精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年第二学期下学期5月期中考试高二数学试题

2025-2026学年第二学期下学期5月期中考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵娟娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 张丽的书桌上有本不同的语文课外读物和本不同的英语课外读物.现在她想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，则不同的取法种数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数，从7本书中取一本有取法； 【详解】由桌面上共有7本书，所以抽取一本的取法有种， 故选：A 2. 的展开式中常数项为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. 3. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 4. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 5. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（ ） A. 540小时 B. 542小时 C. 548小时 D. 600小时 【答案】B 【解析】 【详解】将样本中心点代入线性回归方程，得，解得， 所以线性回归方程为，当时，. 所以估计加工1500个零件所花费的时间为542小时. 6. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A. 55 B. 55.8 C. 59 D. 51 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据回归直线必过样本点中心，代入方程求，即可求不清楚的数据. 【详解】回归直线必过样本点中心，其中， 所以， 所以不清楚的数值为. 故选：D 7. 曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得为切点，再利用导数的几何意义即可求得结果. 【详解】由，得到在处切线的斜率为， 故在点处的切线方程为：，整理得： 故选：C 8. 已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，利用导数，结合直线的点斜式方程求出切线的方程，联立切线方程和曲线方程，化简得方程，根据切线与曲线有且只有一个公共点，求出参数的值即可. 【详解】函数，对其求导得. 设切点为，则切线斜率为 又， 所以切线方程为， 化简得. 将切线方程和曲线方程联立得： 整理得， 因式分解得， 解得或， 因为切线与曲线有且只有一个公共点， 所以，解得， 此时切线方程为，对应唯一一条满足条件的直线， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（ ） A. B. C. 展开式中的系数为 D. 展开式中常数项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式系数的和的性质求出，即可判断AB；求出展开式的通项，令的指数等于即可判断C；令的指数等于即可判断D. 【详解】由题意，解得，故 A正确；B错误； 二项展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中的系数为，故C正确； 令，则， 所以展开式中常数项为，故D错误. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的方差为4，则数据的方差为9 B. 若随机变量，，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱 D. 若事件A，B满足，，，则有 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据方差的线性运算性质，计算即可；B选项，根据正太分布曲线可求得；C选项相关系数越接近1，相关性越强；D选项，，则两事件相互独立，根据条件概率的计算公式可以求得. 【详解】由于，所以数据的方差为16，因此选项A错误； 随机变量，， 则，因此选项B正确； 线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误； 由于等价于“事件A与事件B相互独立”，即，故必有.因此选项D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 【答案】AC 【解析】 【详解】A，，显然是奇函数，正确； B，，易得在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，错误； C，，，故曲线在点处的切线方程为，即，正确； D， ，在处左增右减，故为极大值点，极大值，在上单调递增，且时，，所以在上不一定存在最大值，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，即可得到，由组合数公式解得即可. 【详解】因为展开式的通项为， 因为第2项与第3项的二项式系数之比为， 所以，即，解得. 故答案为： 13. 已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量（单位：万次）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 点击量 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，，，，.建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第6天的点击量为______ 【答案】9.11万次 【解析】 【分析】根据条件，求出关于的回归直线方程，即可求解. 【详解】因为， 则，所以关于的回归直线方程为， 当时，，故预测第6天的点击量约为9.11万次， 故答案为：9.11万次. 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【详解】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下， 由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． （1）完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 （2）根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析；有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，理由见解析 （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）计算出5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒，从而得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列,计算出数学期望. 【小问1详解】 完成的列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 ． ∴有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关． 【小问2详解】 根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为， 利用分层抽样随机抽取的5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒． 随机变量，2，3． ；；． X的分布列为 X 1 2 3 P ． 16. 某校有3名男教师，2名女教师报名去边区支教，学校准备从这5人中选3人去支教. （1）设所选3人中女教师的人数为，写出的分布列，并求的数学期望及方差； （2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率. 【答案】（1）分布列详见解析，，； （2） 【解析】 【分析】（1）确定X的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X的分布列，E(X)和D(X)； （2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，利用条件概率公式，即可求出概率. 【小问1详解】 X的所有可能取值为0，1，2， 且，， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 故， . 【小问2详解】 设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”， 则，， 所以. 17. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求切点处的切线方程； （2）求导，确定单调性后即可求解最值. 【小问1详解】 由题意知，，即切点为， 由已知，则， 曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，得或. 当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减. 所以函数的极小值点为，极小值为， 因为，，故在区间上的最大值为，最小值为. 18. 回答下列问题 （1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ （3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类， 分配方式为时，共有种分法， 分配方式为时，共有种分法， 由分类加法计数原理可得共有种分法. 【小问2详解】 个相同的口罩，每位同学先拿一个， 剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成份， 每一种分法所得份给到个人即可， 所以不同的发放方法有种. 【小问3详解】 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 由分类加法计数原理可得共有种选法. 19. 已知函数的图像在点处的切线方程为． （1）用实数a分别表示出实数b和c； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由切点坐标及导数的几何意义列方程求解； （2）构造函数，利用导数讨论函数的单调性求解. 【小问1详解】 的定义域为，，又由切线方程可得， 所以且， 则，； 【小问2详解】 由（1）可知， 则可转化为在上恒成立， 设，定义域为，，， ， 当时，即时，当时，， ∴在内单调递减， ∴，这与题意不符， 当时，时，当时，，∴在内单调递增， ∴，即恒成立，仅当时等号成立， 综上所述，实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期下学期5月期中考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵娟娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 张丽的书桌上有本不同的语文课外读物和本不同的英语课外读物.现在她想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，则不同的取法种数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 的展开式中常数项为（   ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 4. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（ ） A. 540小时 B. 542小时 C. 548小时 D. 600小时 6. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A. 55 B. 55.8 C. 59 D. 51 7. 曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（ ） A. B. C. 展开式中的系数为 D. 展开式中常数项为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的方差为4，则数据的方差为9 B. 若随机变量，，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱 D. 若事件A，B满足，，，则有 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 3是的极大值点 C. 曲线在点处的切线方程为 D. 若，则在上存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则__________. 13. 已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量（单位：万次）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 点击量 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，，，，.建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第6天的点击量为______ 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． （1）完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 （2）根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 某校有3名男教师，2名女教师报名去边区支教，学校准备从这5人中选3人去支教. （1）设所选3人中女教师的人数为，写出的分布列，并求的数学期望及方差； （2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率. 17. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值. 18. 回答下列问题 （1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ （3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 19. 已知函数的图像在点处的切线方程为． （1）用实数a分别表示出实数b和c； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $