第4单元长方体（二）应用题（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦长方体体积与表面积的实际应用，通过18道典型题构建"公式应用-变式迁移-综合拓展"的三阶方法体系，强化空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |体积（容积）计算|5题（题1/6/8/10/17）|直接应用V=abh，结合单位换算（升与立方分米）、体积等分|从基本公式到实际容积（油箱/水箱），渗透量感与数据意识| |表面积计算|3题（题2/4②/14①）|完整表面积公式与部分面（5面）计算，单位换算（平方米与平方厘米）|表面积概念在无盖容器（水箱/蓄水池）中的应用，培养几何直观| |综合变式应用|10题（题3/5/9-13/15-18）|最大公因数法（截正方体）、排水法（求球体积）、分类讨论（特殊长方体）、棱长总和转换（长正方体互化）、体积差（削去体积/小鱼体积）|公式变式与跨知识综合（如密度/棱长总和），发展推理意识与创新意识|

第4单元长方体（二）应用专练-2025-2026学年数学五年级下册北师大版 1．一辆汽车的油箱，从里面量长5分米，宽4分米，深3分米，如果1升油重0.8千克，这个油箱最多能装油多少千克？ 2．一个长方体水箱，长0.8米，宽0.6米，高0.5米。做这个水箱至少要用多少平方米铁皮？如果往水箱里注入96升水，水深多少分米？ 3．有一根长方体木料，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果将这根木料正好截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大，那么小正方体木块的棱长是多少？可以截成多少个这样的小正方体木块？ 4．某化工厂要挖一个长30米、宽2米、深25分米的长方体蓄水池。 （1）这个蓄水池最多能蓄水多少立方米？ （2）如果在蓄水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少？ 5．如图所示，长方体玻璃容器的底面积是50平方厘米，观察图中的水面高度变化，求大圆球的体积。（小圆球相同） 6．一个长方体容器，从里面量，长5分米，宽4分米，高6分米，给容器内倒入15升水，容器内水深多少分米？ 7．一个长方体沙坑，长8米，宽2.5米，深0.5米，建筑工人用容积为0.15立方米的斗车装载沙土，至少需要运多少次才能填满这个沙坑？ 8．奇奇的爸爸准备开车带一家人去旅游。爸爸汽车的油箱长为50厘米，宽为40厘米，高为30厘米。出发前汽车油箱是满油状态，如果每行驶15千米耗油1升，这辆汽车最多行驶多少千米就能耗光油箱中的汽油？ 9．乐乐在手工课上要做气体船的模型。做这个气体船要用一个高为12厘米的长方体，并且四个面完全相同，且每个面的面积是48平方厘米。这个长方体的气体船模型的体积是多少立方厘米？ 10．迎宾小学要铺一个长120米、宽90米的长方形场地，先铺5厘米厚的煤渣，然后铺12厘米厚的三合土。需要煤渣、三合土各多少立方米？ 11．下面的印章是张老师用一块长和宽都是3厘米，高是5厘米，重135克的长方体石块雕刻而成的，现重87克。这块长方体石块被削去的体积大约是多少立方厘米？ 12．用一段铁丝。正好可以做一个长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体框架。如果用这段铁丝做一个正方体框架，这个正方体框架的体积是多少立方厘米？ 13．一个底面是正方形的长方体，把它的侧面展开，恰好是边长为28厘米的正方形。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 14．如图，乒乓球台的台面是一块长方体木板，长约274厘米、宽约152厘米、厚约2.5厘米。 （1）准备给它外表的5个面刷上一层绿色的底漆，那么，刷漆的面积有多少平方米？（得数保留一位小数） （2）若这种木板每立方分米重0.4千克，那么乒乓球台面的质量约是多少千克？（得数保留一位小数） 15．要把一块长36厘米、宽20厘米的长方形铁皮做成一个无盖铁盒。 （1）请在上图中用虚线表示小张切割铁皮的方法。 （2）请用计算说明哪一种方法制作的铁盒装的物品多。 16．老年活动中心要新盖两个活动室，为了打好地基，需要在活动室的周围挖宽10分米，深8分米的沟（地基形状如图，阴影部分为沟），需要挖出多少立方米的土？    17．如图是一个长方体玻璃容器，容器中的水有多少升？（玻璃的厚度忽略不计）    18．李叔叔用五块玻璃制作了一个无盖玻璃缸，五块玻璃的大小如下图（单位：cm）。    （1）这个鱼缸的容积是多少升？（先画出鱼缸的示意图，再尝试解答）（玻璃厚度忽略不计） （2）在鱼缸里面放入50条小鱼，鱼缸内的水面高度从28厘米上升到了30厘米，平均每条小鱼的体积是多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第4单元长方体（二）应用专练-2025-2026学年数学五年级下册北师大版》参考答案 1．48千克 【分析】根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据即可求出油箱的容积，再把单位换算成升，然后乘0.8即可求出油的总千克数。 【详解】5×4×3＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60×0.8＝48（千克） 答：这个油箱最多能装油48千克。 2．2.36平方米；2分米 【分析】求用铁皮的面积，就是求这个长方体水箱的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷长÷宽，代入数据，求出水深，注意单位名数的换算。 【详解】（0.8×0.6＋0.8×0.5＋0.6×0.5）×2 ＝（0.48＋0.4＋0.3）×2 ＝（0.88＋0.3）×2 ＝1.18×2 ＝2.36（平方米） 96升＝96立方分米；0.8米＝8分米；0.6米＝6分米。 96÷8÷6 ＝12÷6 ＝2（分米） 答：做这个水箱至少要用2.36平方米铁皮，水深2分米。 3．25厘米；273个 【分析】先换算单位，将米转化成厘米。因为要截成尽可能大的小正方体木块，就是找325，175和75的最大公因数，求出小正方体木块的棱长；要求可以截成多少个小正方体木块，沿长方体木料的长能截成多少块，沿长方体的宽能截成多少块，沿长方体的高能截成多少块，沿长、宽、高所截成的块数相乘，即可解答。 【详解】3.25米325厘米 1.75米175厘米 0.75米75厘米 325＝5×5×13 175＝5×5×7 75＝5×5×3 325、175和75的最大公因数是5×5＝25。 正方体的棱长为25厘米。 （325÷25）×（175÷25）×（75÷25） ＝13×7×3 ＝91×3 ＝273（个） 答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成273个这样的小正方体木块。 4．（1）150立方米 （2）220平方米 【分析】（1）求这个蓄水池最多能蓄水多少立方米，就是求蓄水池的容积；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算求解。 （2）如果在蓄水池的四周和底面抹上水泥，即抹水泥的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是抹水泥的面积。 【详解】25分米＝2.5米 （1）30×2×2.5 ＝60×2.5 ＝150（立方米） 答：这个蓄水池最多能蓄水150立方米。 （2）30×2＋30×2.5×2＋2×2.5×2 ＝60＋150＋10 ＝220（平方米） 答：抹水泥的面积是220平方米。 5．75立方厘米 【分析】从图一到图二，水下降的体积即为一个大圆球和一个小圆球的体积； 从图二到图三，水下降的体积即为2小圆球的体积； 水的体积可以看作为长方体的体积，先求2个小圆球的体积，再求大圆球的体积。 长方体的体积＝底面积×高。据此解答。 【详解】50×（7－6）÷2 ＝50×1÷2 ＝50÷2 ＝25（立方厘米） 50×（9－7） ＝50×2 ＝100（立方厘米） 100－25＝75（立方厘米） 答：大圆球的体积是75立方厘米。 6．0.75分米 【分析】已知长方体容器的长、宽，以及容器内水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算即可求出容器内水的深度。注意单位的换算：1升＝1立方分米。 【详解】15升＝15立方分米 15÷5÷4 ＝3÷4 ＝0.75（分米） 答：容器内水深0.75分米。 7．67次 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算出这个长方体沙坑的容积，用沙坑的容积除以0.15，所得结果采用“进一法”取整数，据此解答。 【详解】8×2.5×0.5÷0.15 ＝20×0.5÷0.15 ＝10÷0.15 ≈67（次） 答：至少需要运67次才能填满这个沙坑。 8．900千米 【分析】已知汽车的油箱的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，以及进率“1升＝1000立方厘米”，求出油箱的容积，再乘每升油行驶的路程，即可求出汽车耗光油箱中的汽油最多行驶的路程。 【详解】50×40×30 ＝2000×30 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 60×15＝900（千米） 答：这辆汽车最多行驶900千米就能耗光油箱中的汽油。 9．体积可能是192立方厘米或576立方厘米。 【分析】因为这个长方体有四个面完全相同，所以长方体的长、宽、高中有两个数据相等。当长方体的长和宽相等时，如下图1，可知这个长方体的长＝宽＝48÷12＝4（厘米），此时这个长方体的体积是4×4×12＝192立方厘米。当长方体的长（或宽）和高相等时，如下图2，这个长方体的宽（或长）＝48÷12＝4（厘米），此时这个长方体的体积是4×12×12＝576立方厘米。 【详解】情况一：长方体的长和宽相等，高是12厘米。 48÷12＝4（厘米） 4×4×12 ＝16×12 ＝192（立方厘米） 情况二：长方体的长或宽和高相等，高是12厘米。 48÷12＝4（厘米） 4×12×12 ＝48×12 ＝576（立方厘米） 答：这个长方体的气体船模型的体积可能是192立方厘米或576立方厘米。 10．煤渣540立方米；三合土1296立方米 【分析】 已知在一个长方形场地里铺上煤渣和三合土，求煤渣和三合土的体积，就是求长方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】 5厘米＝0.05米 12厘米＝0.12米 煤渣： 120×90×0.05 ＝10800×0.05 ＝540（立方米） 三合土： 120×90×0.12 ＝10800×0.12 ＝1296（立方米） 答：需要煤渣540立方米，三合土1296立方米。 11．16立方厘米 【分析】已知一块长方体石块的长和宽都是3厘米，高是5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块石块的体积； 又已知这块石块重135克，用这块石块的重量除以石块的体积，求出每立方厘米石块的重量； 已知现重87克，那么削去的重量是（135－87）克；用削去的重量除以每立方厘米石块的重量，即可求出被削去的体积。 【详解】石块的体积：3×3×5＝45（立方厘米）    每立方厘米的石块重：135÷45＝3（克） 削去的重量：135－87＝48（克） 削去的体积：48÷3＝16（立方厘米） 答：这块长方体石块被削去的体积大约是16立方厘米。 12．216立方厘米 【分析】铁丝长度相当于长方体和正方体棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝长度，再根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式解答即可。 【详解】（7＋6＋5）×4÷12 ＝18×4÷12 ＝6（厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 答：这个正方体框架的体积是216立方厘米。 13．1372立方厘米 【分析】根据长方体的特征可以判断，底面是正方形，那么四个侧面面积相等。又因为侧面展开是一个正方形，用正方形边长除以4求出侧面长方形的宽，即底面正方形的边长是4，再根据长方体的体积等于底面积乘高即可解题。 【详解】28÷4＝7（厘米） 7×7×28＝1372（立方厘米） 答：这个长方体的体积是1372立方厘米。 14．（1）4.4平方米 （2）41.6千克 【分析】（1）给它外表的5个面刷上一层绿色的底漆，底漆的面积＝上面面积＋左右面积＋前后面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2。注意要换算单位，1平方米＝10000平方厘米，低级单位转化为高级单位用除法。最后得数要保留一位小数，观察到小数点第二位，根据四舍五得出近似值。 （2）每立方分米重0.4千克，根据长方体的体积公式＝长×宽×高得出这种木板一共的体积，要注意换算单位1立方分米＝1000立方厘米，低级单位转化为高级单位用除法。再乘0.4可得这种乒乓球台面的质量。注意得数保留一位小数。 【详解】（1）274×152＋274×2.5×2＋152×2.5×2 ＝41648＋1370＋760 ＝43778（平方厘米） 43778平方厘米≈4.4（平方米） 答：刷漆的面积约有4.4平方米。 （2）274×152×2.5＝104120（立方厘米） 104120立方厘米＝104.12（立方分米） 104.12×0.4≈41.6（千克） 答：乒乓球台面的质量约是41.6千克。 15．（1）见详解。 （2）见详解。 【分析】（1）以宽20厘米为边长，剪出一个最大的正方形，剩下一个宽为36－20＝16厘米，长是20厘米的长方形，将16厘米的边平均分成4份，沿长剪下，形成4个宽为4厘米，长为20厘米的形状一样的长方形，将长与正方形的边长重合，形成底是边长20厘米正方形，高是4厘米的长方体。 （2）根据长方体容积＝长×宽×高，求得两个铁盒的容积，再比较大小即可。 【详解】 （1） （2）小李的方法： （36－5×2）×（20－5×2）×5 ＝（36－10）×（20－10）×5 ＝26×10×5 ＝260×5 ＝1300（立方厘米） 小张的方法： （36－4×4）×20×4 ＝（36－16）×20×4 ＝20×20×4 ＝400×4 ＝1600（立方厘米） 1600＞1300 答：用小张的方法制作的铁盒装的物品多。 16．26.4立方米 【分析】先用活动室的总面积－两个中间长方形的面积，求出地基的面积；根据长方形面积公式，代入数据，求出地基面积，再根据长方体的体积公式：底面积×高，代入数据，即可求出需要挖出土的体积，据此解答。 【详解】10分米＝1米；8分米＝0.8米 中间长方形的长：（12－1×3）÷2 ＝（12－3）÷2 ＝9÷2 ＝4.5（米） 中间长方形的宽：5－1×2 ＝5－2 ＝3（米） （12×5－4.5×3×2）×0.8 ＝（60－13.5×2）×0.8 ＝（60－27）×0.8 ＝33×0.8 ＝26.4（立方米） 答：需要挖出26.4立方米的土。 【点睛】解答本题的关键是求出地基的面积，再利用长方体体积公式进行解答，注意单位名数的统一。 17．10升 【分析】观察图形可知，容器这水的容积与空白处的容积相等，即水的容积等于这个长方体容器容积的一半，根据长方体体积容积：容积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】50×20×20÷2 ＝1000×20÷2 ＝20000÷2 ＝10000（立方厘米） 10000立方厘米＝10升 答：容器中的水有10升。 【点睛】熟练掌握长方体容积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。 18．（1）示意图见详解；28升 （2）32立方厘米 【分析】（1）从五块玻璃的大小可以看出，长40厘米、宽20厘米的玻璃是玻璃缸的底面，则这个无盖玻璃缸长40厘米，宽20厘米，高35厘米，据此画出示意图；长方体的容积＝长×宽×高，据此代入数据计算。 （2）根据题意，上升的水的体积等于50条小鱼的体积，即50条小鱼的体积等于长40厘米，宽20厘米，高（30－28）厘米的长方体的体积。根据长方体的体积公式，求出上升的水的体积，再除以50即可求出平均每条小鱼的体积。 【详解】（1） 40×20×35＝28000（立方厘米）＝28升 答：这个鱼缸的容积是28升。 （2）40×20×（30－28）÷50 ＝800×2÷50 ＝1600÷50 ＝32（立方厘米） 答：平均每条小鱼的体积是32立方厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体的容积、不规则物体的体积算法。熟练掌握长方体的体积公式，明确“上升的水的体积等于50条小鱼的体积”是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $