8.4.1　平面 同步练习题 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.1　平　面 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.了解平面的概念，理解空间点、直线、平面之间的位置关系并会用规范的语言表达. 2.了解三个基本事实和三个推论. 3.理解平面的特点和基本性质.(难点) 4.共线、共面、共点问题的证明与判断.(重点) 【例题精练】 【例1】把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． ①：________； ②且：________； ③：________； ④：________． 【答案】 C D A B 【分析】由符号语言转化图形语言可得正确答案. 【详解】①，表示点在平面外且直线在平面内，故C符合； ②且，表示平面相交于直线， 点在平面外且点在平面外，故D符合； ③，表示直线在平面外，直线与平面相交于点A，故A符合； ④， 表示平面相交于直线，平面相交于直线，平面相交于直线， 直线相交于点，故B符合. 故答案为：①C；②D；③A；④B. 【例2】在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【分析】（1）通过证明直线与、分别相交于同一点，得出与相交，从而证明四点共面； （2）先确定平面与平面的交线为，再根据在平面内，得出与平面的交点即为与的交点. 【详解】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 【例3】如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 【例4】如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析 (2)面积为，周长为． 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上即可； （2）连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，，得到四边形即为所求截面，再求面积即可． 【详解】（1）证明：平面平面， 由于，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面， 所以，即点Q在直线上； （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． 【例5】如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形中有一对平行直线即可. （2）要证明三点共线，可证明点在直线上，即证明点在平面与平面的交线上即可. 【详解】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 【A组基础达标】 一、单选题 1．若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据点线面的关系结合元素和集合、集合与集合的关系直接写出即可. 【详解】因为直线和平面都是由点形成的， 所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为， 根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为. 故选：B 2．下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据公理2以及推论判断A、B、D，根据异面直线判断C. 【详解】A：根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A错误； B：一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B错误； C：两条直线不可以确定一个平面，比如两条异面直线不能确定一个平面，故C错误； D：两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面， 由公理1知，三条直线都在此平面内，故D正确. 故选：D. 3．设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】对于A，举例，当与相交时，可能满足，即可判断；对于B，根据常识判断即可；根据基本事实2判断C；根据基本事实3判断D. 【详解】对于A，由，则或与相交， 当与相交时，可能满足，故A错误； 对于B，由，，易得，故B正确； 对于C，根据基本事实2可知，由，，，可得，故C正确； 对于D，根据基本事实3可知，由，，，，可得，故D正确. 故选：A 4．如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A.    5．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【详解】如图， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 6．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 二、多选题 7．如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】AB 【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项. 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点． 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确． 故选：AB． 8．用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是（ ） A．锐角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．六边形 【答案】BC 【分析】根据正方体的截面特点，对四个选项一一判断. 【详解】对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.    如图所示的截面三角形. 设，所以，，. 所以由余弦定理得： 所以为锐角.同理可求：为锐角，为锐角.所以为锐角三角形.故A正确. 对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形， 可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.    B选 对于C：当截面为五边形时，不可能出现正五边形. 对于D，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形.    故选：BC. 三、填空题 9．三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 【答案】4 【分析】先根据立体几何结论确定，再利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意，三个互相平行的平面把空间分成部分，所以， 又，所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4 10．如图，在正方体中，平面平面______．    【答案】 【分析】利用平面基本事实推理即得. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面； 同理平面，平面，所以平面平面. 所以平面平面. 故答案为： 四、解答题 11．如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点． (1)画出过点，，的平面与平面的交线； (2)设平面，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）通过平面，将延长后必与相交，设交点为，连接，即为过点，，的平面与平面的交线. （2）由可知，进而可通过勾股定理求得的长. 【详解】（1）如下图所示，∵平面，与不平行，∴与必相交．设交点为，连接． ∵平面，平面， ∴过点，，的平面与平面的交线为. （2）∵，∴，∴． ∴. 12．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【B组能力提升】 1．如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（    ）    A．三角形（含内部） B．矩形（含内部） C．圆柱面的一部分 D．球面的一部分 【答案】A 【分析】根据题意首先保持在线段上不动（与重合），研究当点运动时的轨迹为线段，再根据点在线段上运动的轨迹即可得出点的轨迹为及其内部的所有点的集合. 【详解】如下图所示：    首先保持在线段上不动，假设与重合 根据题意可知当点在侧棱上运动时，若点在点处时，为的中点， 此时由可得满足， 当点运动到图中位置时，易知，取，可得， 取棱上的点，满足，根据三角形相似可得三点共线， 当点在侧棱上从点运动到点时，点轨迹即为线段； 再研究当点在线段上运动， 当点在线段上从点运动到点时，点的轨迹是线段， 当点在线段上从点运动到点时，点的轨迹是线段， 因此可得，当点是侧棱上运动时，在线段上运动时，点的轨迹为及其内部的所有点的集合； 即可得的轨迹为三角形（含内部）. 故选：A 2．（多选）如图，在正四棱柱中，，，，平面将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为，下部分对应的几何体为，则（    ） A．的体积为2 B．的体积为12 C．的外接球的表面积为 D．平面截该正四棱柱所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】根据题意求截面，可知为直三棱柱，进而可求相应的体积，即可判断AB；利用补形法结合长方体的性质求外接球的半径和表面积，即可得判断C；可知平面截该正四棱柱所得截面为矩形，即可得面积判断D. 【详解】设， 连接，，， 由长方体的性质可知：，可知A，，，四点共面， 所以为直三棱柱，其体积为，故A正确； 的体积为，B错误． 的外接球即为长方体的外接球， 所以的外接球的半径， 则的外接球的表面积为，C正确． 平面截该正四棱柱所得截面为矩形，其面积为，D正确． 故选：ACD. 3．在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②答案见解析 【分析】（1）根据平面的基本事实3即可得证； （2）①先分别延长交于点R，连接，然后利用，得出，再利用，可以得出与的交点为的三等分点，即为点Q，从而得证. ②利用平行直线共平面即可作出截面图. 【详解】（1）证明：如图，连接， 面，且面是面与面的公共点， 面， 面面， 是面与面的公共点， 面面， 又面面， 是面与面的公共点， ，即三点共线．    （2）①证明：如图，分别延长交于点R，连接， 直线面， ， 又， 与的交点为的三等分点，即点Q， 三线共点．      ②解：如图，六边形即为所求作的截面．    4．如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，，    棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由； 【答案】存在点位于的中点处时，点F在平面上理由见解析. 【分析】运用经过两条平行线有且只有一个平面证明即可. 【详解】存在点位于的中点处时，点F在平面上. 理由如下：当点位于的中点时，连接、，如图所示，    因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又是的中点，为的中点，所以， 所以， 所以点、、、四点共面，即点F在平面上. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4.1　平　面 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.了解平面的概念，理解空间点、直线、平面之间的位置关系并会用规范的语言表达. 2.了解三个基本事实和三个推论. 3.理解平面的特点和基本性质.(难点) 4.共线、共面、共点问题的证明与判断.(重点) 【例题精练】 【例1】把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． ①：________； ②且：________； ③：________； ④：________． 【例2】在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【例3】如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【例4】如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【例5】如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【A组基础达标】 一、单选题 1．若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条直线确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 3．设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 4．如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 5．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 6．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 8．用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是（ ） A．锐角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．六边形 三、填空题 9．三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 10．如图，在正方体中，平面平面______．    四、解答题 11．如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点． (1)画出过点，，的平面与平面的交线； (2)设平面，求的长． 12．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证： (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【B组能力提升】 1．如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（    ）    A．三角形（含内部） B．矩形（含内部） C．圆柱面的一部分 D．球面的一部分 2．（多选）如图，在正四棱柱中，，，，平面将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为，下部分对应的几何体为，则（    ） A．的体积为2 B．的体积为12 C．的外接球的表面积为 D．平面截该正四棱柱所得截面的面积为 3．在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 4．如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，， 棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $