二次函数中的相似问题、角度问题复习讲义-2026年中考数学二轮复习高频考点复习讲义

二次函数中的相似问题、角度问题复习讲义 二次函数中的相似问题、角度问题复习讲义 考点目录 二次函数中的相似问题 二次函数中的角度问题 知识点解析 考点一 二次函数中的相似问题 一、知识点 1. 相似判定：常用AA两角对应相等、两边成比例且夹角相等。 1. 核心载体：抛物线与直线交点、顶点、坐标轴上定点、动点构成三角形。 1. 关键工具：斜率相等→角相等、坐标求边长、勾股定理算线段长、直角三角形相似。 1. 分类情况：定点与动点构成三角形，常分类讨论对应顶点。 二、解题原理 1. 把抛物线上点坐标化，用坐标表示边长和倾斜角； 1. 利用斜率、几何角度关系找等角，满足相似判定条件； 1. 相似对应边成比例，转化为坐标方程求解参数、动点坐标。 三、解题思路 1. 设二次函数解析式、设动点坐标； 1. 求出相关定点、交点、顶点坐标； 1. 用坐标计算线段长度或利用斜率找相等角； 1. 按相似顶点对应关系分类，列比例方程； 1. 解方程求出参数或动点坐标，检验合理性。 考点二 二次函数中的角度问题 一、知识点 1. 常见题型：角度相等、角度为定值、直角、45°角、角度倍数关系、角度最值。 1. 常用工具：斜率与倾斜角、两直线夹角公式、等腰/直角三角形性质、三角函数、构造一线三等角、翻折对称。 1. 特殊角：直角、45°、60°常通过构造等腰直角、等边三角形求解。 二、解题原理 1. 平面内角度关系可转化为直线斜率关系、向量夹角、三角形边角关系； 1. 把几何角度条件，转化为坐标、斜率、距离的代数方程； 1. 利用函数图象对称性、特殊三角形构造，简化角度等量关系。 三、解题思路 1. 设点、设抛物线解析式，写出所有关键点坐标； 1. 由斜率、向量、几何图形找出角的等量关系； 1. 遇特殊角构造等腰直角、一线三等角模型； 1. 把角度条件转化为方程，求解参数或动点位置； 1. 多情况分类讨论，舍去不合题意的解。 真题速递 1．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 2．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 3．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为；      如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 考点一 二次函数中的相似问题 【例题分析】 例1．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：， 【分析】（1）将、的坐标代入解析求解即可； （2）连接，由勾股定理得，要使的周长最小，只要最小，则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立，即可求解； （3）分类讨论：当时，当时，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：令，即， 解得或， 则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 连接， 则， 要使的周长最小，只要最小． 是对称轴上一点，且点A与点C关于对称轴对称， 则， 则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立， 因而与对称轴的交点P就是所求的点． 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得， 所以直线的解析式为； 联立，解得， 故所求的点P的坐标为， 此时的周长即为； （3）解：存在． ，， ， ，， ， ，， ， 当时， ， ， 解得：， ； 当时， ， ， 解得：， ， 故E点坐标为：， 综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似，点E的坐标为：，． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点，由待定系数法求出直线的解析式，根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 解得 抛物线的解析式为：． （2）解：存在，理由如下 抛物线与x轴交于A，B两点， ． 解得，． ． 设直线的解析式为：，将，，代入解析式得：，解得：． 直线的解析式为：， ， 当和相似有两种情形， 当时，如图 ． ． 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：． ∴直线的解析式为． ∴直线的解析式为． 联立解得：． ． ②当时，如图 ． ，，，， ，． ，解得． 设， 解得∶或 (舍去)． 则 ． 综上所述，或． 例3．（2025·江苏连云港·模拟预测）在四边形中，，，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，使点在轴上． (1)求过三点的抛物线的函数表达式； (2)求的外接圆的圆心的坐标，并求的半径； (3)过的顶点作一条直线，将分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则这样的直线最多可以画___________条； (4)设为射线上任意一点，点为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2)；的半径为 (3)7 (4)存在；，或；，或； ，或；，或 【分析】（1）过点D作轴于点I，由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为．再根据交点式即可求出过A、D、C三点的抛物线的解析式； （2）由外接圆知识知M为对称轴与中垂线的交点．由等腰直角三角形性质可得M点的坐标，连接，根据两点间距离公式求出，即为半径； （3）根据题意画出图形，即可得出答案； （4）分四种情况：当，点P在轴下方时，当，点P在x轴上方时，当，点P在x轴下方时，当，点P在x轴上方时，分别画出图形，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图1，过点D作轴于点I， ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∴抛物线与x轴另一交点为， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵M为的外接圆的圆心 ∴M为对称轴与中垂线的交点， 过点O作于点N，如图1所示： ∵， ∴，平分， ∴垂直平分，， ∴与抛物线对称轴的交点即为点M， 如图1，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． （3）解：如图2，以D为顶角的顶点可以画等腰和；以A为顶角的顶点可以画等腰；以C为顶角的顶点可以画等腰；以为底边可以画等腰；以为底边可以画等腰；以为底边画等腰；因此这样的直线最多可以画7条； （4）解：在中，， ， ， ∵轴， ∴， 假设存在，显然，则或． 如图3，当，点P在轴下方时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则R点坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令， 解得：，（舍去）， ∴此时， ∴， 设， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 同理，当，点P在x轴上方时，直线解析式为：， 令， 解得：，， ∴此时P与A重合，即此时点P的坐标为， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 如图4，当，点P在x轴下方时， 设交y轴于H，抛物线的对称轴交于点E，连接， ∵点A与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 同理，根据，可得，此时直线的解析式为：， 联立， 解得： 或（舍去）， ∴， ∴， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当，点P在x轴上方时， 同理可得此时点H的坐标为， 根据点，可得，的解析式为， 联立， 解得： 或（舍去）， ∴， ∴， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 综上所述，，或；，或； ，或；，或． 【变式训练】 变式1．（2025·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点．其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于点D（D在第一象限内），交BC于点E，交x轴于点F． ①求的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与相似，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，的最大值是9；②或 【分析】本题考查二次函数综合知识，涉及抛物线的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点、线段和的最大值、相似三角形判定和性质等，解题的关键是分类列方程． （1）根据抛物线的对称轴为直线，得，求出n的值即可； （2）①求出，可得直线解析式为，设第一象限，则，可得，即可得的最大值是9； ②由，，得，以点C，D，E为顶点的三角形与相似，点A与点E对应，分两种情况：Ⅰ、当O与D对应，G与C对应时，即时，则有；Ⅱ、当与C对应，G与D对应时，即，则有；据此列出方程即可得的值，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①令，则， 解得：，， ∴，， 令，则， ∴， 设直线解析式为，将，代入可得：， 解得， 直线解析式为， 设第一象限内，点，则， ，， ， ∵， 当时，的最大值是9； ②由（1）知，，， ∴，， ∴， ∴， ， 轴于， ， ， ∴以点C，D，E为顶点的三角形与相似，点A与点E对应， ∴分两种情况：Ⅰ、当O与D对应，G与C对应时，即时， 则， 而为中点，，， ，，， 由①知：，， ， 当时，， 解得或（此时与重合，舍去）， ， Ⅱ、当与C对应，G与D对应时，即， 则， ∴， 解得或（舍去）， ， 综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，则的坐标为或． 变式2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M． (1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标； (2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，P点坐标或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可，再把解析式化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式为，设，则，，分两种情况讨论：当时，当时，分别求出P点坐标即可． 【详解】（1）解：将点、代入， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴M点的坐标为； （2）解：存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似，理由如下： 当时，， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， 当时，， ∴， 解得：， ∴，解得：或2（舍去）， ∴； 当时，， ∴，解得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴P点的坐标为； 综上所述：P点的坐标为或． 变式3．（2025·宁夏吴忠·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点，点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)求该二次函数的解析式； (2)是否存在点 P，使得，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)连接， 求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)存在，点 P 的坐标为或 (3)四边形面积的最大值为． 【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点坐标为，可得，分两种情况考虑：；，利用等腰三角形的性质建立方程即可求得点的坐标； （3）由（2）可知，则四边形面积，当时，四边形面积的最大值为． 【详解】（1）解：抛物线过与点， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：存在， 设直线解析式为， 则有，解得：， 即直线解析式为； 设点坐标为， 轴， 点的坐标为， ； 当时； 如图，连接， 则，， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时； 当时， 则，， 则有， ； 过点作于，则， ， ， 解得：，（舍去）， 此时； 综上，点 P 的坐标为或； （3）解：由（2）可知， 四边形面积， ∵， ∴当时，四边形面积的最大值为． 考点二 二次函数中的角度问题 【例题分析】 例1．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 例2．（2026·四川成都·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．点和也在抛物线上． (1)求抛物线的解析式和点A，B的坐标； (2)如图1，连接，若点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P在对称轴左侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），连接交于点E，Q为的中点，连接，若的面积为2，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，求出当时的值，即可得到点A，B的坐标； （2）作轴于，设，则 ，，结合，得出，进而得出，计算即可得解； （3）设，结合直线l与抛物线有唯一公共点P，求出直线l的解析式为 ，从而可得平移后的直线的解析式为 ，求出的中点Q的坐标为，得出轴，，求出的解析式为，进而可得，再结合的面积 的面积的面积列方程计算即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入抛物线， 则， 解得， ∴抛物线解析式为：． 令，即， 解得或． ∵点A在点B左侧， ∴，； （2）解：作轴于， 设，则 ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ，解得或（与点重合，舍去）， 或，解得或（与点重合，舍去）， 当时，则，当时，则， ∴或． （3）解：设，直线l的解析式为， 则 ，解得 ， ∴直线l的解析式为 ， 联立得 ， 直线l与抛物线有唯一公共点P， 此方程有两个相等的实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， 直线l的解析式为 ， ∵平移直线l，使其经过点， 平移后的直线的解析式为 ， 由得， ， ∴ ， ∴的中点Q的坐标为， 连接， ∴轴， ， 设直线的解析式为， ，解得， 的解析式为， 联立，解得， ， 的面积 的面积的面积 ， ， ， （舍去）， ，则， ∴点P的坐标为． 例3．（2026·重庆大足·一模）如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点． (1)求三点的坐标； (2)点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或 【分析】（）分别把和代入解析式中计算即可求解； （）作轴于，交于，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，得，进而得到，可知当时，的面积最大，即得，作轴，作于，作于，由得，得到，即得到，即可求解； （）作轴于，由题意可得新抛物线的解析式为，设，由得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∵在的左侧， ∴，； （2）解：如图，作轴于，交于， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴， 作轴，作于，作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在点或，使，理由如下： 如图，作轴于， ∵抛物线沿射线方向平移后过点， ∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，（不合，舍去），，（不合，舍去）， ∴点的坐标为或． 【变式训练】 变式1．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解； （2）设对称轴与直线的交点为M，连接，推导出，求出，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 变式2．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【分析】 （1）把一般式化为顶点式即可得出抛物线顶点坐标； （2）求出点的坐标，得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出点坐标，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系可得，，过点作，过点作，设，根据正切的定义，由列出比例式，整理后代入可得，根据等式成立与无关可得． 【详解】（1）解：∵； ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，则：， ∴令，则，令，则， ∴， ∵， ∴顶点在直线上移动， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴，即：， 此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； （3）结论：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， 设抛物线和直线交点，， 联立抛物线和直线解析式得，整理，得：， ∴，， 假设存在点，使得总是平分，则一定在下方，过点作，过点作， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则：，， ，， ∴， 整理得：， ∴， ∴， 当时，等式一定成立， ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 变式3．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)点K的坐标为或 【分析】（1）把A，B坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，，如图1，设直线交直线于点D，根据，可知点P与点D的纵坐标相等，则，计算的长，计算，连接，作关于y轴的对称点，连接，当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是的长，即可解答； （3）先求平移后抛物线解析式，再求抛物线与轴的交点坐标，可得的长，求出，当点K在x轴的上方，设，则，得，解方程求出的值，即可得点K的坐标；同理可求当点K在x轴的下方时点K的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴是：直线， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，如图1，设直线交直线于点D，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，点P与点D的纵坐标相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，有最大值，此时点P的坐标为， 把点P的坐标为向下平移个单位得， 连接，作关于y轴的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是， ∵，， ∴， ∴的最小值是； （3）解：， ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：或 设点为函数与轴正半轴的交点， ∴， 分两种情况： ①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F， 由（2）知：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得或（此时与点重合，不合题意，舍去） ∴, ∴ ②点K在x轴的下方时，同理可得，， ∴， 综上，点K的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数中的相似问题、角度问题复习讲义 二次函数中的相似问题、角度问题复习讲义 考点目录 二次函数中的相似问题 二次函数中的角度问题 知识点解析 考点一 二次函数中的相似问题 一、知识点 1. 相似判定：常用AA两角对应相等、两边成比例且夹角相等。 1. 核心载体：抛物线与直线交点、顶点、坐标轴上定点、动点构成三角形。 1. 关键工具：斜率相等→角相等、坐标求边长、勾股定理算线段长、直角三角形相似。 1. 分类情况：定点与动点构成三角形，常分类讨论对应顶点。 二、解题原理 1. 把抛物线上点坐标化，用坐标表示边长和倾斜角； 1. 利用斜率、几何角度关系找等角，满足相似判定条件； 1. 相似对应边成比例，转化为坐标方程求解参数、动点坐标。 三、解题思路 1. 设二次函数解析式、设动点坐标； 1. 求出相关定点、交点、顶点坐标； 1. 用坐标计算线段长度或利用斜率找相等角； 1. 按相似顶点对应关系分类，列比例方程； 1. 解方程求出参数或动点坐标，检验合理性。 考点二 二次函数中的角度问题 一、知识点 1. 常见题型：角度相等、角度为定值、直角、45°角、角度倍数关系、角度最值。 1. 常用工具：斜率与倾斜角、两直线夹角公式、等腰/直角三角形性质、三角函数、构造一线三等角、翻折对称。 1. 特殊角：直角、45°、60°常通过构造等腰直角、等边三角形求解。 二、解题原理 1. 平面内角度关系可转化为直线斜率关系、向量夹角、三角形边角关系； 1. 把几何角度条件，转化为坐标、斜率、距离的代数方程； 1. 利用函数图象对称性、特殊三角形构造，简化角度等量关系。 三、解题思路 1. 设点、设抛物线解析式，写出所有关键点坐标； 1. 由斜率、向量、几何图形找出角的等量关系； 1. 遇特殊角构造等腰直角、一线三等角模型； 1. 把角度条件转化为方程，求解参数或动点位置； 1. 多情况分类讨论，舍去不合题意的解。 真题速递 1．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 2．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 3．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 考点一 二次函数中的相似问题 【例题分析】 例1．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2025·江苏连云港·模拟预测）在四边形中，，，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，使点在轴上． (1)求过三点的抛物线的函数表达式； (2)求的外接圆的圆心的坐标，并求的半径； (3)过的顶点作一条直线，将分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则这样的直线最多可以画___________条； (4)设为射线上任意一点，点为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，则说明理由． 【变式训练】 变式1．（2025·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点．其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于点D（D在第一象限内），交BC于点E，交x轴于点F． ①求的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与相似，求点D的坐标． 变式2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M． (1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标； (2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（2025·宁夏吴忠·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点，点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)求该二次函数的解析式； (2)是否存在点 P，使得，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)连接， 求四边形面积的最大值． 考点二 二次函数中的角度问题 【例题分析】 例1．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 例2．（2026·四川成都·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．点和也在抛物线上． (1)求抛物线的解析式和点A，B的坐标； (2)如图1，连接，若点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P在对称轴左侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），连接交于点E，Q为的中点，连接，若的面积为2，求点P的坐标． 例3．（2026·重庆大足·一模）如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点． (1)求三点的坐标； (2)点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 变式2．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级下·重庆永川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $