专项02 函数性质与应用重难点-2026届高考考前数学高频考点专项训练（全国通用）

专项02 函数性质与应用重难点 分析维度 具体内容 核心考点 1. 函数三要素：定义域（分式、根式、对数、复合函数）、值域（单调性法、换元法、基本不等式）、解析式（待定系数法、配凑法、换元法）；>2. 函数性质：单调性（定义法、导数法、复合函数 “同增异减”）、奇偶性（定义法、图像法、性质推导）、周期性（公式法、递推法）、对称性（中心对称、轴对称）；. 应用：比较大小、解不等式、函数零点（方程根）、恒成立 / 存在性问题、最值求解、实际应用（分段函数模型）。 考查形式 1. 客观题（单选题 + 多选题）：5-10 分，多为第 3-10 题，考查单一性质或简单综合（如单调性 + 奇偶性、零点判断）；>2. 解答题：12-14 分，多为第 20-21 题（压轴题区间），考查综合应用（如导数结合单调性 / 最值、零点个数讨论、恒成立求参数）；. 新高考特点：多选题增加性质辨析难度，解答题融入导数工具，强调逻辑推理。 命题特点 1. 基础题（送分）：定义域、奇偶性判断、简单单调性应用（如比较大小），难度低；2. 中档题（核心得分）：复合函数性质、函数零点区间判断、分段函数应用，需掌握基本方法； 难题（拉分）：恒成立 / 存在性问题（参数范围）、零点个数讨论、对称性 + 周期性综合、导数与函数性质结合，强调分类讨论、数形结合；>4. 趋势：命题聚焦 “性质综合 + 工具应用”，减少纯记忆性考点，侧重逻辑推导和实际应用。 重难点突破 1. 重点：单调性：导数法判断（重点）、复合函数单调性规则； 奇偶性：定义法证明、奇偶性与单调性的结合应用；>③ 零点：零点存在定理、数形结合判断零点个数；④ 最值：导数法求最值、基本不等式求值域；. 难点：>① 复合函数性质（抽象函数单调性 / 奇偶性推导）；>② 恒成立问题（分离参数法、分类讨论法的选择）；③ 对称性与周期性的综合推导（如 “f (x+a)=f (-x+b)” 推导对称轴）；④ 导数与函数性质的深度结合（如导数判断单调性、求极值点、零点个数讨论）。 关联模块 1. 直接关联：导数及其应用（核心工具）、三角函数（周期性 / 奇偶性载体）、指数对数函数（性质考查高频载体）、分段函数（综合性质应用）；2. 间接关联：不等式（解函数不等式、恒成立问题）、数列（数列单调性与函数单调性结合）、立体几何（最值问题转化）、解析几何（函数值域与最值）。 备考策略 1. 基础过关：① 牢记定义域求解规则（分式分母≠0、对数真数 > 0、根式被开方数≥0）；② 熟练掌握奇偶性 / 单调性定义（步骤化解题：如奇偶性先判定义域关于原点对称）；>2. 方法强化：数形结合法：画函数图像辅助判断性质、零点、不等式；② 分类讨论法：针对参数范围、函数分段点、零点区间分类；③ 导数工具法：导数求单调性、极值、最值（核心得分工具，必须熟练）； 难点突破：>① 抽象函数：赋值法推导性质（如 f (0)、f (-x) 与 f (x) 关系）；>② 恒成立 / 存在性：总结 “分离参数优先，分类讨论兜底” 原则；③ 对称性 + 周期性：记住常见结论（如 f (x+2a)=-f (x) 则周期为 4a），结合图像推导；. 实战训练：多练导数与函数性质结合的解答题，规范解题步骤（如导数求导→判断符号→得出单调性→求最值）。 易错点提醒 1. 定义域遗漏：复合函数定义域（如 f (g (x)) 需满足 g (x) 的范围 + 外层函数定义域）； 奇偶性判断错误：未先判断定义域关于原点对称，直接代入 f (-x)；3. 单调性误区：复合函数 “同增异减” 记混（如内层减、外层减，复合后增）；4. 零点判断：忽略零点存在定理的 “连续函数” 前提； 恒成立问题：分离参数时忽略参数系数的正负（导致不等号方向错误）；6. 导数应用：求导错误、未判断导数符号直接下结论、忽略极值点的定义域范围。 一、基础核心考点（送分题，必拿分） （一）函数三要素（高考客观题高频，5 分稳拿） 1. 定义域 0. 核心要点：分式分母≠0；偶次根式被开方数≥0；对数真数 > 0、底数 > 0 且≠1；复合函数（如 f (g (x))）需满足 “内层函数值域⊆外层函数定义域”；实际问题需结合实际意义。 0. 考法：直接求定义域（单选题）、已知定义域求参数范围（填空题）。 1. 解析式 0. 核心方法：待定系数法（已知函数类型，如一次、二次、指数函数）；配凑法（如 f (x+1)=x²+2x，配凑为 (x+1)²-1）；换元法（令 t=x+1，转化为 f (t) 求解）；分段函数解析式（结合图像或实际场景书写）。 0. 考法：给出条件求解析式（客观题 / 解答题第一问）。 1. 值域 0. 核心方法：单调性法（利用函数增减性求最值）；换元法（如根号型、指数型换元为二次函数）；基本不等式法（a+b≥2√(ab)，注意 “一正二定三相等”）；图像法（结合函数图像找值域）。 0. 考法：直接求值域、已知值域求参数（客观题为主）。 （二）单一函数性质（基础应用，高频必考） 1. 单调性 0. 核心要点：定义法（取值→作差→变形→判断符号→下结论）；图像法（上升为增、下降为减）；常见函数单调性（一次函数、二次函数、指数、对数函数）。 0. 考法：判断单调性（单选题）、比较函数值大小（利用单调性，客观题）。 1. 奇偶性 0. 核心要点：前提（定义域关于原点对称）；定义（f (-x)=f (x) 为偶函数，f (-x)=-f (x) 为奇函数）；图像特征（偶函数关于 y 轴对称，奇函数关于原点对称）；常见结论（奇 + 奇 = 奇、偶 + 偶 = 偶，奇 × 奇 = 偶等）。 0. 考法：判断奇偶性（单选题，送分）、利用奇偶性求解析式 / 参数（填空题）。 1. 周期性 0. 核心要点：定义（f (x+T)=f (x)，T 为周期）；常见周期结论（f (x+a)=-f (x)→T=2a；f (x+a)=1/f (x)→T=2a）；三角函数周期（正弦、余弦 T=2π/|ω|，正切 T=π/|ω|）。 0. 考法：求周期（客观题）、利用周期性求函数值（如 f (2025) 转化为 f (1)）。 1. 对称性 0. 核心要点：轴对称（f (x+a)=f (-x+b)→对称轴 x=(a+b)/2；偶函数关于 y 轴对称）；中心对称（f (x+a)+f (-x+b)=2c→对称中心 ((a+b)/2,c)；奇函数关于原点对称）。 0. 考法：判断对称轴 / 对称中心（多选题）、利用对称性求函数值（客观题）。 二、综合核心考点（中档题，核心得分区） （一）性质综合应用（高考高频，客观题 + 解答题第一问） 1. 单调性 + 奇偶性 0. 核心逻辑：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；利用性质解不等式（如 f (x) 为奇函数且增，f (x-1)>0→x-1>0）。 0. 考法：解函数不等式（单选题）、比较抽象函数值大小（多选题）。 1. 周期性 + 对称性 0. 核心逻辑：若函数既关于直线 x=a 对称，又关于直线 x=b 对称（a≠b），则周期 T=2|a-b|；若既关于点 (a,0) 中心对称，又关于点 (b,0) 中心对称（a≠b），则周期 T=2|a-b|。 0. 考法：推导周期 + 求函数值（客观题中档题）。 1. 复合函数性质 0. 核心逻辑：单调性 “同增异减”（内层与外层单调性相同则复合为增，相反则为减）；奇偶性（内层为奇、外层为偶→复合为偶；内层为偶→复合为偶）。 0. 考法：判断复合函数单调性 / 奇偶性（多选题）、求复合函数值域（客观题）。 （二）函数零点与方程根（中档题，必考） 1. 核心要点：零点定义（f (x)=0 的实数根，即函数图像与 x 轴交点横坐标）；零点存在定理（连续函数 f (a)・f (b)<0→(a,b) 内有零点）；零点个数判断（数形结合，转化为两个函数图像交点个数）。 1. 考法：判断零点所在区间（单选题）、求零点个数（多选题）、已知零点个数求参数范围（填空题 / 解答题）。 三、高阶应用考点（难题，拉分区间） （一）恒成立 / 存在性问题（解答题高频，12 分左右） 1. 核心要点： 0. 恒成立：∀x∈D，f (x)≥a→f (x) min≥a；∀x∈D，f (x)≤b→f (x) max≤b； 0. 存在性：∃x∈D，f (x)≥a→f (x) max≥a；∃x∈D，f (x)≤b→f (x) min≤b； 0. 常用方法：分离参数法（优先，转化为 a≤f (x) min 或 a≥f (x) max）；分类讨论法（参数无法分离时，按参数范围分类）。 1. 考法：已知恒成立 / 存在性条件求参数范围（解答题第 2 问）。 （二）导数与函数性质结合（压轴题，12-14 分） 1. 核心要点： 0. 导数判断单调性（f’(x)>0→增区间，f’(x) 减区间）； 0. 导数求极值 / 最值（f’(x)=0 求极值点，比较极值与端点值得最值）； 0. 导数研究零点（利用单调性 + 极值判断零点个数，或已知零点个数求参数）。 1. 考法：导数求单调区间 / 极值 / 最值（解答题核心）、导数结合零点个数讨论（压轴题）。 （三）实际应用与分段函数（中档题，5-12 分） 1. 核心要点：分段函数模型（如计费问题、税收问题）；实际问题转化（设变量→列函数解析式→求定义域→求最值）。 1. 考法：分段函数求值 / 解不等式（客观题）、实际问题最值求解（解答题）。 四、高考考法总结 1. 客观题（5-10 分）：聚焦基础考点（定义域、解析式、单一性质、零点区间）和简单综合（单调性 + 奇偶性、复合函数性质），难度低 - 中档； 1. 解答题（12-14 分）：聚焦高阶应用（导数 + 性质、恒成立 / 存在性、零点讨论），难度中档 - 难题，强调逻辑推导和步骤规范； 1. 新高考趋势：多选题增加性质辨析难度，解答题强化导数工具应用，减少纯记忆考点，侧重 “性质 + 方法 + 逻辑” 的综合考查。 一、单选题 1．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解. 【详解】当时，，即. 当时，，即， 则，即. 因为， 所以.令，则， 所以，则. 2．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 3．（2026·北京石景山·二模）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将存在个零点转化为函数与的图象有2个交点，先讨论与相切的情况，再将平移讨论的范围，数形结合即可求解. 【详解】若存在2个零点，则有2个解，即有2个解， 即函数与的图象有2个交点. 当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 先求与相切的情况： 设切点为，因为，所以，所以，所以切点为， 代入切线方程，得. 当时，直线与相切于点， 同时与有个交点，此时共2个交点； 当时，直线与有个交点， 与有个交点，共2个交点； 当时，直线与无交点，与有个交点，共个交点； 当时，直线与无交点，与无交点，共个交点； 综上，存在2个零点时，的取值范围是. 4．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    5．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造函数确定相应零点的取值范围，进而可求解. 【详解】对于，满足，函数是R上的增函数， 又，， 因此 ，即， 对于，满足 ，因为，，故， 对于，满足 ，函数 是上的增函数， 又 ， ， 因此 ，即， 综上，大小关系为. 6．（2026·北京朝阳·二模）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（   ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 【答案】B 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加. 7．（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】对于AB，代入选项的的值并依据正弦函数的图象性质判断即可，对于C，由图象变换结合辅助角公式即可求解，对于D，使用整体代入法结合图象的交点个数即可求解. 【详解】由题意得，最小正周期满足，即， 则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则， 综上，， 对于①，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故①错误； 对于②，若的图象关于点对称，则， 代入得， 因为，故②错误； 对于③，设， 则，故③错误； 对于④，若，则，设，， ，即， 则与在上有两个交点， 即，解得，故④错误. 所以有0个命题正确. 8．（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（   ） A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片 【答案】B 【详解】，将代入， 得， 整理得：， 两边取自然对数：， 解得：， 所以， 由，得， 即芯片投入量至少为4万片. 9．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】由题意可得，所以，所以. 由，得， 两边取自然对数得，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以最迟应在发现疫情后第7天启动． 10．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 11．（2026·四川成都·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约（     ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?（参考数据：） A．1880年 B．2580年 C．3550年 D．4150年 【答案】B 【分析】根据题意得，解不等式得，再结合区间的中点进行估计，近似到十年即可求解. 【详解】根据题意，，即， 所以，即， 所以，即， 所以区间的中点为，近似到十年为2580年. 12．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 13．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可 【详解】当时，， 因为为偶函数，所以，当时两边求导得， 所以，， 所以的图象在处的切线方程为，即 14．（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由可得函数关于点中心对称，再根据在上单调递增，结合对称性可得在上也单调递增，最后转化在一个单调区间上利用单调性比较大小即可. 【详解】解：由，则， 令，则，所以， 因此函数关于点中心对称， 因为在上单调递增，结合又关于点对称， 所以在上也单调递增. 由，则令，所以，即. 因为，在上单调递增， 所以，即. 15．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 16．（2026·河北邯郸·三模）若函数有奇数个零点，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．16 D．18 【答案】B 【分析】借助偶函数定义可得为偶函数，则由函数有奇数个零点可得，代入计算可得，再借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 又定义域为，则函数为偶函数， 由函数有奇数个零点，则，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值是. 二、多选题 17．（2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式，其中k为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的.根据上述模型，下列说法正确的是（   ） 参考数据：，，. A．当淋溶深度dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25% B．要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dm C．在淋溶深度的基础上再增加1dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半 D．若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的20% 【答案】ACD 【分析】根据给定的指数函数模型，结合各项的描述依次分析正误. 【详解】由题设， 当，则，故， 所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25%，A对， 当，则，即，可得，B错， 原淋溶深度，则，故增加1后有， 所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半，C对， 当，，则，故，D对. 18．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，其图象的一个对称中心为，下列说法正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．若函数在区间上单调，则的最大值为 C．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得到的图象 D．若函数在区间上有唯一零点，则 【答案】AC 【分析】利用辅助角公式结合条件求出的解析式，再根据各选项的要求，结合正弦型函数的性质与诱导公式，图象变换以及函数与方程的关系逐一判断即得. 【详解】因的图象的一个对称中心为, 则，则得. 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，可得，因函数在区间上单调，则有， 解得，故的最大值为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位，得到， 再向上平移1个单位可得到， 而，故C正确； 对于D，由可得，依题意，方程在上只有1个实根， 也即直线与函数在上有唯一交点. 因时，，则作出函数在上的图象，要使直线与函数在上有唯一交点， 需使或，解得或，故D错误. 19．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 【答案】AD 【分析】利用函数是奇函数得出周期和对称性，利用奇函数定义可判断A，结合单调性可判断B，结合周期性和对称性可判断C，结合函数的简图可判断D. 【详解】因为，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以， 所以，即的一个周期为8. 对于A，因为，且为奇函数，所以为奇函数，A正确； 对于B，因为在上单调递增，且为定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由，可得关于对称，故在上单调递减， 因为的周期为8，又由知4不是的周期， 所以的减区间为，B不正确； 对于C，由对称性可知，，，由可得， 所以， 因为的周期为8，所以， 因为，，但不确定，所以不确定，C不正确； 对于D，令，可得，则的零点个数即和的图象公共点个数， 分别作出两个函数的简图，由于的最大值为2，，所以两个图象公共点的个数为8，D正确. 20．（2026·陕西榆林·三模）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数 C．任意 D．函数有且仅有2个零点 【答案】ABC 【分析】A选项，通过导数判断函数单调性；B选项，取特殊值验证结论的存在；C选项，通过放缩，得到函数值的范围；D选项，通过函数值的符号，判断零点个数. 【详解】对于A，，因为，所以， 因此，故，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，令，则，定义域为， 且，故为奇函数，故B正确； 对于C，时，时，，故C正确； 对于D，时，时，时，， 所以只有1个零点，故D错误. 21．（2026·重庆·三模）已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 【答案】ABD 【详解】对A，若为偶函数，则，即，则时，为偶函数，A正确； 对B，当时，， 当时，单调递增，单调递减，因此在上单调递增， 又，由零点存在定理，在时必然存在零点，B正确； 对C时，，故不是单调递增函数，C错误； 对D，设，则，在坐标系中作出和的图象，则的图象是向上和向右分别移动个单位形成． 如图2所示，当与的图象在第二象限相切时，的最小值为零．D正确.    22．（2026·河南周口·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的最小正周期为 【答案】ABD 【分析】分析可知函数的定义域为，且，结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 且. 对于A：因为，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B：若，则，可得在上单调递增， 所以在上单调递减，故B正确； 对于C：因为，则， 所以的值域为，故C错误； 对于D：的最小正周期为，故D正确. 23．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线与直线有三个不同的交点 C．该曲线可以成为一个函数的图象 D．当时， 【答案】ACD 【分析】选项A：根据中心对称定义代入验证.选项B.联立两方程，分析方程的零点.选项C.根据函数的定义求解即可.选项D.对函数求导，分析其单调性，得到最小值. 【详解】选项A.若点在曲线上，满足. 将代入方程， 左边，右边左边， 因此也在曲线上，曲线关于原点中心对称，A正确. 选项B.联立 代入曲线方程，整理得， 是一个解，剩余.当（如）时，无额外实根，仅1个交点， 不是一定有三个交点，B错误. 选项C.令，则，代入原方程可得参数形式：. 对求导得，故是上严格增函数，与一一对应， 因此每个对应唯一，满足函数定义，曲线可以作为函数的图像，C正确. 选项D.即，因，故. 对求导得，令，得驻点， 代入得，D正确. 三、填空题 24．（2026·山东济南·模拟预测）若函数在[0,4]上恰有2个零点，则符合条件的a的个数为________． 【答案】1 【分析】求出函数的零点，通过判断在区间上零点的个数确定的取值. 【详解】时，，在上有两个零点1和，满足题意， 时，由于，无实数解， ，，，由于， ，则，不合题意， 时，，时，，时，（因为），因此在上至少有3个零点，不满足题意， 综上，，所以满足条件的的个数是1. 25．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 【答案】 140 【分析】将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解. 【详解】方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数， 如下图： 由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点， 故若集合M中共有3个元素，则的取值范围是， 若集合M中共有4个元素，由图象可知的取值范围是， 设4个元素由小到大为， 则，即，得， ，即，得， ，即，得， ，即，得， 所以， 故当时，取得最小值140. 26．（2026·贵州安顺·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数的解析式：_____________．（答案不唯一） ①；②恰有两个不同的零点；③． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，积分得（为常数）， 由恰有两个零点，得，即， 由，得，即， 取，得满足条件的一个函数解析式：． 27．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简得出，令，将问题转化为方程在区间上有且仅有两个根，结合正弦函数的性质得出即可. 【详解】 设，因为，所以． 函数在区间上有且仅有两个零点， 即方程在区间上有且仅有两个根． 因为方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得， 则实数的取值范围为． 28．（2026·河北沧州·三模）函数若，则________． 【答案】 【详解】已知分段函数，且. 结合分段函数性质可得或. 当时： 若，则，解得； 若，则，解得. 当时： 若，则，方程无解； 若，则，解得. 因此满足条件的的值为，，. 四、解答题 29．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可； （2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得. 【详解】（1）将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为 （2）由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为 30．（2026·上海徐汇·二模）已知函数，其中且. (1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由； (2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值. 【答案】(1)，； (2)或或 【分析】（1）由分母不等于解出定义域，由奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再利用奇函数的定义检验即可； （2）令，则原命题可等价于方程的解集为单元素集合，分一元二次方程有两相等实根且不等于与一元二次方程有两不相等实根且有一个根等于，分别求出的值即可. 【详解】（1）由题意知：， 分母不等于得：， 解得：， 所以函数的定义域为， 要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称， 则，解得， 当时，，定义域为， 此时，满足奇函数的定义， 所以存在正数，使得函数为奇函数. （2）由题意知：， 则等价于，其中且， 化简得：， 令，， 原命题等价于：的解集为单元素集合， ①方程有两相等实根，且不等于， 所以， 化简得：， 解得：， 验证根是否等于， 当时，根，满足题意， 当时，根，满足题意， ②方程有两不等实根，且其中一个根为， 则将代入方程：， 当时，此时方程为， 解得：（舍）或，满足题意. 综上所述：正数的取值为或或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 函数性质与应用重难点 分析维度 具体内容 核心考点 1. 函数三要素：定义域（分式、根式、对数、复合函数）、值域（单调性法、换元法、基本不等式）、解析式（待定系数法、配凑法、换元法）；>2. 函数性质：单调性（定义法、导数法、复合函数 “同增异减”）、奇偶性（定义法、图像法、性质推导）、周期性（公式法、递推法）、对称性（中心对称、轴对称）；. 应用：比较大小、解不等式、函数零点（方程根）、恒成立 / 存在性问题、最值求解、实际应用（分段函数模型）。 考查形式 1. 客观题（单选题 + 多选题）：5-10 分，多为第 3-10 题，考查单一性质或简单综合（如单调性 + 奇偶性、零点判断）；>2. 解答题：12-14 分，多为第 20-21 题（压轴题区间），考查综合应用（如导数结合单调性 / 最值、零点个数讨论、恒成立求参数）；. 新高考特点：多选题增加性质辨析难度，解答题融入导数工具，强调逻辑推理。 命题特点 1. 基础题（送分）：定义域、奇偶性判断、简单单调性应用（如比较大小），难度低；2. 中档题（核心得分）：复合函数性质、函数零点区间判断、分段函数应用，需掌握基本方法； 难题（拉分）：恒成立 / 存在性问题（参数范围）、零点个数讨论、对称性 + 周期性综合、导数与函数性质结合，强调分类讨论、数形结合；>4. 趋势：命题聚焦 “性质综合 + 工具应用”，减少纯记忆性考点，侧重逻辑推导和实际应用。 重难点突破 1. 重点：单调性：导数法判断（重点）、复合函数单调性规则； 奇偶性：定义法证明、奇偶性与单调性的结合应用；>③ 零点：零点存在定理、数形结合判断零点个数；④ 最值：导数法求最值、基本不等式求值域；. 难点：>① 复合函数性质（抽象函数单调性 / 奇偶性推导）；>② 恒成立问题（分离参数法、分类讨论法的选择）；③ 对称性与周期性的综合推导（如 “f (x+a)=f (-x+b)” 推导对称轴）；④ 导数与函数性质的深度结合（如导数判断单调性、求极值点、零点个数讨论）。 关联模块 1. 直接关联：导数及其应用（核心工具）、三角函数（周期性 / 奇偶性载体）、指数对数函数（性质考查高频载体）、分段函数（综合性质应用）；2. 间接关联：不等式（解函数不等式、恒成立问题）、数列（数列单调性与函数单调性结合）、立体几何（最值问题转化）、解析几何（函数值域与最值）。 备考策略 1. 基础过关：① 牢记定义域求解规则（分式分母≠0、对数真数 > 0、根式被开方数≥0）；② 熟练掌握奇偶性 / 单调性定义（步骤化解题：如奇偶性先判定义域关于原点对称）；>2. 方法强化：数形结合法：画函数图像辅助判断性质、零点、不等式；② 分类讨论法：针对参数范围、函数分段点、零点区间分类；③ 导数工具法：导数求单调性、极值、最值（核心得分工具，必须熟练）； 难点突破：>① 抽象函数：赋值法推导性质（如 f (0)、f (-x) 与 f (x) 关系）；>② 恒成立 / 存在性：总结 “分离参数优先，分类讨论兜底” 原则；③ 对称性 + 周期性：记住常见结论（如 f (x+2a)=-f (x) 则周期为 4a），结合图像推导；. 实战训练：多练导数与函数性质结合的解答题，规范解题步骤（如导数求导→判断符号→得出单调性→求最值）。 易错点提醒 1. 定义域遗漏：复合函数定义域（如 f (g (x)) 需满足 g (x) 的范围 + 外层函数定义域）； 奇偶性判断错误：未先判断定义域关于原点对称，直接代入 f (-x)；3. 单调性误区：复合函数 “同增异减” 记混（如内层减、外层减，复合后增）；4. 零点判断：忽略零点存在定理的 “连续函数” 前提； 恒成立问题：分离参数时忽略参数系数的正负（导致不等号方向错误）；6. 导数应用：求导错误、未判断导数符号直接下结论、忽略极值点的定义域范围。 一、基础核心考点（送分题，必拿分） （一）函数三要素（高考客观题高频，5 分稳拿） 1. 定义域 0. 核心要点：分式分母≠0；偶次根式被开方数≥0；对数真数 > 0、底数 > 0 且≠1；复合函数（如 f (g (x))）需满足 “内层函数值域⊆外层函数定义域”；实际问题需结合实际意义。 0. 考法：直接求定义域（单选题）、已知定义域求参数范围（填空题）。 1. 解析式 0. 核心方法：待定系数法（已知函数类型，如一次、二次、指数函数）；配凑法（如 f (x+1)=x²+2x，配凑为 (x+1)²-1）；换元法（令 t=x+1，转化为 f (t) 求解）；分段函数解析式（结合图像或实际场景书写）。 0. 考法：给出条件求解析式（客观题 / 解答题第一问）。 1. 值域 0. 核心方法：单调性法（利用函数增减性求最值）；换元法（如根号型、指数型换元为二次函数）；基本不等式法（a+b≥2√(ab)，注意 “一正二定三相等”）；图像法（结合函数图像找值域）。 0. 考法：直接求值域、已知值域求参数（客观题为主）。 （二）单一函数性质（基础应用，高频必考） 1. 单调性 0. 核心要点：定义法（取值→作差→变形→判断符号→下结论）；图像法（上升为增、下降为减）；常见函数单调性（一次函数、二次函数、指数、对数函数）。 0. 考法：判断单调性（单选题）、比较函数值大小（利用单调性，客观题）。 1. 奇偶性 0. 核心要点：前提（定义域关于原点对称）；定义（f (-x)=f (x) 为偶函数，f (-x)=-f (x) 为奇函数）；图像特征（偶函数关于 y 轴对称，奇函数关于原点对称）；常见结论（奇 + 奇 = 奇、偶 + 偶 = 偶，奇 × 奇 = 偶等）。 0. 考法：判断奇偶性（单选题，送分）、利用奇偶性求解析式 / 参数（填空题）。 1. 周期性 0. 核心要点：定义（f (x+T)=f (x)，T 为周期）；常见周期结论（f (x+a)=-f (x)→T=2a；f (x+a)=1/f (x)→T=2a）；三角函数周期（正弦、余弦 T=2π/|ω|，正切 T=π/|ω|）。 0. 考法：求周期（客观题）、利用周期性求函数值（如 f (2025) 转化为 f (1)）。 1. 对称性 0. 核心要点：轴对称（f (x+a)=f (-x+b)→对称轴 x=(a+b)/2；偶函数关于 y 轴对称）；中心对称（f (x+a)+f (-x+b)=2c→对称中心 ((a+b)/2,c)；奇函数关于原点对称）。 0. 考法：判断对称轴 / 对称中心（多选题）、利用对称性求函数值（客观题）。 二、综合核心考点（中档题，核心得分区） （一）性质综合应用（高考高频，客观题 + 解答题第一问） 1. 单调性 + 奇偶性 0. 核心逻辑：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；利用性质解不等式（如 f (x) 为奇函数且增，f (x-1)>0→x-1>0）。 0. 考法：解函数不等式（单选题）、比较抽象函数值大小（多选题）。 1. 周期性 + 对称性 0. 核心逻辑：若函数既关于直线 x=a 对称，又关于直线 x=b 对称（a≠b），则周期 T=2|a-b|；若既关于点 (a,0) 中心对称，又关于点 (b,0) 中心对称（a≠b），则周期 T=2|a-b|。 0. 考法：推导周期 + 求函数值（客观题中档题）。 1. 复合函数性质 0. 核心逻辑：单调性 “同增异减”（内层与外层单调性相同则复合为增，相反则为减）；奇偶性（内层为奇、外层为偶→复合为偶；内层为偶→复合为偶）。 0. 考法：判断复合函数单调性 / 奇偶性（多选题）、求复合函数值域（客观题）。 （二）函数零点与方程根（中档题，必考） 1. 核心要点：零点定义（f (x)=0 的实数根，即函数图像与 x 轴交点横坐标）；零点存在定理（连续函数 f (a)・f (b)<0→(a,b) 内有零点）；零点个数判断（数形结合，转化为两个函数图像交点个数）。 1. 考法：判断零点所在区间（单选题）、求零点个数（多选题）、已知零点个数求参数范围（填空题 / 解答题）。 三、高阶应用考点（难题，拉分区间） （一）恒成立 / 存在性问题（解答题高频，12 分左右） 1. 核心要点： 0. 恒成立：∀x∈D，f (x)≥a→f (x) min≥a；∀x∈D，f (x)≤b→f (x) max≤b； 0. 存在性：∃x∈D，f (x)≥a→f (x) max≥a；∃x∈D，f (x)≤b→f (x) min≤b； 0. 常用方法：分离参数法（优先，转化为 a≤f (x) min 或 a≥f (x) max）；分类讨论法（参数无法分离时，按参数范围分类）。 1. 考法：已知恒成立 / 存在性条件求参数范围（解答题第 2 问）。 （二）导数与函数性质结合（压轴题，12-14 分） 1. 核心要点： 0. 导数判断单调性（f’(x)>0→增区间，f’(x) 减区间）； 0. 导数求极值 / 最值（f’(x)=0 求极值点，比较极值与端点值得最值）； 0. 导数研究零点（利用单调性 + 极值判断零点个数，或已知零点个数求参数）。 1. 考法：导数求单调区间 / 极值 / 最值（解答题核心）、导数结合零点个数讨论（压轴题）。 （三）实际应用与分段函数（中档题，5-12 分） 1. 核心要点：分段函数模型（如计费问题、税收问题）；实际问题转化（设变量→列函数解析式→求定义域→求最值）。 1. 考法：分段函数求值 / 解不等式（客观题）、实际问题最值求解（解答题）。 四、高考考法总结 1. 客观题（5-10 分）：聚焦基础考点（定义域、解析式、单一性质、零点区间）和简单综合（单调性 + 奇偶性、复合函数性质），难度低 - 中档； 1. 解答题（12-14 分）：聚焦高阶应用（导数 + 性质、恒成立 / 存在性、零点讨论），难度中档 - 难题，强调逻辑推导和步骤规范； 1. 新高考趋势：多选题增加性质辨析难度，解答题强化导数工具应用，减少纯记忆考点，侧重 “性质 + 方法 + 逻辑” 的综合考查。 一、单选题 1．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 2．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京石景山·二模）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·北京朝阳·二模）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（   ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 7．（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（   ） A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片 9．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 10．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·四川成都·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约（     ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?（参考数据：） A．1880年 B．2580年 C．3550年 D．4150年 12．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·河北邯郸·三模）若函数有奇数个零点，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．16 D．18 二、多选题 17．（2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式，其中k为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的.根据上述模型，下列说法正确的是（   ） 参考数据：，，. A．当淋溶深度dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25% B．要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dm C．在淋溶深度的基础上再增加1dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半 D．若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的20% 18．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，其图象的一个对称中心为，下列说法正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．若函数在区间上单调，则的最大值为 C．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得到的图象 D．若函数在区间上有唯一零点，则 19．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 20．（2026·陕西榆林·三模）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数 C．任意 D．函数有且仅有2个零点 21．（2026·重庆·三模）已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 22．（2026·河南周口·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．的最小正周期为 23．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线与直线有三个不同的交点 C．该曲线可以成为一个函数的图象 D．当时， 三、填空题 24．（2026·山东济南·模拟预测）若函数在[0,4]上恰有2个零点，则符合条件的a的个数为________． 25．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 26．（2026·贵州安顺·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数的解析式：_____________．（答案不唯一） ①；②恰有两个不同的零点；③． 27．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为___________． 28．（2026·河北沧州·三模）函数若，则________． 四、解答题 29．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 30．（2026·上海徐汇·二模）已知函数，其中且. (1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由； (2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $