第4单元长方体（二）应用题（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦长方体（二）核心应用，通过18道分层题构建“概念-方法-应用”逻辑链，提炼排水法、体积不变等8类解题模型，强化空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|第1-3题|表面积体积公式直接应用|从棱长关系推导公式| |排水法与体积转换|第2/7/8/9题|排水法/熔铸体积不变原理|从静态体积到动态转换| |组合体与拼接|第5/6/13题|组合体体积加减/拼接表面积变化|从单一形体到组合结构| |实际问题综合|第4/10/11/12/14-18题|单位换算/净含量辨析/空间优化|从数学模型到生活实践|

第4单元长方体（二）应用题专练-2025-2026学年数学五年级下册北师大版 1．如图是一个长方体纸箱的展开图。 (1)求出这个长方体纸箱的表面积。 (2)求出这个长方体纸箱的体积。 2．一个棱长为2分米的正方体容器中装有一些水，放入一块石头后（石头完全浸没在水中），水面上升了0.6分米，这块石头的体积是多少立方分米？ 3．一个长方体沙坑，长8米，宽2.5米，深0.8米，填满沙坑需要多少沙子？ 4．小明爸爸准备开车带一家人去自驾游。爸爸汽车的油箱长50厘米、宽40厘米、高30厘米。如果每行驶17千米耗1升汽油，这辆汽车最多行驶多少千米就能耗光油箱中的汽油？ 5．公园的凉亭里有一张石桌，如下图所示，这张石桌的体积是多少立方分米？ 6．用三个棱长为3厘米的正方体粘接成一个长方体，求出长方体的表面积和体积各是多少？ 7．海夜叉是动画电影《哪吒》系列中的重要角色，他机智又狡猾。在一次大战中，海夜叉躲进一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体中，水面上升了2分米。被哪吒发现后，又化为水的形态，躲进一个底面积是16平方分米的空正方体中，此时化作水形态的海夜叉有多高？ 8．有一个棱长是12厘米的正方体铁块，要把它熔化后做成长方体，已知长方体的长18厘米，宽6厘米，高是多少厘米？ 9．一个正方体容器，从里面量，棱长是50厘米，其中水深30厘米。另有一个长、宽、高分别为35厘米、20厘米、20厘米的长方体铁块。 ①把铁块横着放入水中，被完全淹没，此时水位将升高多少分米？ ②把铁块竖着放入水中，此时铁块有一部分露在水外，这时的水深是多少？ 10．爸爸的生日就要到了，天天买了爸爸最喜欢的茶叶作为生日礼物。他把茶叶放进一个如图所示的长方体礼盒里，并用彩带捆扎这个礼盒。 （1）这个礼盒的体积是多少立方厘米？ （2）捆扎这个礼盒时打结处用了12厘米彩带，捆扎这个礼盒至少需要准备多少厘米长的彩带？ 11．一种饮料采用长方体的纸盒密封包装，盒子上注明了它的净含量是180毫升。小明从外面量得盒子长6厘米，宽3厘米，高10厘米。请分析这盒饮料的净含量是否存在虚假。 12．有一个长方体容器（图1），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图2），里面的水深应该是多少？ 13．将如图中的铁皮折弯后焊接成一个无盖的长方体铁桶，这个铁桶最多可以装多少升水？（铁皮厚度不计） 14．笑笑家有一个收纳盒（如图1），她想把家里散落的小包纸巾（如图2）分别放入收纳盒中（纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压）。这个收纳盒中最多可以放置多少包纸巾？（单位：厘米） 15．如图，小杰用铁皮做一个长45厘米，宽20厘米，高50厘米的无盖长方体容器。 （1）做这个容器至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）如果向这个容器中注入27升水，水的高度是多少厘米？ 16．乌鸦受伤了，飞不高，它想喝水，于是来到一个正方体的水槽边，里面装了一些水（如图），乌鸦只能够到水槽最上沿，在水槽的旁边有大小不一的三块石头。你能选择其中的两块石头，帮助乌鸦喝到水吗？请用计算解释你的做法。 做法： 计算过程： 17．欢欢和乐乐用棱长为1厘米的小正方体木块玩游戏，如图。假设他们这样一直层层重叠的摆下去，当重叠到五层时，有多少个小正方体？此时这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 18．2018年国之重器——“天鲲号”首次试航成功。这是第一艘由我国自主研发建造的亚洲最大的自航绞吸挖泥船，一小时可以挖泥6000立方米。 （1）2小时、5小时、10小时、40小时的挖泥量分别是多少呢？请填写表格。 时间（小时） 1 2 5 10 40 挖泥量（立方米） 6000 （2）有这么一种说法：“天鲲号”一周的挖泥量可填满整座水立方。你认为这种说法可信吗？请用数学知识说明理由。（水立方容积约为90万立方米） 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第4单元长方体（二）应用题专练-2025-2026学年数学五年级下册北师大版》参考答案 1．(1)520平方分米 (2)700立方分米 【分析】（1）长方体6个面的总面积叫做它的表面积。这个长方体的长是10分米，宽是14分米，高是5分米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算即可。 （2）根据长方体的体积＝长×宽×高计算即可。 【详解】（1）（10×14＋10×5＋14×5）×2 ＝（140＋50＋70）×2 ＝260×2 ＝520（平方分米） 答：这个长方体纸箱的表面积是520平方分米。 （2）10×14×5＝700（立方分米） 答：这个长方体的体积是700立方分米。 2．2.4立方分米 【分析】水面上升的体积就是这块石头的体积，根据长方体体积公式，容器底面积×水面上升的高度＝石头的体积，据此列式解答。 【详解】（立方分米） 答：这块石头的体积是2.4立方分米。 3．16立方米 【分析】要求填满沙坑所需沙子的量，就是求这个长方体沙坑的容积，其计算方法与体积相同。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可解答。 【详解】8×2.5×0.8＝16（立方米） 答：填满沙坑需要16立方米沙子。 4．1020千米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出油箱容积，根据1立方分米＝1升，1立方分米＝1000立方厘米，统一单位，油箱容积×1升汽油行驶路程＝行驶总路程，据此列式解答。 【详解】50×40×30＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60立方分米＝60升 60×17＝1020（千米） 答：这辆汽车最多行驶1020千米就能耗光油箱中的汽油。 5．180立方分米 【分析】石桌由上下两个长方体组成，体积＝上面长方体体积＋下面长方体体积。分别计算两个长方体体积再相加。依据长方体体积公式V＝a×b×c（a，b，c为长、宽、高），据此解答。 【详解】上面长方体体积： 5×6×2 ＝30×2 ＝60（立方分米） 下面长方体体积： 5×4×6 ＝20×6 ＝120（立方分米） 总体积：60＋120＝180（立方分米） 答：这张石桌的体积是180立方分米。 6．表面积：126平方厘米；体积：81立方厘米 【分析】用三个棱长为3厘米的正方体粘接成一个长方体，只能按照一字排列的方式拼接。此时长方体的长是正方体棱长的3倍，宽和高与正方体的棱长相等。所以长方体的长为3×3＝9厘米，宽b＝3厘米，高c＝3厘米。 根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高）。把a＝9厘米，b＝3厘米，h＝3厘米代入公式即可计算出粘接后的表面积。 长方体体积公式为V＝abh（a为长，b为宽，h为高），把a＝9厘米，b＝3厘米，h＝3厘米代入公式即可求得粘接后长方体的体积。 【详解】用三个棱长为3厘米的正方体粘接成一个长方体，只能按照一字排列的方式拼接。 长：3×3＝9（厘米） 表面积：（9×3＋9×3＋3×3）×2 ＝（27＋27＋9）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 体积：9×3×3＝81（立方厘米） 答：长方体的表面积是126平方厘米，体积是81立方厘米。 7．3分米 【分析】水面上升的体积就是海夜叉的体积，长方体的长×宽×水面上升的高度＝海夜叉的体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出化作水形态的海夜叉高。 【详解】6×4×2÷16 ＝48÷16 ＝3（分米） 答：化作水形态的海夜叉有3分米高。 8．16厘米 【分析】正方体铁块熔铸成长方体后体积不变，即正方体的体积等于长方体的体积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，先算出正方体的体积，再根据长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算，就能得到长方体的高。 【详解】12×12×12＝1728（立方厘米） 1728÷18÷6＝16（厘米） 答：高是16厘米。 9．①0.56分米 ②厘米 【分析】①铁块的体积就是水位上升的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁块体积，铁块体积÷容器底面积＝水位上升的高度，根据1分米＝10厘米，统一单位； ②设这时的水深是x厘米，则水面上升了（x－30）厘米，根据容器底面积×水面上升的高度＝竖放时铁块底面积×水深，列出方程解答即可。 【详解】①35×20×20÷（50×50） ＝14000÷2500 ＝5.6（厘米） 5.6厘米＝0.56分米 答：此时水位将升高0.56分米。 ②解：设这时的水深是x厘米。 50×50×（x－30）＝20×20×x 2500×（x－30）＝400x 2500x－75000＝400x 2500x－75000＋75000－400x ＝400x＋75000－400x 2100x＝75000 2100x÷2100＝75000÷2100 x＝ x＝ 答：这时的水深是厘米。 10．（1）576立方厘米； （2）76厘米 【分析】（1）根据长方体的体积＝长×宽×高，将数据代入计算即可； （2）根据捆扎的图片，即用高×4＋长×2＋宽×2，最后要加上打结处。 【详解】（1）12×8×6＝576（立方厘米） 答：这个礼盒的体积是576立方厘米。 （2）6×4＋12×2＋8×2 ＝24＋24＋16 ＝64（厘米） 64＋12＝76（厘米） 答：捆扎这个礼盒至少需要准备76厘米长的彩带。 11．存在虚假 【分析】已知饮料的长方体包装盒从外面量得长6厘米，宽3厘米，高10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个包装盒的体积； 因为物体的体积大于容积，用包装盒的体积与净含量进行比较，如果包装盒的体积小于或等于净含量，那么净含量就存在虚假；反之，就不存在虚假。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【详解】 （立方厘米） 180立方厘米毫升 净含量180毫升是容积，包装盒的体积应比容积大，所以存在虚假。 答：这盒饮料的净含量存在虚假。 12．18厘米 【分析】首先要明确无论容器怎么放，里面的水的体积不变，先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出容器中水的体积。把容器朝左竖起来时，左侧面成为长方体的底面，根据“长方体的体积＝底面积×高”，用水的体积除以左侧面面积（宽×高）即可求出这时的水深，如果让长10厘米、宽20厘米的面朝下，则这个面成为底面，同样用水的体积除以这个面的面积，即可求出这时水的深度。 【详解】30×20×6 ＝600×6 ＝3600（立方厘米） 3600÷（10×20） ＝3600÷200 ＝18（厘米） 答：里面的水深应该是18厘米。 13．32升 【分析】通过观察图形可知，这个无盖长方体的底面是正方形，底面周长是80厘米，根据正方形的周长公式可以求出底面边长，底面边长加上高是100厘米，据此可以求出高，然后根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】底面边长：80÷4＝20（厘米） 高：100－20＝80（厘米） 20×20×80 ＝400×80 ＝32000（立方厘米） 32000立方厘米＝32升 答：这条铁桶最多可以装32升水。 14．12包 【分析】收纳盒的长为15厘米，宽是14厘米，高是6厘米。收纳盒的长与纸巾的长重合，可以放（15÷5）包纸巾；收纳盒的宽与纸巾的宽重合，可以放（14÷7）包纸巾；收纳盒的高与纸巾的高重合，可以放（6÷3）包纸巾，最后相乘求出收纳盒放置纸巾的总数量，据此解答。 【详解】（15÷5）×（14÷7）×（6÷3） ＝3×2×2 ＝6×2 ＝12（包） 答：这个收纳盒中最多可以放置12包纸巾。 15．（1）7400平方厘米；（2）30厘米 【分析】（1）这个容器无盖，需要计算五个面的面积和。根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”列式求出做这个容器至少需要多少平方厘米的铁皮； （2）长方体高＝体积÷底面积，那么将水的体积除以容器的底面积，即可求出水的高度。 【详解】（1）45×20＋45×50×2＋20×50×2 ＝900＋4500＋2000 ＝7400（平方厘米） 答：做这个容器至少需要7400平方厘米的铁皮。 （2）27升＝27000立方厘米 27000÷（45×20） ＝27000÷900 ＝30（厘米） 答：水的高度是30厘米。 16． 见详解 【分析】观察图形，求出正方体水面到水槽最上沿的距离，用正方体底面积乘水面到水槽最上沿的距离计算出距水槽注满还需要多少水，再根据计算结果选择合适的石头。 【详解】做法：把②号和③号石头放进水槽。 计算过程：20×20×（20－18） ＝20×20×2 ＝800（立方厘米） 358＋454＝812（立方厘米） 812立方厘米＞800立方厘米 所以，把②号和③号石头放进水槽，可以帮助乌鸦喝到水。 17．35个；35立方厘米 【分析】第1个图形有1个小正方体，第2个图形有（1＋3）个小正方体，第3个图形有（1＋3＋6）个小正方体，第4个图形有（1＋3＋6＋10）个小正方体，第5个图形有（1＋3＋6＋10＋15）个小正方体，立体图形的体积＝一个小正方体的体积×小正方体的个数；据此解答。 【详解】1＋3＋6＋10＋15 ＝4＋6＋10＋15 ＝10＋10＋15 ＝20＋15 ＝35（个） 1×35＝35（立方厘米） 答：当重叠到五层时，有35个小正方体，此时这个立体图形的体积是35立方厘米。 18．（1）见详解；（2）可信；见详解 【分析】（1）根据乘法的意义，分别用2×6000、5×6000、10×6000、40×6000即可求出2小时、5小时、10小时、40小时的挖泥量。 （2）一周有7天，每天有24小时，则7天有（7×24）小时，一小时可以挖泥6000立方米，用7×24×6000即可求出一周的实际挖泥量，再和90万立方米比较即可。 【详解】（1）2×6000＝12000（立方米） 5×6000＝30000（立方米） 10×6000＝60000（立方米） 40×6000＝240000（立方米） 时间（小时） 1 2 5 10 40 挖泥量（立方米） 6000 12000 30000 60000 240000 （2）7×24×6000＝1008000（立方米） 90万立方米＝900000立方米 1008000立方米＞900000立方米 答：这种说法可信。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $