则实数的最小值为( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列结论正确的是( ) A.一组样本数据通过计算得到线性回归方程为,若,则 B.一组数据的第百分位数是 C.已知随机变量,若,则 D.在列联表中,若每个数据均变成原来的倍,则的值不变(,其中) 10.已知数列满足,,数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项,余下的项组成数列,则( ) A. B.中存在连续三项成等比数列 C. D. 11.在平面直角坐标系中,曲线,则( ) A.曲线关于原点对称 B.对于任意实数,直线与曲线总有公共点 C.曲线上存在四个点,使得四边形是正方形 D.若圆与曲线恰有4个公共点,则的范围是 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.的展开式中的系数是_.(用数字作答) 13.在三棱锥中,底面为正三角形,平面 ,若四点都在球的表面上,则球的表面积为_. 14. 已知的三个内角分别为A,B,C,且,则的最大值为_. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图,在三棱锥中,平面,,,E为的中点. (1)证明:; (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用五局三胜制(没有平局,先胜三局者获胜),每局比赛甲获胜的概率为,各局结果相互独立.比赛计分规则如下:若一方以或获胜,则胜者得分,败者得分;若一方以获胜,则胜者得分,败者得分. (1)求甲获得分的概率; (2)若,设甲的总得分为随机变量,求的分布列和数学期望; (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定.定义意外指数为,求的最大值. 17.已知椭圆长轴的长为4,离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线与椭圆C有唯一公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x,y轴于和. ①求面积的最大值; ②当点M运动时,求点的轨迹方程. 18.已知函数,(e为自然对数的底数,) (1)证明:当时,; (2)关于x的方程的一个实数根为,其中, ①求实数a的取值范围; ②证明:. 19.若数列:,,…,()满足如下两个性质,则称数列为数列: ①,,…,是1,2,…,的一个排列; ②,,…,是1,2,…,的一个排列. (1)判断数列:1,4,3,2和数列:5,1,4,2,3是否为数列?说明理由; (2)若数列:,,…,满足,,求证:数列:,,…,不是数列; (3)若数列:,,…,()为数列,求的最小值. 2026届高三五月测试题 数学参考答案与评分标准 1、 选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A C C D B B D AB ACD ACD 8.【详解】由,设切点, 则切线方程为:, 所以,因为,所以,解得 显然,在单调递增,所以,时,. 10. 【详解】因为,所以,又因为,所以, 所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即, 所以,故A正确; 由于,, 所以数列是首项为,公差为2的等差数列,即, 假设中存在连续三项成等比数列,设为:, 则,化简得:,即等式无解; 所以中不存在连续三项成等比数列,故B错误; 由于,所以,故C正确; 数列的项在数列中对应的位置满足:, 即,即中被去掉的项为:,,即第一项, ,,即第三项,,,即第七项, ,,即第十五项, 所以,故D正确. 11.【详解】对于选项A,设曲线上任意一点,其关于原点的对称点为.将代入曲线方程得,,所以曲线关于原点对称.故A正确;对于选项B,将与曲线联立:,即.当时,此方程无解.即直线与曲线无公共点,故选项B错误. 对于选项C,曲线的方程可化为,即,也就是, 这两条曲线关于原点对称,如图以原点为圆心作圆,当时, 根据对称性,四边形为正方形.故选项C正确; 对于选项D,当圆与有交点, 由得, ,当且仅当,即时取等. 当圆与相切时, 将两式联立, 由得, 即. 令,得.由,因为,所以.又与曲线恰有4个公共点,则.故选项D正确. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 13. 14. 14.【详解】, 所以或,所以为直角三角形, 当时, ,其中,所以当时,的最大值为; 当时,同理可得的最大值为; 当时,. 综上的最大值为. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1)证明:因为,为的中点,所以,.....1分 又因为平面,平面,所以, .....2分 又因为,、平面, 所以平面, ..................................4分 又因为平面,所以; .........................5分 (2)解:如图,过作于,连接,.................6分 由(1)知,又因为,、平面, 所以平面,所以就是平面与平面的夹角,...............8分 因为平面,平面,所以, 因为, 则,...............10分 ,则, 则, ..................................12分 所以,平面与平面夹角的余弦值为........................13分 16.解:(1)根据题意,每局比赛甲获胜的概率为,各局结果相互独立. 甲获胜时,概率为; .......................1分 甲获胜时,前局甲胜局输局,第局甲胜,概率为; .......................3分 因此甲得分的概率为. ...................4分 (2)甲的总得分的可能取值为, ...................5分 ; .............................6分 对应甲获胜,前局甲胜局输局,第局甲胜: ; .......................7分 对应乙获胜,前局乙胜局输局,第局乙胜: ; .............8分 对应乙或获胜,..............9分 的分布列为: ...............................................10分 数学期望为. .........................11分 (3)由定义, 代入得,......12分 由基本不等式 ,当且仅当即时取等号. ......14分 因此 ,即的最大值为. .................15分 17.解:(1)由题意得, ............................................1分 解得, ............................................2分 因此,椭圆C的标准方程为:; .........................................3分 (2)联立得, .....................4分 因为l与椭圆相切,故,化简得:,......5分 即, 则,...........6分 过点M且与l垂直的直线方程为:, 令得,令得;...........8分 (i), 当且仅当即时取等号, 因此; ....................................10分 (ii),即,得; .......................12分 因为,所以,化简得:,..............14分 因此,点P的轨迹方程为:. ............................15分 18.解:(1)设,, ..................................1分 则,由 得, 所以在上单调递减,在上单调递增; ......................3分 因为,, ............................4分 所以时恒成立,即. ................5分 (2)①由得,两边取对数得, ...........6分 令,则,,从而有; ................7分 设,.则; 所以,在上单调递增;因为,,; 故实数a的取值范围. ....................................10分 ②要证,只需证,因为,,要证,只需证时,,只需证.上式显然成立; ............................12分 要证,只需证,因为,所以,由(1)知时,, 所以,即,解得,所以; ............................16分 于是成立. .......................................17分 19. 解:(1)因为,而3,1,1不是1,2,3的一个排列,所以 数列不是数列; .......................................2分 因为5,1,4,2,3是1,2,3,4,5的一个排列, 又,4,3,2,1是1,2,3,4的一个排列, 所以数列是数列. .......................................4分 (2)假设数列为数列, ...................................5分 则............6分 因为与的奇偶性相同, 所以与的奇偶性相同. 所以与的奇偶性相同. ............8分 又是偶数,是奇数,矛盾. 所以数列不是数列. ..........................9分 (3)因为数列为数列, 所以,.........10分 且 . .................................12分 所以, 所以, .................................13分 因为, 所以,即. ..............................14分 令, 则, 所以, 即数列为数列. ...........................................16分 所以的最小值为. ...........................................17分 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $