精品解析：广东珠海市实验中学2026届高三下学期综合训练（五）数学试题

珠海市实验中学2026届高三综合测试（五） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，，那么为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题，，是存在量词命题， 其否定是全称量词命题，注意到要否定结论， 所以为，. 2. 若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的离心率公式计算即可. 【详解】由题，，解得. 故选：D. 3. 复数是成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充要条件的判定，分别验证充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果. 【详解】对一元二次方程   配方得  ，解得根为  或 ， 判断充分性：若 ，代入方程左边计算：  ，等式成立，因此 可以推出方程成立，充分性满足； 判断必要性：若方程   成立，还可以是 ，不一定等于 ，因此方程成立推不出 ，必要性不满足； 因此  是   成立的充分不必要条件. 4. 已知函数在区间内恰有一个极值点，则可能的取值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，再根据极值点的概念和正弦函数图象的性质可知且，由此即可求出结果. 【详解】因为，所以. 根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个极值点， 所以，又，所以. 故的取值范围为. 5. 已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质及通项公式逐项求解判断. 【详解】对于A，，则，A不是； 对于B，设等差数列的公差为，，B不是； 对于D，，则，D不是； 对于C，，而值不确定， 因此不确定，C是. 故选：C 6. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A. 24 B. 54 C. 72 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数. 【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种. 7. 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）． A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设，求出坐标，由数量积的坐标运算结合余弦函数的性质即可得出答案. 【详解】 如图，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切， 则，圆B的半径为， 因为点P是圆B上的动点，设， 则， 则， 因为， 所以，当时，取得最大值为. 8. 已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线交于A，B两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l的方程为，由计算，利用两点间距离公式和韦达定理计算即可. 【详解】设，直线l的方程为，代入抛物线得， ， 设，，则，， 因为，， 所以，即. ， 同理， 则， 因为，所以，异号， 所以， 又， 所以，不是定值，故A C错误； 则， 代入韦达定理得， 故，故B错误，D正确. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，则， ，所以A错误， 又，则， 所以，所以B正确， 又因为，所以C正确，D错误. 10. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合二倍角的余弦公式可得，利用三角恒等变换可得，可判断A；利用三角内角和可得，结合两角和正切公式计算可判断B；分类讨论可得，进而，进而计算可判断CD. 【详解】由，可得， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以，故A正确； 因为，所以，所以， 所以， 所以，故B正确； 因为，所以同号， 若，又，此时，显然不符合题意， 所以，所以，所以， 所以，由，可得， 所以，所以，所以，故C错误； 由，可得，，故D正确. 故选：ABD. 11. 若曲线满足条件：存在正数a和点，对于任意点，总存在点，使得，则称该曲线是“封闭曲线”，则下列曲线是“封闭曲线”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合题设定义，先找到的取值范围，结合进行验证是否在这个范围内，当曲线图象无界时，显然是不符合题意的. 【详解】对于A，由，即，为椭圆， 则，取，满足， 而，， 令，由，对任意的，， 此时，因此对于任意点，总存在点， 故是“封闭曲线”； 对于B，由，显然，则， 由于函数在和上均为减函数，如图： 因为该图象是无界的，因此当时，对给定的而言， 是一个具体的正数，则，这与矛盾， 因此，不是“封闭曲线”； 对于C，由， 显然点均满足方程， 则曲线关于，原点对称，且， 因此该曲线上的点均在圆上（或内部）， 所以该曲线的图象是有界的，取， 设，，取， 由，对任意点，， 此时， 因此对于任意点，总存在点， 故是“封闭曲线”； 对于D，由，而， 则时，， 所以曲线的图象无界， 当时，对给定的而言， 是一个具体的正数，则，这与矛盾， 因此，不是“封闭曲线”. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 【答案】17 【解析】 【详解】. 13. 已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意有和，又得，令，利用函数的单调性即可求解. 【详解】∵是奇函数，是偶函数，在中， 用去代换x，得， ∴，，∵， ∴由，可得， 令，则在上单调递增． 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向上，符合题意； 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向下， 则需，即；若，则在上单调递增，符合题意． 综上，． 故答案为：. 14. 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为，等边三角形的中心为，由题意得，，在中利用勾股定理即可求出答案. 【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为, 因为汤圆与碗的内壁相切，所以， 又因为三颗汤圆两两相切，所以， 设等边三角形的中心为， 因为汤圆与碗口等高，所以， 在中，， 在中，， 即，即， 所以，所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，三棱锥中，，，且，，E，F分别为和的中点． （1）证明：上存在点P，使得平面； （2）当时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取上一点，结合是中点，若能使，再结合的位置，可推出与面内的直线平行，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，根据题意求出各点坐标，再分别求出平面和平面的法向量，利用两个平面法向量的夹角与二面角的关系，计算二面角的正弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接 因为是的中点，是的中点， 所以在中，是中位线，故. 又平面，平面， 所以平面， 故上存在满足条件的点，得证. 【小问2详解】 如图所示， 以点为原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，， 设，由得，即. 由，，， 得： 代入得，即. 平面中，，， 设法向量为， 由得，令，则. 平面中，，， 设法向量为， 由得，令，则. 所以二面角的正弦值： . 16. 已知函数，． （1）当时，若的值域为，求b的值； （2）若为的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导分析，判断导数得正负，并得到函数的最小值，从而得到方程进而求解. （2）根据题意将代入导数为0，得到参数之间的关系，并分析是否在处取得极小值. 【小问1详解】 因为，所以，求导得， 因为，所以令，解得， 当，，所以单调递减； 当，，所以单调递增； 所以，解得. 【小问2详解】 因为，求导得， 又因为为的极小值点，所以，得到， 代入导数得， 因为，所以， ①当时，，解得或，此时， 所以，，单调递减；，，单调递增；，，单调递减； 所以为的极小值点满足条件. ②当时, 恒成立， 所以在定义域内单调递减，无极值，不满足题意舍去. ③当时，，解得或，此时， 所以，，单调递减；，，单调递增；，，单调递减； 为的极大值点.不满足条件，舍去. 综上，. 17. 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. （1）求6次姿态修正后达到个单位的概率； （2）以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）（i）列举所有的路线，即可求解；（ii）求解对应的概率，即可根据期望公式求解. 【小问1详解】 若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正， 且每次正方向和负方向修正的概率均为， 故6次姿态修正后达到个单位的概率为. 【小问2详解】 （ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为， “能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种， 则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择， 故“完成6次修正”总的路线共有种， “校准到位”的路线有共有4种， 故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为. （ⅱ）随机变量的取值为2,4,6， 表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故, 表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故, , 的分布列如下： 2 4 6 故 18. 已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，短轴长为2． （1）求的离心率； （2）已知是以为直径的圆上一点，是射线上一点，满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）当点在轴上方时，过点作轴的垂线，若与椭圆在第一象限内有一个交点，直线与轴相交于点，求证：的外接圆经过异于的一个定点． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可求得，进而可求离心率； （2）（i）设，且，代入计算可得，进而得点的轨迹方程； （ii）设的左焦点为，计算可求得，计算可得四点始终在同一个圆上，进而可得结论. 【小问1详解】 由条件知，且，所以， 所以的离心率； 【小问2详解】 （i）以为直径的圆：，设， 由题意设①， 且有②，③， 将①代入②有，即④， ①代入③有，即⑤， 联立④⑤有，即点的轨迹方程为； （ii）由题意，椭圆方程为， 设的左焦点为， 直线的方程为，所以， 线段的垂直平分线方程为，此直线与轴相交于点， 的外接圆方程为⑥， 将代入方程⑥，得⑦，因为点在椭圆上，所以⑦恒成立， 即四点始终在同一个圆上，故的外接圆过点． 19. 已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． （1）求数列：的任意置换的前项和的最大值； （2）已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； （3）在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 【答案】（1）252； （2）1，3，7，2，4，5，6； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分析前6项和小于等于即可； （2）写出满足题意的置换，再证明即可； （3）分的所有项均为偶数和的所有项均为奇数讨论即可. 【小问1详解】 数列的每个置换的前6项和． 当置换为4，8，16，32，64，128，1，2时，． 所以的最大值为252． 【小问2详解】 数列的一个置换：1，3，7，2，4，5，6， 存在，使得．对任意，数列， 存在一个置换为：， 存在，使得． 【小问3详解】 必要性： 因为数列为常数列，每个置换是常数列，存在． 充分性：＂的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得．＂称具有性质． 由，得．又因为为偶数，为定值，所以数列的所有项的奇偶性相同.称具有性质. 对具有性质的数列施加变换：若的所有项均为偶数， 令；若的所有项均为奇数，令．得到数列． ①若的所有项均为偶数，， 则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂， 又因为，所以．且数列具有性质． ②若的所有项均为奇数，，则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂. 又因为，所以，当且仅当时取等号． 且数列具有性质. 总之，对数列施加变换，数列保持性质和性质不变. 对数列施加次变换后，得到常数列． 常数列，经过次相反的变换：或者， 每次得到的数列都是常数列，最终得到数列，且数列为常数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市实验中学2026届高三综合测试（五） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，，那么为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 复数是成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数在区间内恰有一个极值点，则可能的取值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A. 24 B. 54 C. 72 D. 120 7. 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）． A. B. C. 4 D. 8. 已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线交于A，B两点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. ， 11. 若曲线满足条件：存在正数a和点，对于任意点，总存在点，使得，则称该曲线是“封闭曲线”，则下列曲线是“封闭曲线”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 13. 已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是______． 14. 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，三棱锥中，，，且，，E，F分别为和的中点． （1）证明：上存在点P，使得平面； （2）当时，求二面角的正弦值． 16. 已知函数，． （1）当时，若的值域为，求b的值； （2）若为的极小值点，求实数a的取值范围． 17. 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. （1）求6次姿态修正后达到个单位的概率； （2）以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 18. 已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，短轴长为2． （1）求的离心率； （2）已知是以为直径的圆上一点，是射线上一点，满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）当点在轴上方时，过点作轴的垂线，若与椭圆在第一象限内有一个交点，直线与轴相交于点，求证：的外接圆经过异于的一个定点． 19. 已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． （1）求数列：的任意置换的前项和的最大值； （2）已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； （3）在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $