专项03 导数及其应用重难点-2026届高考数学考前高频考点专项训练（全国通用）

专项03 导数及其应用重难点 分析维度 具体内容 核心考点 1. 导数的概念与运算：导数定义（瞬时变化率）、基本导数公式（幂、指数、对数、三角函数）、导数四则运算法则、复合函数求导（“链式法则”）；2. 导数的几何意义：曲线在某点的切线方程、切点坐标求解、切线斜率与导数的关系；3. 导数与函数性质：利用导数判断单调性（单调区间求解）、求极值（极大值 / 极小值）、求最值（闭区间上的最值）；4. 导数的综合应用：函数零点个数讨论、恒成立 / 存在性问题（参数范围求解）、不等式证明（构造函数 + 导数判断单调性）、实际应用中的最值问题。 考查形式 1. 客观题（单选题 + 多选题）：5-10 分，多为第 8-12 题，考查导数运算、几何意义、单调区间 / 极值判断（中档题为主）；. 解答题：12-14 分，固定为第 20-21 题（压轴题区间），分 2-3 问，第一问基础（求导、单调区间、切线方程），第二 / 三问综合（零点讨论、恒成立、不等式证明）；3. 新高考特点：多选题增加导数与函数性质的辨析（如极值点个数、单调区间判断），解答题强化逻辑推理和分类讨论，偶尔结合不等式、数列等模块。 命题特点 1. 基础题（送分）：导数运算、切线方程求解、简单单调区间判断，难度低，侧重公式应用；>2. 中档题（核心得分）：利用导数求极值 / 最值、已知单调性求参数范围、单一零点区间判断，需掌握基本方法；>3. 难题（拉分）：多零点个数讨论、含参恒成立问题（双参数、隐零点）、导数与不等式证明（构造复杂函数）、实际应用中的优化问题，强调分类讨论、数形结合、转化与化归；. 趋势：命题聚焦 “导数工具性 + 逻辑严谨性”，减少纯运算题，增加对 “导数本质” 的考查（如瞬时变化率的理解），综合应用题型占比逐年提升。 重难点突破 1. 重点：① 导数运算：复合函数求导（如 y=ln (2x+1)、y=e^(x²)）、四则运算法则的熟练应用；② 几何意义：切线方程求解（过点切线需分 “点在曲线上” 和 “点在曲线外”）；函数性质：导数判断单调性、求极值 / 最值（闭区间需比较端点值与极值）；>2. 难点：① 含参函数的单调性讨论（分类标准：导数零点的大小关系、是否在定义域内）；② 零点个数讨论（利用单调性 + 极值符号判断，结合极限思想）；③ 恒成立问题（分离参数法失效时的分类讨论、隐零点代换）；④ 不等式证明（构造函数的技巧、放缩法与导数结合）。 关联模块 1. 直接关联：函数性质（单调性、极值、最值）、三角函数（导数运算载体）、指数对数函数（高频考查载体）、不等式（恒成立、证明）；2. 间接关联：解析几何（曲线切线问题）、数列（数列单调性与导数结合）、实际应用（优化问题，如成本最低、利润最大）。 备考策略 1. 基础过关：牢记核心公式：基本导数公式（如 (xⁿ)’=nxⁿ⁻¹、(lnx)’=1/x、(eˣ)’=eˣ）、复合函数求导法则（“外导乘内导”）；>② 规范解题步骤：求导→化简导数→分析导数符号→得出结论（单调区间、极值）；. 方法强化：① 分类讨论法：含参问题按 “导数零点是否存在、零点大小关系、零点是否在定义域内” 分类，避免重复或遗漏；② 数形结合法：画函数图像（结合导数判断的单调性、极值）辅助分析零点个数、不等式解集；>③ 构造函数法：不等式证明时，根据结论构造 “差函数”（如 f (x)=g (x)-h (x)，证明 f (x)≥0）；. 难点突破：① 隐零点问题：设导数的零点为 x₀，利用 f’(x₀)=0 建立关系式，代换化简目标表达式；② 多参数问题：固定一个参数，转化为单参数问题，或利用变量替换统一参数；实际应用：明确 “自变量→因变量→定义域”，建立函数模型后用导数求最值，验证实际意义；. 实战训练：多练含参综合题，规范分类讨论的逻辑，总结 “导数解答题答题模板”（如单调区间求解模板、零点讨论模板）。 易错点提醒 1. 导数运算错误：复合函数求导漏乘内导（如 y=sin (2x) 的导数误写为 cos (2x)，正确为 2cos (2x)）；对数函数求导忽略定义域（如 y=ln (x-1) 的导数误写为 1/x，正确为 1/(x-1)）；2. 切线方程误区：过点 P (x₀,y₀) 的切线，未判断 P 是否在曲线上，直接用 f’(x₀) 求斜率（点在曲线外需设切点）；>3. 极值判断错误：导数为 0 的点不一定是极值点（需验证左右导数符号是否变化）；混淆极值与最值（极值是局部概念，最值是全局概念）； 分类讨论遗漏：含参函数单调性讨论，未考虑参数 = 0、参数正负、导数零点是否在定义域内的情况；5. 恒成立问题：分离参数时忽略参数系数的正负（导致不等号方向错误）；未验证等号是否成立。 一、基础核心考点（送分题，必拿分） （一）导数的概念与运算（客观题高频，5 分稳拿） 1. 导数定义 1. 核心要点：瞬时变化率（函数在某点的瞬时变化快慢，是极限值）；导数的几何意义铺垫（曲线在该点的瞬时斜率）。 1. 考法：利用定义求简单函数在某点的导数（低频）、理解导数本质（单选题）。 1. 基本导数公式与四则运算法则 1. 核心要点： 基本公式（必记）： 幂函数导数：x 的 n 次方的导数等于 n 乘以 x 的（n-1）次方； 指数函数导数：e 的 x 次方的导数等于自身；a 的 x 次方的导数等于 a 的 x 次方乘以 ln a； 对数函数导数：ln x 的导数等于 1/x；log 以 a 为底 x 的导数等于 1/(x 乘以 ln a)； 三角函数导数：sin x 的导数等于 cos x；cos x 的导数等于 -sin x； 四则运算法则： 加减导数：两个函数相加 / 减的导数，等于各自导数相加 / 减； 乘法导数：两个函数相乘的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数； 除法导数：两个函数相除的导数，等于（分子导数乘分母 - 分子乘分母导数）除以分母的平方（分母不为 0）。 1. 考法：直接求导运算（单选题 / 填空题）、结合复合函数求导（中档题）。 1. 复合函数求导（“链式法则”） 1. 核心要点：外函数的导数乘内函数的导数（例如 y 是 g (x) 的函数，g (x) 是 x 的函数，则 y 对 x 的导数等于 y 对 g (x) 的导数乘 g (x) 对 x 的导数）；多层复合函数从外到内依次求导（例如 y=ln (sin x²)，先求 ln 的导数，再求 sin 的导数，最后求 x² 的导数，相乘即可）。 1. 考法：复合函数求导（客观题 / 解答题第一问）、含复合函数的切线方程求解（中档题）。 （二）导数的几何意义（客观题 + 解答题第一问，必考） 1. 核心要点：曲线 y=f (x) 在点（x0，f (x0)）处的切线斜率 k，等于函数在该点的导数 f’(x0)；切线方程为：y - f (x0) = f’(x0)(x - x0)。 1. 关键区分： 1. 点在曲线上：直接代入上述公式求切线方程； 1. 点在曲线外：设切点为（x1，f (x1)），列出切线方程 y - f (x1) = f’(x1)(x - x1)，将曲线外的点坐标代入方程，求解 x1，进而得到切线方程（可能存在多条切线）。 1. 考法：求切线方程（解答题第一问，5 分）、求切点坐标 / 切线斜率（单选题）、已知切线方程求参数（填空题）。 二、核心应用考点（中档题，核心得分区） （一）导数与函数性质（解答题核心，8-10 分） 1. 单调性与单调区间 1. 核心要点： 判定规则：函数定义域内，导数大于 0 时，函数在该区间单调递增；导数小于 0 时，函数在该区间单调递减； 解题步骤：第一步求函数导数，第二步化简导数（优先因式分解），第三步求导数等于 0 的点（导数零点），第四步用导数零点划分函数定义域，第五步判断每个区间内导数的正负，第六步得出函数的单调递增 / 递减区间； 含参处理：按导数零点是否存在、多个零点的大小关系、零点是否在函数定义域内进行分类讨论。 1. 考法：求单调区间（解答题第一问）、已知单调性求参数范围（客观题 / 解答题）。 1. 极值求解与判断 1. 核心要点： 极值点判定：导数等于 0，且该点左右两侧导数符号发生改变（即 “变号零点”），这样的点才是极值点； 解题步骤：第一步求函数导数，第二步找出导数零点，第三步验证每个零点左右两侧的导数符号，第四步判断极值类型（左侧正、右侧负为极大值点；左侧负、右侧正为极小值点），第五步将极值点代入原函数，求出极值大小。 1. 考法：求函数极值（解答题第一问）、判断极值点个数（多选题）、已知极值求参数（填空题）。 1. 闭区间上的最值 1. 核心要点： 解题步骤：第一步求函数导数，第二步找出函数在闭区间内的所有极值点，第三步计算每个极值点以及闭区间两个端点的函数值，第四步比较这些函数值的大小，最大的即为最大值，最小的即为最小值。 1. 考法：求闭区间最值（解答题第一问 / 客观题）、实际应用中的最值（解答题）。 （二）简单综合应用（中档题，客观题 + 解答题第二问） 1. 函数零点区间判断 1. 核心要点：结合函数单调性和极值符号判断（例如函数在区间 [a,b] 上单调递增，且 f (a) 小于 0、f (b) 大于 0，则函数在该区间有唯一零点）；辅助使用零点存在定理（连续函数在区间内两端点函数值异号，则区间内至少有一个零点）。 1. 考法：判断零点所在区间（单选题）、判断零点个数（多选题）。 1. 简单恒成立问题 1. 核心要点：采用分离参数法求解（例如 a 大于等于 f (x) 恒成立，等价于 a 大于等于 f (x) 的最大值；a 小于等于 f (x) 恒成立，等价于 a 小于等于 f (x) 的最小值）。 1. 考法：已知恒成立求参数范围（填空题 / 解答题第二问）。 三、高阶综合考点（难题，拉分区间） （一）含参综合问题（压轴题核心，10-12 分） 1. 含参函数的单调性 / 极值 / 最值讨论 1. 核心要点：分类讨论标准清晰（按参数的正负、导数零点的个数、多个零点的大小关系划分），避免重复讨论或遗漏情况；结合导数符号变化分析函数的走势。 1. 考法：解答题第二 / 三问，综合考查分类讨论与逻辑推理能力。 1. 多零点个数讨论 1. 核心要点： 解题步骤：第一步求函数导数，第二步分析函数的单调性和极值情况，第三步结合极限思想（例如 x 趋近于正无穷或负无穷时，函数值的变化趋势），第四步按极值的正负情况划分参数范围，第五步确定不同参数范围内函数的零点个数。 1. 考法：解答题第二 / 三问，压轴题高频考法。 1. 复杂恒成立 / 存在性问题 1. 核心要点： 隐零点代换：当导数的零点无法直接求解时，设该零点为 x0，利用 f’(x0)=0 建立关系式，将目标表达式中的复杂项用该关系式代换，进而化简求解； 双参数问题：固定其中一个参数，将问题转化为单参数问题，或通过变量替换将两个参数统一为一个参数，再进行分析。 1. 考法：解答题第三问，拉分关键。 （二）导数与不等式证明（压轴题，10-12 分） 1. 核心要点： 1. 构造函数法：构造差函数（例如要证明 f (x) 大于等于 g (x)，令 h (x)=f (x)-g (x)，只需证明 h (x) 的最小值大于等于 0）； 1. 放缩法：结合常见不等式（例如 e 的 x 次方大于等于 x+1、ln x 小于等于 x-1）辅助证明； 1. 利用函数单调性：证明构造的函数在定义域内单调递增（或递减），且函数在定义域起点（或终点）的函数值大于等于 0（或小于等于 0）。 1. 考法：解答题第三问，压轴题高频考法，强调构造技巧与逻辑推导能力。 （三）实际应用中的优化问题（中档 - 难题，8-12 分） 1. 核心要点： 1. 解题步骤：第一步仔细审题，明确问题中的自变量和因变量，第二步建立函数解析式，第三步确定函数的定义域（结合实际问题意义），第四步求导并找出函数的极值点，第五步求函数的最值，第六步验证最值的实际意义（确保符合题意）。 1. 常见模型：利润最大、成本最低、产量最优、距离最短、面积最大等实际场景问题。 1. 考法：解答题第二问，偶尔考查，侧重建模能力和应用能力。 四、高考考法总结 1. 客观题（5-10 分）：聚焦基础考点（导数运算、几何意义、单调区间 / 极值判断）和简单综合（零点区间、简单恒成立），难度低 - 中档； 1. 解答题（12-14 分）：分层次命题，第一问基础（求导、单调区间、切线方程），第二 / 三问综合（含参讨论、零点个数、不等式证明），难度中档 - 难题； 1. 新高考趋势：多选题强化性质辨析（如极值点个数、单调区间判断），解答题弱化纯运算、强化逻辑推理和分类讨论，综合应用题型占比提升。 一、单选题 1．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．2 C．1 D． 4．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C． D．3 5．（2026·山东济南·三模）已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江·三模）如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 7．（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 8．（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河南开封·模拟预测）若，则（    ） A．1 B．-1 C．6078 D．-6078 11．（2026·北京丰台·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（　　） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．的最大值为 D．在区间上单调递增 12．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 13．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 14．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，，（点在直线下方），过点作直线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·重庆·三模）已知函数若，且不是的极值，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为2 B．的图象关于直线对称 C．在区间上恰有2个极值点 D．把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 17．（2026·河南·二模）将函数图象向左平移个单位长度后得到一偶函数图象，则当取最小值时，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．函数在区间单调递增 D．函数的图象在处的切线斜率为1 18．（2026·河南开封·模拟预测）(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 19．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数有三个零点 B． C．曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D．若方程有三个不同的实数根，，，则 20．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．的极大值点是 C．的值域为 D．当时，函数有个零点 三、填空题 21．（2026·河南周口·三模）若函数有且仅有2个零点，则______. 22．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 23．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 四、解答题 24．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 25．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 26．（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 27．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 28．（2026·江苏南通·三模）在中，内角所对的边分别为， (1)证明：； (2)记，设函数，讨论的单调性，并判断当时，的零点个数； (3)若角，边，求周长最大值. 29．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数 (1)设，分别讨论函数与在上的单调性； (2)证明：当时，. 30．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 (1)讨论函数 的单调性； (2)若函数 有两个不同的零点 为 的导函数，试证明: . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 导数及其应用重难点 分析维度 具体内容 核心考点 1. 导数的概念与运算：导数定义（瞬时变化率）、基本导数公式（幂、指数、对数、三角函数）、导数四则运算法则、复合函数求导（“链式法则”）；2. 导数的几何意义：曲线在某点的切线方程、切点坐标求解、切线斜率与导数的关系；3. 导数与函数性质：利用导数判断单调性（单调区间求解）、求极值（极大值 / 极小值）、求最值（闭区间上的最值）；4. 导数的综合应用：函数零点个数讨论、恒成立 / 存在性问题（参数范围求解）、不等式证明（构造函数 + 导数判断单调性）、实际应用中的最值问题。 考查形式 1. 客观题（单选题 + 多选题）：5-10 分，多为第 8-12 题，考查导数运算、几何意义、单调区间 / 极值判断（中档题为主）；. 解答题：12-14 分，固定为第 20-21 题（压轴题区间），分 2-3 问，第一问基础（求导、单调区间、切线方程），第二 / 三问综合（零点讨论、恒成立、不等式证明）；3. 新高考特点：多选题增加导数与函数性质的辨析（如极值点个数、单调区间判断），解答题强化逻辑推理和分类讨论，偶尔结合不等式、数列等模块。 命题特点 1. 基础题（送分）：导数运算、切线方程求解、简单单调区间判断，难度低，侧重公式应用；>2. 中档题（核心得分）：利用导数求极值 / 最值、已知单调性求参数范围、单一零点区间判断，需掌握基本方法；>3. 难题（拉分）：多零点个数讨论、含参恒成立问题（双参数、隐零点）、导数与不等式证明（构造复杂函数）、实际应用中的优化问题，强调分类讨论、数形结合、转化与化归；. 趋势：命题聚焦 “导数工具性 + 逻辑严谨性”，减少纯运算题，增加对 “导数本质” 的考查（如瞬时变化率的理解），综合应用题型占比逐年提升。 重难点突破 1. 重点：① 导数运算：复合函数求导（如 y=ln (2x+1)、y=e^(x²)）、四则运算法则的熟练应用；② 几何意义：切线方程求解（过点切线需分 “点在曲线上” 和 “点在曲线外”）；函数性质：导数判断单调性、求极值 / 最值（闭区间需比较端点值与极值）；>2. 难点：① 含参函数的单调性讨论（分类标准：导数零点的大小关系、是否在定义域内）；② 零点个数讨论（利用单调性 + 极值符号判断，结合极限思想）；③ 恒成立问题（分离参数法失效时的分类讨论、隐零点代换）；④ 不等式证明（构造函数的技巧、放缩法与导数结合）。 关联模块 1. 直接关联：函数性质（单调性、极值、最值）、三角函数（导数运算载体）、指数对数函数（高频考查载体）、不等式（恒成立、证明）；2. 间接关联：解析几何（曲线切线问题）、数列（数列单调性与导数结合）、实际应用（优化问题，如成本最低、利润最大）。 备考策略 1. 基础过关：牢记核心公式：基本导数公式（如 (xⁿ)’=nxⁿ⁻¹、(lnx)’=1/x、(eˣ)’=eˣ）、复合函数求导法则（“外导乘内导”）；>② 规范解题步骤：求导→化简导数→分析导数符号→得出结论（单调区间、极值）；. 方法强化：① 分类讨论法：含参问题按 “导数零点是否存在、零点大小关系、零点是否在定义域内” 分类，避免重复或遗漏；② 数形结合法：画函数图像（结合导数判断的单调性、极值）辅助分析零点个数、不等式解集；>③ 构造函数法：不等式证明时，根据结论构造 “差函数”（如 f (x)=g (x)-h (x)，证明 f (x)≥0）；. 难点突破：① 隐零点问题：设导数的零点为 x₀，利用 f’(x₀)=0 建立关系式，代换化简目标表达式；② 多参数问题：固定一个参数，转化为单参数问题，或利用变量替换统一参数；实际应用：明确 “自变量→因变量→定义域”，建立函数模型后用导数求最值，验证实际意义；. 实战训练：多练含参综合题，规范分类讨论的逻辑，总结 “导数解答题答题模板”（如单调区间求解模板、零点讨论模板）。 易错点提醒 1. 导数运算错误：复合函数求导漏乘内导（如 y=sin (2x) 的导数误写为 cos (2x)，正确为 2cos (2x)）；对数函数求导忽略定义域（如 y=ln (x-1) 的导数误写为 1/x，正确为 1/(x-1)）；2. 切线方程误区：过点 P (x₀,y₀) 的切线，未判断 P 是否在曲线上，直接用 f’(x₀) 求斜率（点在曲线外需设切点）；>3. 极值判断错误：导数为 0 的点不一定是极值点（需验证左右导数符号是否变化）；混淆极值与最值（极值是局部概念，最值是全局概念）； 分类讨论遗漏：含参函数单调性讨论，未考虑参数 = 0、参数正负、导数零点是否在定义域内的情况；5. 恒成立问题：分离参数时忽略参数系数的正负（导致不等号方向错误）；未验证等号是否成立。 一、基础核心考点（送分题，必拿分） （一）导数的概念与运算（客观题高频，5 分稳拿） 1. 导数定义 1. 核心要点：瞬时变化率（函数在某点的瞬时变化快慢，是极限值）；导数的几何意义铺垫（曲线在该点的瞬时斜率）。 1. 考法：利用定义求简单函数在某点的导数（低频）、理解导数本质（单选题）。 1. 基本导数公式与四则运算法则 1. 核心要点： 基本公式（必记）： 幂函数导数：x 的 n 次方的导数等于 n 乘以 x 的（n-1）次方； 指数函数导数：e 的 x 次方的导数等于自身；a 的 x 次方的导数等于 a 的 x 次方乘以 ln a； 对数函数导数：ln x 的导数等于 1/x；log 以 a 为底 x 的导数等于 1/(x 乘以 ln a)； 三角函数导数：sin x 的导数等于 cos x；cos x 的导数等于 -sin x； 四则运算法则： 加减导数：两个函数相加 / 减的导数，等于各自导数相加 / 减； 乘法导数：两个函数相乘的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数； 除法导数：两个函数相除的导数，等于（分子导数乘分母 - 分子乘分母导数）除以分母的平方（分母不为 0）。 1. 考法：直接求导运算（单选题 / 填空题）、结合复合函数求导（中档题）。 1. 复合函数求导（“链式法则”） 1. 核心要点：外函数的导数乘内函数的导数（例如 y 是 g (x) 的函数，g (x) 是 x 的函数，则 y 对 x 的导数等于 y 对 g (x) 的导数乘 g (x) 对 x 的导数）；多层复合函数从外到内依次求导（例如 y=ln (sin x²)，先求 ln 的导数，再求 sin 的导数，最后求 x² 的导数，相乘即可）。 1. 考法：复合函数求导（客观题 / 解答题第一问）、含复合函数的切线方程求解（中档题）。 （二）导数的几何意义（客观题 + 解答题第一问，必考） 1. 核心要点：曲线 y=f (x) 在点（x0，f (x0)）处的切线斜率 k，等于函数在该点的导数 f’(x0)；切线方程为：y - f (x0) = f’(x0)(x - x0)。 1. 关键区分： 1. 点在曲线上：直接代入上述公式求切线方程； 1. 点在曲线外：设切点为（x1，f (x1)），列出切线方程 y - f (x1) = f’(x1)(x - x1)，将曲线外的点坐标代入方程，求解 x1，进而得到切线方程（可能存在多条切线）。 1. 考法：求切线方程（解答题第一问，5 分）、求切点坐标 / 切线斜率（单选题）、已知切线方程求参数（填空题）。 二、核心应用考点（中档题，核心得分区） （一）导数与函数性质（解答题核心，8-10 分） 1. 单调性与单调区间 1. 核心要点： 判定规则：函数定义域内，导数大于 0 时，函数在该区间单调递增；导数小于 0 时，函数在该区间单调递减； 解题步骤：第一步求函数导数，第二步化简导数（优先因式分解），第三步求导数等于 0 的点（导数零点），第四步用导数零点划分函数定义域，第五步判断每个区间内导数的正负，第六步得出函数的单调递增 / 递减区间； 含参处理：按导数零点是否存在、多个零点的大小关系、零点是否在函数定义域内进行分类讨论。 1. 考法：求单调区间（解答题第一问）、已知单调性求参数范围（客观题 / 解答题）。 1. 极值求解与判断 1. 核心要点： 极值点判定：导数等于 0，且该点左右两侧导数符号发生改变（即 “变号零点”），这样的点才是极值点； 解题步骤：第一步求函数导数，第二步找出导数零点，第三步验证每个零点左右两侧的导数符号，第四步判断极值类型（左侧正、右侧负为极大值点；左侧负、右侧正为极小值点），第五步将极值点代入原函数，求出极值大小。 1. 考法：求函数极值（解答题第一问）、判断极值点个数（多选题）、已知极值求参数（填空题）。 1. 闭区间上的最值 1. 核心要点： 解题步骤：第一步求函数导数，第二步找出函数在闭区间内的所有极值点，第三步计算每个极值点以及闭区间两个端点的函数值，第四步比较这些函数值的大小，最大的即为最大值，最小的即为最小值。 1. 考法：求闭区间最值（解答题第一问 / 客观题）、实际应用中的最值（解答题）。 （二）简单综合应用（中档题，客观题 + 解答题第二问） 1. 函数零点区间判断 1. 核心要点：结合函数单调性和极值符号判断（例如函数在区间 [a,b] 上单调递增，且 f (a) 小于 0、f (b) 大于 0，则函数在该区间有唯一零点）；辅助使用零点存在定理（连续函数在区间内两端点函数值异号，则区间内至少有一个零点）。 1. 考法：判断零点所在区间（单选题）、判断零点个数（多选题）。 1. 简单恒成立问题 1. 核心要点：采用分离参数法求解（例如 a 大于等于 f (x) 恒成立，等价于 a 大于等于 f (x) 的最大值；a 小于等于 f (x) 恒成立，等价于 a 小于等于 f (x) 的最小值）。 1. 考法：已知恒成立求参数范围（填空题 / 解答题第二问）。 三、高阶综合考点（难题，拉分区间） （一）含参综合问题（压轴题核心，10-12 分） 1. 含参函数的单调性 / 极值 / 最值讨论 1. 核心要点：分类讨论标准清晰（按参数的正负、导数零点的个数、多个零点的大小关系划分），避免重复讨论或遗漏情况；结合导数符号变化分析函数的走势。 1. 考法：解答题第二 / 三问，综合考查分类讨论与逻辑推理能力。 1. 多零点个数讨论 1. 核心要点： 解题步骤：第一步求函数导数，第二步分析函数的单调性和极值情况，第三步结合极限思想（例如 x 趋近于正无穷或负无穷时，函数值的变化趋势），第四步按极值的正负情况划分参数范围，第五步确定不同参数范围内函数的零点个数。 1. 考法：解答题第二 / 三问，压轴题高频考法。 1. 复杂恒成立 / 存在性问题 1. 核心要点： 隐零点代换：当导数的零点无法直接求解时，设该零点为 x0，利用 f’(x0)=0 建立关系式，将目标表达式中的复杂项用该关系式代换，进而化简求解； 双参数问题：固定其中一个参数，将问题转化为单参数问题，或通过变量替换将两个参数统一为一个参数，再进行分析。 1. 考法：解答题第三问，拉分关键。 （二）导数与不等式证明（压轴题，10-12 分） 1. 核心要点： 1. 构造函数法：构造差函数（例如要证明 f (x) 大于等于 g (x)，令 h (x)=f (x)-g (x)，只需证明 h (x) 的最小值大于等于 0）； 1. 放缩法：结合常见不等式（例如 e 的 x 次方大于等于 x+1、ln x 小于等于 x-1）辅助证明； 1. 利用函数单调性：证明构造的函数在定义域内单调递增（或递减），且函数在定义域起点（或终点）的函数值大于等于 0（或小于等于 0）。 1. 考法：解答题第三问，压轴题高频考法，强调构造技巧与逻辑推导能力。 （三）实际应用中的优化问题（中档 - 难题，8-12 分） 1. 核心要点： 1. 解题步骤：第一步仔细审题，明确问题中的自变量和因变量，第二步建立函数解析式，第三步确定函数的定义域（结合实际问题意义），第四步求导并找出函数的极值点，第五步求函数的最值，第六步验证最值的实际意义（确保符合题意）。 1. 常见模型：利润最大、成本最低、产量最优、距离最短、面积最大等实际场景问题。 1. 考法：解答题第二问，偶尔考查，侧重建模能力和应用能力。 四、高考考法总结 1. 客观题（5-10 分）：聚焦基础考点（导数运算、几何意义、单调区间 / 极值判断）和简单综合（零点区间、简单恒成立），难度低 - 中档； 1. 解答题（12-14 分）：分层次命题，第一问基础（求导、单调区间、切线方程），第二 / 三问综合（含参讨论、零点个数、不等式证明），难度中档 - 难题； 1. 新高考趋势：多选题强化性质辨析（如极值点个数、单调区间判断），解答题弱化纯运算、强化逻辑推理和分类讨论，综合应用题型占比提升。 一、单选题 1．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可 【详解】当时，， 因为为偶函数，所以，当时两边求导得， 所以，， 所以的图象在处的切线方程为，即 2．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 3．（2026·河北邯郸·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】法一：根据对称性，有，代入计算即可得；法二：借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，利用正弦型函数性质计算即可得；法三：根据三角函数在对称轴处取极值，求导后代入计算即可得. 【详解】法一：根据对称性，有， 即，解得. 法二：，其中， 由题意，为函数的最值，所以， 即，即， 两边平方得，解得. 法三：根据三角函数在对称轴处取极值， 由， 则，解得. 4．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据极值的概念可知，再解方程即可． 【详解】解：，又在处取得极值， ，解得或， 经检验符合题意， 时，单调递增无极值，故舍去， 则． 5．（2026·山东济南·三模）已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的值域可得，令，，利用导数判断的单调性，利用单调性解不等式. 【详解】因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 又因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 由题意可知：，即， 令，，则， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为. 6．（2026·浙江·三模）如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，的标准方程，再用，表示出，，代入后，利用函数的单调性求出最大值. 【详解】设双曲线的标准方程为，，则双曲线的标准方程为，， 所以，， 所以， 设，则， 设，则， 令，解得，又因为，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当，函数有最大值， 所以的最大值为. 7．（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 8．（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 9．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过将函数单调递增转化为恒成立问题，从而分离参数，构造新函数求最值即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在恒成立，即， 令，所以只需即可. 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为，即， 所以实数的取值范围是. 10．（2026·河南开封·模拟预测）若，则（    ） A．1 B．-1 C．6078 D．-6078 【答案】D 【分析】先求导，再令即可求解. 【详解】由， 两边同时求导得， 令，则. 11．（2026·北京丰台·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（　　） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．的最大值为 D．在区间上单调递增 【答案】B 【分析】利用周期的定义可判断A，利用特例可判断B，利用导数可求单调性和最值，进而判断C,D. 【详解】对于A，因为，所以的周期为，A正确； 对于B，因为，，所以的图象不关于对称，B错误； 对于C，， 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取到最大值，此时（负值舍去），，所以的最大值为，C正确； 对于D，由C可知，时，，此时，所以函数在上单调递增，D正确. 12．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性判断A，构造且，导数研究其单调性得到大小关系判断B，应用不等式的性质判断C，由余弦、正切函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，则，故，A为假命题， 令且，则，故在上单调递增， 由，则，B为真命题， 由，则，故，即，C为假命题， 若，反例：如，则，D为假命题. 13．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，再利用对称性求得答案. 【详解】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称， 因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称， 其斜率互为相反数，当时，，求导得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 14．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，，（点在直线下方），过点作直线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象可得当抛物线过点的切线与直线平行时，最大．根据导数的几何意义求出切点坐标，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由，，得，直线的方程为，即. 结合二次函数图像可知，当抛物线过点的切线与直线平行时，最大． 已知，则，令，则. 又，故切点坐标，此时. 即的最大值为. 15．（2026·重庆·三模）已知函数若，且不是的极值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由题意且为导函数（二次函数）的唯一零点 所以，联立解得，则. 二、多选题 16．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为2 B．的图象关于直线对称 C．在区间上恰有2个极值点 D．把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【答案】AB 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质，结合极值点的意义、图象变形逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的最大值为2，A正确； 对于B，由，得的图象关于直线对称，B正确； 对于C，当时，，则在上恰有1个极值点，C错误； 对于D，所得函数为，D错误. 17．（2026·河南·二模）将函数图象向左平移个单位长度后得到一偶函数图象，则当取最小值时，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．函数在区间单调递增 D．函数的图象在处的切线斜率为1 【答案】ACD 【分析】由平移可得，结合奇偶性可得，，则最小值为2，，再逐项判断即可． 【详解】由题意将函数向左平移个单位得到的函数解析式为 ，若其为偶函数， 则，，解得，， 又因为，所以最小值为2，． 函数的最小正周期为，故A正确； 函数为非奇非偶函数，故B错误； ，又在上单调递增， 所以函数在区间单调递增，故C正确； ， 所以函数在图象处的切线斜率为1，故D正确． 18．（2026·河南开封·模拟预测）(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 【答案】ABC 【分析】函数求导后根据极值点判定条件和单调性判定条件逐一分析选项即可 【详解】选项A，令，即，因为，所以，解得，所以的零点只有，A正确； 选项B，， 则，在上单调递增(因为)， 且，，所以在上先减后增. 当，；时，；时，；时，， 由零点存在定理，在有一个零点，在有一个零点，因此有两个极值点，B正确； 选项C，由B选项分析可知，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，即在处取得极小值，C正确； 选项D，由选项C分析可知，在区间先增后减，D错误. 19．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数有三个零点 B． C．曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D．若方程有三个不同的实数根，，，则 【答案】BCD 【分析】求导，根据导数得函数单调性，根据零点的存在性定理判断A；根据对称性质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D. 【详解】由，得， 令，得，令，得或， 所以在区间单调递减，在区间，单调递增. 对于A，因为，，， 所以在区间内存在1个零点，故在上有2个零点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点中心对称， 令，得， 又，所以，故B正确； 对于C，依题意，即， 所以，因为，所以.故C正确； 对于D，设， 所以，所以为定值，故D正确. 20．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．的极大值点是 C．的值域为 D．当时，函数有个零点 【答案】AD 【分析】已知是定义域为的奇函数，由时，利用奇函数性质推出时，判定A正确，对与分别求导得极值点为和，不是，故B错误，分析两段区间函数取值范围得值域为，不是全体实数，故C错误，结合函数值域与单调性，当时方程仅有一个解，对应函数有1个零点，故D正确，综上正确选项为AD. 【详解】选项A：当时，，代入解析式得. 由奇函数性质，得，故A正确. 选项B：时，，求导得. 令，得，时，时，故是的极大值点，无极大值点，故B错误. 选项C： 时， ，求导得 . 令，得 ， 时 ， 时 ， 故 是 时的极小值点. 所以时，在处取极大值，时，时，值域为. 时，在处取极小值，时，时，值域为 由奇函数性质，综上值域为，不是，故C错误. 选项D：函数的零点即的解. 当时，时，无解. 时，无零点. 时值域为，且仅有1个解. 故方程仅有1个解，D正确. 三、填空题 21．（2026·河南周口·三模）若函数有且仅有2个零点，则______. 【答案】3 【分析】参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和图象，结合函数图象分析求解. 【详解】因为，则，可知0不为的零点， 令，且，可得， 令，，可知与有且仅有2个交点， 因为， 当时，，可知在内单调递增， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 当趋近于0或时，趋近于； 综上所述：可得的图象，如图所示： 若与有且仅有2个交点，则. 22．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 【答案】①②④ 【分析】令，利用奇偶性的定义与图象的平移可判断①；令，因式分解可判断②；利用作差法比较数的大小可判断③，利用导数的意义与根的存在性定理可得，，，结合②，可得，同理判断，可判断④. 【详解】因为，所以令， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以关于原点对称， 又的图象向下平移个单位得到的图象， 所以曲线的图象关于点成中心对称图形；故①正确； 令 ，当时，， 所以当时，曲线在曲线的上方，故②正确； 因为， 所以 ， ， 所以 ， 当时，，此时，故③错误； 因为， 所以在上单调递增，又， 所以只有唯一零点，且，同理可得， 当时，，且，， 所以函数有唯一零点，且， 由②知当时，曲线在曲线的上方，故， 当时，令 ， 即曲线在曲线的下方，故， 所以，故④正确. 23．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 四、解答题 24．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数求单调区间即可； （2）易知时不符合题意，时，利用导数结合隐零点问题求解． 【详解】（1）当时，，． 由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，，不满足题意． 所以，此时 ，显然是上的增函数， 且时，时， 所以存在唯一正实数使得，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增． 由题意 ． 将 代入上式整理得：，解得：． 此时，代入后． 化简得： ，解得：． 令 ，其中．则， 所以是区间上的增函数． 所以 ，代入得到a的取值范围是． 25．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)，切点坐标为 (3)的取值范围 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； （2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标； （3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 26．（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，则， 故， 即，解得， 故原不等式的解集为. （2）因， 由，可得为奇函数. 又，因，，则 故在上单调递增. 故存在使得等价于存在使得， 等价于存在使得， 即存在使得， 因，， 则当时，取得最小值，故得. 故实数的取值范围是. 27．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可求得答案； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数满足条件①以及的范围可得出的值，再根据函数满足条件②可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 28．（2026·江苏南通·三模）在中，内角所对的边分别为， (1)证明：； (2)记，设函数，讨论的单调性，并判断当时，的零点个数； (3)若角，边，求周长最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在上单调递增，当时，的减区间为，增区间为； (3) 【分析】（1）利用二倍角公式及和差化积公式，即可求解； （2）利用导数与函数单调性间的关系，分和两种情况讨论，即可求解；再利用函数的单调性，求出的最小值，即可求解； （3）根据条件，利用正弦定理得，再利用正弦的和角公式及辅助角公式，即可求解. 【详解】（1） . （2）因为，则，又的定义域为，， 当时，恒成立，此时在上单调递增， 当时，令，得到，解得，又是增函数， 当时，，当时，， 此时的减区间为，增区间为， 综上，当时，在上单调递增， 当时，的减区间为，增区间为. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故的零点个数为. （3）因为，且，，所以， 又，所以， 则 ，其中， 不妨取，又，所以， 则，当且仅当时，， 所以周长最大值为. 29．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数 (1)设，分别讨论函数与在上的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数计算即可； （2）分，两种情况，利用结合函数单调性计算即可证明. 【详解】（1）由题意得， 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以， ①当时，，由（1）知在上单调递增， 所以，因为，所以， 所以； ②当时，令， 则，， 由（1）知在上单调递增， 所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时，. 综上，当时，. 30．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 (1)讨论函数 的单调性； (2)若函数 有两个不同的零点 为 的导函数，试证明: . 【答案】(1)当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析. 【分析】（1）求导得，再分和讨论即可； （2）首先求解得，再比值换元转化为证明时，成立，最后设新函数，求导即可证明. 【详解】（1）， 当时，在时，在上单调递减； 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上：当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，若函数有两个不等实根， 则，又当时，知， 要使函数有两个不等实根， 则，故． 不妨设，由可得， 故要证明， 即证明， 即证明 ，结合 ， 可得只需证明 ， 令，两边同除以得， 再同除以得，移项即证． 所以转化为证明当时，成立． 令，，， 对于，对应二次方程的， 所以当时，，故， 所以函数在上单调递减，故， 即，故不等式得证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $