题海探秘03 组合与组合数9考点复习指南-2025-2026学年高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版选择性必修第三册）

本讲义聚焦高中数学组合与组合数核心知识点，系统梳理组合定义（含与排列异同）、组合数公式及性质，构建从概念辨析、计算、方程不等式到几何问题、分组分配、相同元素分配及综合应用的递进式学习支架。 该资料以问题链驱动，通过课堂例题（如判断车票与票价是否为组合问题）培养数学眼光，结合正六边形顶点构三角形等几何问题提升数学思维，题型分层（选择、填空、解答）助力课中教学与课后查漏，强化数学语言表达与应用意识。

2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘03 组合与组合数9考点复习指南 知识点01：组合 （1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. （2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. （3）组合与排列的异同 相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”. 不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 知识点02：组合数与组合数公式 （1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. （2）组合数公式 或：（，）. 规定： 知识点03：组合数的性质 （1）性质1： （2）性质2： 考点1 组合的概念 1．（2026高二·全国·课堂例题）组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 【答案】答案见解析 【分析】由组合定义即可解答. 【详解】组合是从个不同元素中取出个元素并成一组，不考虑元素的顺序。 因为是从个不同元素中选取，所以是无放回抽取. 2．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题；组合问题 (3)排列问题 (4)组合问题 【分析】根据排列与组合的定义进行判断即可. 【详解】（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题. （2）因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. （3）因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题. （4）因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. 3．【多选】（2026高二·全国·课后作业）给出下列问题，是组合问题的是（   ） A．从四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法 B．从四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 【答案】AC 【分析】根据有序与否，判断所述问题是排列问题还是组合问题. 【详解】对于A，2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．所以A正确. 对于B，2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．所以B错误. 对于C，单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．所以C正确. 对于D，冠亚军是有顺序的，是排列问题．所以D错误. 故选：AC. 4．【多选】（2026高二·全国·专题练习）下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合. 【答案】BCD 【分析】抓住组合问题的核心是 “只选不排”（不考虑选取元素的顺序），排列问题则 “既选又排”（需考虑元素顺序），依次分析选项即可. 【详解】选项A，组成三位数时，数字顺序会影响结果（如 123 和 321 是不同的数），属于排列问题； 选项 B，选 5 人组成篮球队，只需确定人员，无需考虑队员的顺序，属于组合问题； 选项 C，抽样调查只需确定 2 人，无需考虑这 2 人的顺序，属于组合问题； 选项 D，集合中的元素具有无序性，选 2 个数组成集合不考虑顺序，属于组合问题； 故选：BCD 5．（2026高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 考点2 组合数的计算 6．（2026高二·重庆·期中）计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 【答案】A 【详解】. 7．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．36 【答案】C 【详解】 8．（2026高二·山东济南·期中）___________． 【答案】 【详解】. 9．（2026高二·北京海淀·期中）___________．（用数字作答） 【答案】330 【详解】. 考点3 组合数方程与不等式 10．（2026高二·河北衡水·期中）已知，则__________（用数字作答）. 【答案】 【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，结合可求得的值. 【详解】由得，因为，解得. 11．（2026高二·江苏镇江·期中）若，则__________． 【答案】6或2 【详解】由组合数的性质可知：或， 解得或2，经检验均满足题意. 12．（2026高二·浙江·期中）不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】借助组合数定义及性质计算即可得. 【详解】因为，则使得的可取. 13．（2026高二·江西南昌·阶段检测）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 考点4 组合数的性质及其应用 14．（2026高三·全国·专题练习）证明： 【答案】证明见解析 【分析】从个不同元素中取个不同元素的种数与余下的个元素的种数相同可得结论. 【详解】从个不同元素中取个不同元素的种数为， 与余下的个元素的种数应该相同，从而． 15．【多选】（2026高二·江苏淮安·阶段检测）对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数、组合数的性质或排列数、组合数的计算公式即可求解. 【详解】根据组合数的性质或组合数的计算公式， 所以 ，所以A选项正确； ， ， 所以，所以B选项正确； ，而，所以C选项错误； ， ，所以D选项正确． 16．【多选】（2026高二·安徽·期中）下列各项中，正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由组合数计算公式、组合数性质、排列数计算公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，因为，A正确； 对于选项B，根据组合数性质知道，B错误； 对于选项C，，， 因此，C正确； 对于选项D，全班n个男生n个女生，选取n个人留下来搞卫生， 左边是从性别的角度考虑，用分类加法得， 所以.D正确. 考点5 简单的组合问题 17．（2026高二·安徽安庆·期中）某班有4名男生和3名女生，现从中选出3人参加校运动会志愿者服务，要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（    ） A．24种 B．30种 C．35种 D．40种 【答案】B 【详解】选择男生1人，女生2人，共有种情况； 选择男生2人，女生1人，共有种情况； 合计：种情况. 18．（2026高二·北京·期中）从这个数字中选取个不同的数字组成一个集合，则不同的集合有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】从这个数字中选取个不同的数字组成一个集合， 则不同的集合有. 19．（2026高二·河北衡水·期中）某班有男生5人､女生4人，现要从中选出2人参加活动，要求恰好1男1女，则不同的选法共有（    ） A．9种 B．14种 C．20种 D．40种 【答案】C 【详解】先选1名男生，有（种）选法；再选1名女生，有（种）选法. 根据分步乘法计数原理得不同的选法共有（种）. 20．（2026高二·重庆·期中）现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（   ） A．15 B．30 C．31 D．32 【答案】C 【分析】根据题意，分别任选一张、两张、三张、四张或全选，结合组合数求组成的币值种数. 【详解】根据题意一共可以组成的币值种数为种． 21．（2026高二·甘肃酒泉·期中）书架上有5本不同的小说和4本不同的散文，随机取出2本，则不同的取法有（    ） A．10种 B．20种 C．36种 D．72种 【答案】C 【详解】书架上共有 本互不相同的书，从9本中随机取2本，共有种取法. 22．（2026高二·贵州贵阳·月考）从贵阳市清华中学高二年级的个班中选出两个班分别参加月日早上和下午的植树节活动，共有多少种不同选法？（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】从贵阳市清华中学高二年级的个班中选出两个班，有种选法， 将选出的两个班安排到月日早上和下午的植树节活动，有种方法， 所以共有种不同选法. 23．（2026高二·全国·课后作业）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有（   ） A．26种 B．84种 C．35种 D．21种 【答案】C 【分析】由题意知挑选5名队员参加比赛，种子选手必须在内，即需要的5名运动员已经确定2名，只要从余下的7名非种子队员中选择3个即可，利用组合数写出结果． 【详解】从7名非种子队员中选出3人有（种）选法． 故选：C． 24．（2026高二·上海·期中）某校开设5门知识类选修课和4门技能类选修课.学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有______种.（用数字作答） 【答案】 【详解】由题意可得不同的选课方案共有. 25．（2026高二·山东枣庄·期中）6件产品中有2件次品，4件正品. (1)从中任意抽取3件，抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？ (2)从中任意抽取3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (3)对这6件产品一一进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （ⅰ）若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ （ⅱ）若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ 【答案】(1)12 (2)16 (3)（ⅰ）24（ⅱ）114 【分析】（1）利用组合知识以及乘法计数原理计算即可得； （2）利用组合知识以及乘法计数原理计算即可得； （3）（ⅰ）由题意可得第1次和第4次为次品，第2，3次测试为正品，再利用排列知识以及乘法计数原理计算即可得；分第1，2次测出次品结束、前2次有1次测出次品，第3次测出次品结束、前3次有1次测出次品，第4次测出次品结束、前4次全部测出正品等不同情况进行讨论即可得. 【详解】（1）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从4件正品中抽出2件的抽法有种， 因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为； （2）抽出的3件中至少有1件次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为：； （3）（ⅰ）第1次和第4次为次品，第2，3次测试为正品，共有； （ⅱ）第1，2次测出次品结束，有种； 前2次有1次测出次品，第3次测出次品结束，有种； 前3次有1次测出次品，第4次测出次品结束，有种； 前4次全部测出正品，有种； 故共有种. 考点6 与几何图形有关的组合问题 26．（2026高二·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合间接法可得结果. 【详解】在正六边形中，为其中心，如下图所示： 从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 所以，能构成的三角形的个数为个， 其中，构成的等边三角形分别为、、、、、 、、，共个， 所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个. 故选：A. 27．（2026高二·山东烟台·月考）正八边形的对角线的条数为（    ） A．20 B．28 C．40 D．56 【答案】A 【分析】正八边形中，分析可得：任取2个顶点可以得到一条线段，利用组合数计算可得得到线段的数目，排除其中正八边形的8条边即可得答案． 【详解】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，则可以得到条线段，其中包括了正八边形的8条边，则正八边形对角线的条数为条. 故选：A. 28．（2026高三·上海·课堂例题）有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作__________个三角形．（    ） A．28 B．42 C．56 D．112 【答案】C 【分析】因选定三点为顶点的三角形只有一个，故是组合问题，列式求解即得. 【详解】因8个点中，任意三点不共线，且选定三点为顶点的三角形只有一个， 故这样的三角形有个. 故选：C. 29．（2026高二·上海长宁·期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有______个. 【答案】8 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“从5个点中任取3个取法”，排除其中“不能构成三角形”的取法，分析可得答案． 【详解】根据题意，如图：    在A、B、C、D、O中，任取3个点，有种取法， 其中不能构成三角形的有AOC和BOD两种取法， 则以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有个． 故答案为：8． 30．（2026高二·山东青岛·期中）以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是______． 【答案】6 【分析】 根据题意结合组合数运算求解. 【详解】由题意可得：四棱锥的顶点为三棱柱的顶点，底面为三棱柱的侧面且与该顶点不共面， 所以四棱锥的个数是. 故答案为：6. 31．（2026·浙江·模拟预测）如图，在一个的田字格点阵中，任意选取两个不同的点，则这两个点所在直线恰好经过点阵中的三个点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求9个点中任取2个不同的点的基本事件的个数，再求两点所在直线恰好经过点阵中的3个点的基本事件的个数，运用古典概型求概率即可. 【详解】因为9个点中任取2个不同的点的基本事件有个， 这两点所在直线恰好经过点阵中的3个点的基本事件有个， 所以这两点所在直线恰好经过点阵中的3个点的概率为. 故选：C. 32．（2026高二·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 【答案】(1)31 (2)80 (3)105 【分析】（1）直接法按共线点的选取情况分类，结合分类加法计数原理计算；间接法先求9个点无限制确定直线的总组合数，再减去4个共线点多算的直线数，两种方法均可得到结果； （2）直接法按从4个共线点中选取2个、1个、0个点的情况分类，分别结合另5个点的选取计算有效三角形数；间接法先求9个点中任取3点的总组合数，再减去4个共线点中取3点的组合数。 （3）直接法按从4个共线点中选取0个、1个、2个点的情况分类，结合另5个点的选取计算有效四边形数；间接法先求9个点中任取4点的总组合数，再减去4个共线点中取3个、4个点的组合数。 【详解】（1）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：确定1条直线； 第二类：以外的5个点可确定条直线； 第三类：从中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线． 根据分类加法计数原理，共有不同直线（条）． 法二：（间接法）： 可确定直线（条）． （2）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：从中取2个点，可得个三角形； 第二类：从中取1个点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形．共有（个）三角形． 法二：（间接法）： 可确定三角形（个）． （3）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 分三类：第一类，从5个不共线点中取4个点，有个； 第二类，从5个不共线点中取3个点和4个共线点中取1个点，有个； 第三类，从5个不共线点中取2个点和4个共线点中取2个点，有个。 故共有四边形（个）。 法二：（间接法）： 可确定四边形（个）． 考点7 分组、分配问题 33．（2026高三·安徽阜阳·月考）现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知不同装法的总数为， 事件：“恰好有一个盒子中均为一级果”对应的装法数为， 因此事件发生的概率，故选项D正确． 34．（2026高二·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 【答案】A 【分析】先将2名英语教师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他1人到人数少的一个校区即可. 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法， 然后再分到两个校区，共有种方法， 第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区， 根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有. 故选：A 35．（2026高三·陕西西安·月考）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】B 【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解； 【详解】两名语文老师由种分配方程； 数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分， 或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有, 所以不同的分配方案有， 故选：B 36．（2026高二·贵州·期中）春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【分析】先对4人分组，再进行全排列，根据分步计数求解即可.． 【详解】4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班，必然是1,1,2的人数分配. 先分组：从4人中选2人分为1组，且甲、乙两人不同组，有种， 再排列：将3组分配到3天，有种， 所以总方案数为：种. 37．（2026高二·重庆·期中）重庆市第二外国语学校计划在5月份安排一共6名党员教师到高二年级4个不同的班级开展党史宣讲活动，每个党员教师只能安排一个班级，每个班级至少安排1人，其中,必须安排在同一个班级则不同的安排方法共有（    ） A．96种 B．144种 C．240种 D．384种 【答案】C 【分析】分类计算，按分组：从中选2人捆绑在一起，也捆绑在一起，6人变成四个元素全排列得；按分组：从中选1人与捆绑在一起，6人变成四个元素全排列. 【详解】,必须安排在同一个班级，则还要从中选2人到同一班级，这样方法数为. 若去的班级有3人，则方法数为， 所以总方法数为. 38．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先甲去或班的总数为，进一步由组合数排列数应用条件概率即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去班，所有实习生分配方案总数为， 甲去班的概率相等，所以甲去或班的总数为， 甲不去班，B班恰有3名实习生的情形一，甲去班且班有3名实习生共有种； 情形二，甲去班，班有3名实习生共有种， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的共有种， 设实习生甲不去A班为事件，设B班恰有3名实习生为事件， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为. 39．（2026高二·陕西西安·期中）某影院近期只播A、B、C、D四部热门电影，小帅和他的同学一行四人决定每人选择一部观看.若小帅要看D，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出总事件数，再对观看电影D的人数分类讨论，第一种：2人同看电影D，第二种2人同看的电影不是D.最后结合古典概型的概率公式求解. 【详解】总事件数：小帅看电影D，其余3名同学可以从4部电影中任选1部，所以总事件数为 “恰有两人看同一部电影”，分两种情况讨论： 1）2人同看电影D： 2）2人同看的电影不是D： 所以恰有两人看同一部电影的概率为：. 40．（2026高二·四川遂宁·月考）有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ （注意：请写出式子再写计算结果） 【答案】(1)243； (2)150； (3)12. 【分析】（1）利用分步乘法计数原理列式计算即得. （2）把5个小球按分组，再放入3个不同盒子即可. （3）按号盒子放3个球和放2个球分类，再求出每类的放法数即可. 【详解】（1）依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是. （2）将5个球分成3组，有种方法，再将分成的3组放到3个不同盒子，有种放法， 所以每个盒子不空的不同放法种数是. （3）号盒子放3个球，且每个盒子不空，共有种放法； 号盒子放2个球，且每个盒子不空，将另3个球分成2组，放入余下两个盒子，共有种放法， 所以所求不同放法种数是. 41．（2026高二·四川眉山·期中）高二某班计划从3名男生，3名女生中选出3人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？ (3)若要求选出的3人中有2名男生1名女生，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)20 (2)19 (3)54 【详解】（1）从6名学生中选出3人不同的选择方法有种； （2）选出的3人中至少有1名男生，不同的选择方法有种； （3）选出的3名学生中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作不同的选择方法 有种； 42．（2026高二·全国·单元测试）2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．随着航天技术的飞速发展，中国航天事业迎来了新的高峰．为了执行一次重要的航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）选择4人作为航天员参加该次任务． (1)若参加此次航天任务的航天员要求既有男性也有女性，则共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，则共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】(1)68种 (2)2520种 【分析】（1）航天员要求既有男性也有女性，先根据人数分类，再结合组合数公式用分步乘法计数原理求解； （2）先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，再分配到A，B，C实验室即可． 【详解】（1）由题意，分3种情况讨论： 有1名女性，3名男性，共有种选法； 有2名女性，2名男性，共有种选法； 有3名女性，1名男性，共有种选法． 所以参加此次航天任务的航天员既有男性也有女性的选法共有（种）． （2）由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组， 再分配到A，B，C实验室，共有种方法， 所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式． 43．（2026高二·新疆吐鲁番·期中）现有本班5名男生和4名女生，求 (1)若从这5名男生中选出2名，分别担任体育委员和劳动委员；再从4名女生中选出3名，分别担任班长、学习委员、和纪律委员，一共有多少种选法？ (2)若从5名男生和4名女生中各选出2人参加中华优秀传统文化知识竞赛，有多少种选法？ (3)若从5名男生和4名女生中各选出2人，男生一组，女生一组，去敬老院参加敬老活动，其中一组负责拖地，另一组负责叠床铺，有多少种选法？. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用排列数列式，再结合乘法原理计算求解； （2）应用组合数列式，再结合乘法原理计算求解； （3）先用间接法求出从中选4人，再分配2组人到2个不同岗位即可. 【详解】（1）从这5名男生中选出2名，分别担任体育委员和劳动委员有种； 从4名女生中选出3名，分别担任班长、学习委员、和纪律委员有种.， 一共有种选法； （2）从中选出男、女各2名的不同选法有种. （3）从中选出男、女各2名一组负责拖地，另一组负责叠床铺，有种. 考点8 相同元素分配问题 44．（2026高二·河北保定·期中）将8棵相同的小多肉种进4个不同的花盆，要求每个花盆至少种1棵小多肉，则总的种法数为（    ） A．70 B．56 C．35 D．20 【答案】C 【详解】由8棵相同的小多肉，种进4个不同的花盆，每个花盆至少1棵， 相当于把8个相同的元素分成4组，每组至少1个， 需要在8个元素之间的7个空隙中插入3个隔板， 即，所以总的种法数为. 45．（2026高二·江苏淮安·月考）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，结合隔板法可得结果. 【详解】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球， 由隔板法可知，不同的分配方案种数为. 故选：C. 46．（2026高二·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 【答案】A 【分析】相同元素分组可以采用“隔板法”求解. 【详解】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完， 即将个球分成了份： 个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份， 即：种. 故选：A. 47．（2026高三·湖南长沙·月考）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（    ） A．16 B．18 C．27 D．28 【答案】B 【分析】根据根据加法和乘法原理，结合组合的定义进行求解即可. 【详解】“每校至少一个名额的分法”的方法数是至少有两个学校的名额数相同”的分配方法数可以从反面入手去求，即先求出“出现相同名额”的分配方法数，第一种情形是两个学校名额数相同：有三种情形，共有9种分法；第二种情形是三个学校名额数均相同，有1种分法，所以至少有两个学校的名额数相同”的分配为种.所以，满足条件的分配方法共有种. 故选：B 48．（2026高二·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 49．（2026高二·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法? 由隔板法可得，方程的正整数解共有组． 故选：C 50．（2026高二·山东·月考）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 【答案】B 【分析】将系数相同的变量合并换元，即设， 讨论和时的取值，利用隔板法求出解的组数，最后由分类加法计数原理即可得出答案. 【详解】对于方程， 设，则， 当时，，因为为偶数，则也为偶数，所以可以为， 时，只有一种解，此时， 由隔板法可知，将8个单位长度分成3个整数部分，一共有种分法， 所以共有组解，同理可得其他的组数， 所以当时，可得解的组数为； 当时，，因为为偶数，则为奇数，所以可以为， 利用隔板法可得解的组数为， 当时，因为，所以此时，不合题意， 综上，方程的正整数解共有组． 故选：B. 考点9 排列组合的综合问题 51．（2026高二·河北沧州·期中）已知甲、乙、丙等6位同学站成一排照相． (1)若甲、乙2位同学站在两端，有多少种排法？ (2)若甲、乙必须相邻，且都不与丙相邻，有多少种排法？ (3)若甲站在乙的左边，乙站在丙的左边（其中甲、乙与乙、丙都不一定相邻），有多少种排法？（最后结果都用数字作答） 【答案】(1)48 (2)144 (3)120 【详解】（1）第1步：先安排甲、乙2人，有种方法， 第2步：再安排余下的4人，有种方法，所以共有种方法； （2）第1步：先排余下的3人，有种方法； 第2步：捆绑插空．产生了4个空位，将甲、乙2位同学捆绑在一起，看成一个元素，再与丙插到4个空位中的2个空位，有种方法； 第3步：松绑．将甲、乙2位同学松绑，甲、乙2位同学内部再全排列，有种方法； 所以共有种方法； （3）第1步：先从6个位置中任取3个位置，有种方法， 第2步：把甲、乙、丙这3人安排到这3个位置中去，因为这3个人顺序一定，所以只有一种方法； 第3步：将剩下的3个人安排到剩下的3个位置，共有种方法， 所以共有＝20×6＝120种方法． 52．（2026高二·四川凉山·期中）从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人. (1)项目组有多少种不同的选派方案？ (2)现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案. 【答案】(1)60 (2)660 【分析】（1）结合题意分选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师两种情况求解即可； （2）结合（1）分两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题意可得，选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师， 若选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师，此时有种不同的选派方案； 若选派4人中可以有2名工程师和2名数据分析师，此时有种不同的选派方案； 综上：项目组有60种不同的选派方案. （2）若选派4人中有1名工程师和3名数据分析师， 若3名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案， 若3名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案； 若选派4人中有2名工程师和2名数据分析师， 若2名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案， 若2名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案； 综上：有种不同的分配方案. 53．（2026高二·江苏无锡·期中）现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子. (1)当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） (3)当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） 【答案】(1) (2) (3)540 【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解； （2）根据组合以及分步乘法计数原理即可求解； （3）根据组合以及分类加法计数原理即可求解. 【详解】（1）当每个盒子的球数大于等于0时，根据分步乘法计数原理共有种不同放法； （2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有种不同放法； （3）当每个盒子的球数不小于1时，共有三类： 第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有种； 第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有种； 第三类，每盒2个球，有种， 所以共有540种不同放法. 54．（2026高二·浙江·期中）以下各小题要求列出算式，并计算出结果．某高校组织1位老师带领3名男生、3名女生参加志愿服务活动． (1)活动开始前7人排成一排合影留念 ①若要求老师站在中间，甲、乙两位学生均与老师相邻，共有多少种不同的排法？ ②若老师站在队列的排头或排尾且女生互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)现从6名学生中选1人与老师留在原地，其余5人分配到3个服务站点进行志愿服务． 要求每个站点至少一名学生，每名学生只能分配到一个站点，共有多少种分配方式？ 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查排列组合的综合应用，涉及特殊元素定位、相邻问题、不相邻问题、分组分配等问题. （1）①老师位置固定在中间，甲乙两位学生必须与老师相邻，先安排甲乙两人的位置，再对其余无限制的4名学生进行全排列，根据分步乘法计数原理求解； ②先安排老师在排头或排尾，再排男生，最后利用插空法安排互不相邻的女生，分步完成后用乘法计数原理计算； （2）先从6名学生中选出1人与老师留在原地，再将剩余5名学生按，，或，，两种人数分组方式进行分组，最后将各组分配到个服务站点，利用先分组后分配的方法求解. 【详解】（1）①因为老师站在最中间，甲、乙两名学生站在老师的两侧， 所以老师站在第4个位置，甲、乙两名学生的排序有种． 再排其他学生，有种，由分步乘法计数原理，不同的排法有种． ②老师排在排头或排尾有种方法,其余6个位置用插空法处理：先排3名男生有种排法，形成4个空位；再将3名女生排入这4个空位，有种排法由分步乘法计数原理，不同的排法有种． （2）因为要从6名学生中选出1名与老师留在原地，有种选法． 其余5名同学分配到3个站点，可分为1人、2人、2人，或分为1人、1人、3人． 如果分为1人、2人、2人，有种， 如果分为1人、1人、3人，有种， 再将这3组对应3个站点进行全排列， 不同的分配方式有种． 55．（2026高二·山东滨州·期中）现有编号分别为的6个球.（最终结果用数字作答） (1)把这6个球排成一排，球不在排头，球不在排尾，有多少种排法？ (2)把这6个球全部放入4个不同的盒子，每盒至少放1个球，有多少种放法？ (3)把这6个球分成3组，有多少种分法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）容斥原理处理受限位置； （2）分组分配问题，先分（含去重）后排； （3）无序分组的平均分组去重技巧． 【详解】（1）个球全排列的情况有种， 在排头的情况有种， 在排尾的情况有种， 在排头且在排尾的情况有种， 所以个球排成一排，不在排头且不在排尾的情况有种． （2）第一步，个球分成组，有两种分组方式： ①：种； ②：种， 第二步，分配到4个不同的盒子：， 所以个球全部放入个不同的盒子，每盒至少一球的情况有种． （3）个球分成组，有三种分组方式： ①：种； ②：种， ③：种， 所以个球分成组的情况有种. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘03 组合与组合数9考点复习指南 知识点01：组合 （1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. （2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. （3）组合与排列的异同 相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”. 不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 知识点02：组合数与组合数公式 （1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. （2）组合数公式 或：（，）. 规定： 知识点03：组合数的性质 （1）性质1： （2）性质2： 考点1 组合的概念 1．（2026高二·全国·课堂例题）组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 2．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ 3．【多选】（2026高二·全国·课后作业）给出下列问题，是组合问题的是（   ） A．从四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法 B．从四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 4．【多选】（2026高二·全国·专题练习）下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合. 5．（2026高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 考点2 组合数的计算 6．（2026高二·重庆·期中）计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 7．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．36 8．（2026高二·山东济南·期中）___________． 9．（2026高二·北京海淀·期中）___________．（用数字作答） 考点3 组合数方程与不等式 10．（2026高二·河北衡水·期中）已知，则__________（用数字作答）. 11．（2026高二·江苏镇江·期中）若，则__________． 12．（2026高二·浙江·期中）不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 13．（2026高二·江西南昌·阶段检测）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 考点4 组合数的性质及其应用 14．（2026高三·全国·专题练习）证明： 15．【多选】（2026高二·江苏淮安·阶段检测）对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 16．【多选】（2026高二·安徽·期中）下列各项中，正确的是（    ）. A． B． C． D． 考点5 简单的组合问题 17．（2026高二·安徽安庆·期中）某班有4名男生和3名女生，现从中选出3人参加校运动会志愿者服务，要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（    ） A．24种 B．30种 C．35种 D．40种 18．（2026高二·北京·期中）从这个数字中选取个不同的数字组成一个集合，则不同的集合有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 19．（2026高二·河北衡水·期中）某班有男生5人､女生4人，现要从中选出2人参加活动，要求恰好1男1女，则不同的选法共有（    ） A．9种 B．14种 C．20种 D．40种 20．（2026高二·重庆·期中）现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（   ） A．15 B．30 C．31 D．32 21．（2026高二·甘肃酒泉·期中）书架上有5本不同的小说和4本不同的散文，随机取出2本，则不同的取法有（    ） A．10种 B．20种 C．36种 D．72种 22．（2026高二·贵州贵阳·月考）从贵阳市清华中学高二年级的个班中选出两个班分别参加月日早上和下午的植树节活动，共有多少种不同选法？（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 23．（2026高二·全国·课后作业）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有（   ） A．26种 B．84种 C．35种 D．21种 24．（2026高二·上海·期中）某校开设5门知识类选修课和4门技能类选修课.学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有______种.（用数字作答） 25．（2026高二·山东枣庄·期中）6件产品中有2件次品，4件正品. (1)从中任意抽取3件，抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？ (2)从中任意抽取3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (3)对这6件产品一一进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （ⅰ）若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ （ⅱ）若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ 考点6 与几何图形有关的组合问题 26．（2026高二·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 27．（2026高二·山东烟台·月考）正八边形的对角线的条数为（    ） A．20 B．28 C．40 D．56 28．（2026高三·上海·课堂例题）有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作__________个三角形．（    ） A．28 B．42 C．56 D．112 29．（2026高二·上海长宁·期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有______个. 30．（2026高二·山东青岛·期中）以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是______． 31．（2026·浙江·模拟预测）如图，在一个的田字格点阵中，任意选取两个不同的点，则这两个点所在直线恰好经过点阵中的三个点的概率为（    ） A． B． C． D． 32．（2026高二·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 考点7 分组、分配问题 33．（2026高三·安徽阜阳·月考）现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（   ） A． B． C． D． 34．（2026高二·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 35．（2026高三·陕西西安·月考）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 36．（2026高二·贵州·期中）春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 37．（2026高二·重庆·期中）重庆市第二外国语学校计划在5月份安排一共6名党员教师到高二年级4个不同的班级开展党史宣讲活动，每个党员教师只能安排一个班级，每个班级至少安排1人，其中,必须安排在同一个班级则不同的安排方法共有（    ） A．96种 B．144种 C．240种 D．384种 38．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 39．（2026高二·陕西西安·期中）某影院近期只播A、B、C、D四部热门电影，小帅和他的同学一行四人决定每人选择一部观看.若小帅要看D，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（    ） A． B． C． D． 40．（2026高二·四川遂宁·月考）有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ （注意：请写出式子再写计算结果） 41．（2026高二·四川眉山·期中）高二某班计划从3名男生，3名女生中选出3人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？ (3)若要求选出的3人中有2名男生1名女生，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？ 42．（2026高二·全国·单元测试）2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．随着航天技术的飞速发展，中国航天事业迎来了新的高峰．为了执行一次重要的航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）选择4人作为航天员参加该次任务． (1)若参加此次航天任务的航天员要求既有男性也有女性，则共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，则共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 43．（2026高二·新疆吐鲁番·期中）现有本班5名男生和4名女生，求 (1)若从这5名男生中选出2名，分别担任体育委员和劳动委员；再从4名女生中选出3名，分别担任班长、学习委员、和纪律委员，一共有多少种选法？ (2)若从5名男生和4名女生中各选出2人参加中华优秀传统文化知识竞赛，有多少种选法？ (3)若从5名男生和4名女生中各选出2人，男生一组，女生一组，去敬老院参加敬老活动，其中一组负责拖地，另一组负责叠床铺，有多少种选法？. 考点8 相同元素分配问题 44．（2026高二·河北保定·期中）将8棵相同的小多肉种进4个不同的花盆，要求每个花盆至少种1棵小多肉，则总的种法数为（    ） A．70 B．56 C．35 D．20 45．（2026高二·江苏淮安·月考）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 46．（2026高二·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 47．（2026高三·湖南长沙·月考）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（    ） A．16 B．18 C．27 D．28 48．（2026高二·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 49．（2026高二·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 50．（2026高二·山东·月考）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 考点9 排列组合的综合问题 51．（2026高二·河北沧州·期中）已知甲、乙、丙等6位同学站成一排照相． (1)若甲、乙2位同学站在两端，有多少种排法？ (2)若甲、乙必须相邻，且都不与丙相邻，有多少种排法？ (3)若甲站在乙的左边，乙站在丙的左边（其中甲、乙与乙、丙都不一定相邻），有多少种排法？（最后结果都用数字作答） 52．（2026高二·四川凉山·期中）从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人. (1)项目组有多少种不同的选派方案？ (2)现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案. 53．（2026高二·江苏无锡·期中）现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子. (1)当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） (3)当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） 54．（2026高二·浙江·期中）以下各小题要求列出算式，并计算出结果．某高校组织1位老师带领3名男生、3名女生参加志愿服务活动． (1)活动开始前7人排成一排合影留念 ①若要求老师站在中间，甲、乙两位学生均与老师相邻，共有多少种不同的排法？ ②若老师站在队列的排头或排尾且女生互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)现从6名学生中选1人与老师留在原地，其余5人分配到3个服务站点进行志愿服务． 要求每个站点至少一名学生，每名学生只能分配到一个站点，共有多少种分配方式？ 55．（2026高二·山东滨州·期中）现有编号分别为的6个球.（最终结果用数字作答） (1)把这6个球排成一排，球不在排头，球不在排尾，有多少种排法？ (2)把这6个球全部放入4个不同的盒子，每盒至少放1个球，有多少种放法？ (3)把这6个球分成3组，有多少种分法？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $