立体几何初步：补全线面平行的条件、补全面面平行的条件复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

立体几何初步：补全线面平行的条件、补全面面平行的条件复习讲义 立体几何初步：补全线面平行的条件、补全面面平行的条件复习讲义 考点目录 补全线面平行的条件 补全面面平行的条件 考点一 补全线面平行的条件 【知识点解析】 知识点 1. 线面平行判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行。 1. 核心要素：直线在平面外、平面内找平行线、两直线平行。 1. 常用依据：中位线定理、平行四边形性质、平行线传递性。 解题原理 利用空间直线平行的平面化转化，把线面平行转化为线线平行，补齐缺失的平行条件与位置条件即可证得结论。 解题思路 1. 观察已知线条和面的位置，确定待补的关键平行线； 1. 作辅助线，构造中位线或平行四边形； 1. 证明构造出的两直线平行； 1. 补齐“直线在平面外”这一条件，完成线面平行推导。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行. （2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可. 【详解】（1）因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. （2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 例2．（25-26高一下·山东济南·期中）如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)在线段OB上存在点E，且=3，证明见解析 【分析】 （1）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，为等边三角形，通过外接圆半径计算边长，再由计算中位线的长度； （2）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，母线长为原半圆半径，底面圆周长为原半圆弧长，计算出半径后可以计算出圆锥高，体积即可求解； （3）通过中位线、平行四边形来构造出线面平行，从而找到点. 【详解】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为， 则，解得， 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以， 又因为点、分别是、的中点， 所以； （2）， 圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为； （3）在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下：如图，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以， 取CB的四等分点G，使，连接GE， 因为，所以，， 所以，， 所以四边形DFGE是平行四边形，所以 又平面ABC，平面ABC，所以平面 例3．（24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论； （2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论， 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 变式2．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 变式3．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案； （2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论； （3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论. 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 考点二 补全面面平行的条件 【知识点解析】 知识点 1. 面面平行判定：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行。 1. 核心要素：两条直线相交、都在同一平面内、各自平行于另一平面。 1. 关键易错：必须是两条相交直线，平行线无效。 解题原理 将面面平行转化为两组线面平行，通过补齐平面内相交直线的线面平行条件，推证两平面平行。 解题思路 1. 在其中一个平面内，找出或补作两条相交直线； 1. 分别证两条相交直线都平行于另一平面； 1. 补齐“两直线相交、共面”条件，即可推出面面平行。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，利用正方体的结构特征及平行公理推理得证. （2）连接分别交于点，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可. （3）根据题意可得,即有，由此结合面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）在正方体中，连接，由点分别为棱的中点， 得，由且，得四边形为平行四边形， 则，所以. （2）连接分别交于点，连接， 在正方体中，且， 则，即，同理， 因此，则，又平面，平面， 所以平面； （3）存在，，理由如下： 由，得，则，又， 于是，又平面，平面， 则平面，延长交于，延长交于，连接，      由为中点，得，因此， 由分别为的中点，得， 则，， 于是，又，即，则四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 所以当时，平面平面. 例2．（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析 【分析】（1）由线面平行判定定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点的三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 因为在棱上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 例3．（25-26高一下·辽宁抚顺·月考）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，E为PC中点，证明见解析 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可； （2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可； 【详解】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB．    【变式训练】 变式1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)上的中点即满足平面平面，理由见解析 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明； （2）上的中点即满足平面平面．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论． 【详解】（1）证明：连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 变式2．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 变式3．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，为的中点 【分析】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证. 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何初步：补全线面平行的条件、补全面面平行的条件复习讲义 立体几何初步：补全线面平行的条件、补全面面平行的条件复习讲义 考点目录 补全线面平行的条件 补全面面平行的条件 考点一 补全线面平行的条件 【知识点解析】 知识点 1. 线面平行判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行。 1. 核心要素：直线在平面外、平面内找平行线、两直线平行。 1. 常用依据：中位线定理、平行四边形性质、平行线传递性。 解题原理 利用空间直线平行的平面化转化，把线面平行转化为线线平行，补齐缺失的平行条件与位置条件即可证得结论。 解题思路 1. 观察已知线条和面的位置，确定待补的关键平行线； 1. 作辅助线，构造中位线或平行四边形； 1. 证明构造出的两直线平行； 1. 补齐“直线在平面外”这一条件，完成线面平行推导。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 例2．（25-26高一下·山东济南·期中）如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 例3．（24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 变式2．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 变式3．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 考点二 补全面面平行的条件 【知识点解析】 知识点 1. 面面平行判定：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行。 1. 核心要素：两条直线相交、都在同一平面内、各自平行于另一平面。 1. 关键易错：必须是两条相交直线，平行线无效。 解题原理 将面面平行转化为两组线面平行，通过补齐平面内相交直线的线面平行条件，推证两平面平行。 解题思路 1. 在其中一个平面内，找出或补作两条相交直线； 1. 分别证两条相交直线都平行于另一平面； 1. 补齐“两直线相交、共面”条件，即可推出面面平行。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高一下·辽宁抚顺·月考）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 变式2．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 变式3．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $